排列、组合和概率.

高三数学复习排列、组合和概率-1-ABAB两个计数原理1．分类计数原理（加法原理）完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有1m种不同的方法，在第二类办法中有2m种不同的方法，……，在第n类办法中有nm种不同的方法，那么完成这件事共有12nNmmm种不同的方法。【例1】书架上层放5本不同的数学书，中层放6本不同的语文书，下层放7本不同的英语书，从中取出一本书，有多少种不同的取法？解析：5＋6＋7＝182．分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要n个步骤，做第一步有1m种不同的方法，做第二步有2m种不同的方法，……，做第n步有nm种不同的方法，那么完成这件事共有12nNmmm种不同的方法。【例2】书架上层放5本不同的数学书，中层放6本不同的语文书，下层放7本不同的英语书，从中取出三本书，数学、语文、英语各一本，共有多少种不同的取法？解析：5×6×7＝2103．有关问题【1】如图所示，由电键组A与B所组成的并联电路中，要接通电源，使灯泡发光的方法有多少种？2+3=5【2】在所有的两位数中，个位数子比十位数字大的两位数有多少个？8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1=36【3】高三（12）班有学生60人，其中男生19人，从中选取1名男生和2名女生作代表，参加学校组织的社会调查团，问选取代表的方法有几种？19×41×40＝31160【4】如图所示，由电键组A与B所组成的串联电路中，要接通电源，使灯泡发光的方法有多少种？2×3＝6高三数学复习排列、组合和概率-2-【5】如果把两条异面直线看成是“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有___对。6×4＝24【6】某市电话号码为8位数字（首位不能为0），问该市最大装机容量为多少？9×10×10×10×10×10×10×10＝9×107【7】一把数字号码锁共5个号码，每个号码的圆盘上有0，1，2，…，9这10个数码，给这把锁确定一个开锁的密码，共有多少个不同的密码？现有一人在这把锁上随意拨出5位号码，锁刚好能打开的可能性有多大？共有10×10×10×10×10＝105个不同的密码。在随意拨出5位号码锁刚好能打开的可能性为5110。【8】每天从甲地到乙地有火车2班，汽车10班，从乙地到丙地只有公路，每天有汽车8班，问从甲地到丙地有多少种不同的方法？（2＋10）×8＝96【9】已知集合1,2,3M，4,5,6,7N,从两个集合中各取一个元素作点的坐标，则在直角坐标系中，第一，二象限不同的点有____个。（6＋8＝14个）【10】有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同的书，共有____种不同的取法，从中任取两本不同类的书，共有____种不同的取法。（351；242）【11】（02年全国）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有____种。（12）【12】某城市电话号码由6位数字升为7位数字（首位均不能为0），则该城市可增加的电话部数是____。81×105【13】（05年北京春）从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数2fxaxbxc的系数，可组成不同的二次函数有____个；其中不同的偶函数有____个。（18；6）【14】（04年全国文）从长度分别为1、2、3、4的四条线段中，任取三条的不同取法为n种，在这些取法中，以取出的三条线段为边可构成三角形的个数为m，则mn（B）A0B14C12D34高三数学复习排列、组合和概率-3-第1位第2位第3位…第m位nn－1n－2…n－m＋1排列1．排列的概念1．排列的定义：从n个不同元素中任取m（mn）个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。2．排列数的定义：从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用mnA表示。(1)(2)(1)mnAnnnnm【例1】477654A81212111098765A3、全排列：(1)(2)21nnAnnn；!nnAn4、几个公式：!()!mnnAnm；1111mnmnnnmnAAA；!(1)!nnn；!(1)!!nnnn；111!(1)!!nnnn【例2】解方程:4321140xxAA.【例3】解不等式:2996xxAA.注意:排列问题中经常遇到两类问题:相邻问题------用捆绑法;不相邻问题------用插空法.排列问题中还经常遇到有约束条件的排列问题,这时要先处理有特殊条件的元素(或位置)的排列,在处理其它元素(或位置)的排列.一般用元素分析法或位置分析法;还有间接法-----排除法.【例4】三个女生和五个男生排成一排,如果(1)女生必须全排在一起,有多少种不同的排法?(2)女生必须全部分开,有多少种不同的排法?(3)两端都不能排女生,有多少种不同的排法?(4)两端不能都排女生,有多少种不同的排法?(1)6363AA;(2)5356AA;(3)2656AA;(4)826836AAA2.有关问题【1】8人分两排坐,每排4人,限定甲必须坐在前排,乙、丙必须坐在同一排,共有多少种安排办法?2152154254458640AAAAAA【2】某一天的课程要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术如果体育不排在第一节，数学不排在第二节，那么共有多少种不同排课程表的方法？6546542504AAA高三数学复习排列、组合和概率-4-【3】（05全国卷Ⅱ15）在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有个.【4】8个人排成一排，其中甲、乙、丙三人中，有两个相邻，但这三个人不能同时相邻，求满足条件的所有不同排法的种数。52253621600AAA【5】若1210012100SAAA，则S的个位数字是A0B3C5D8【6】有5个不同的红球和2个球排成一排，而在两端是红球的排列中，白球两旁都是红球的排列方法有多少种？25451440AA【7】将()(1)(2)(19)xpxpxpxp写成mnA的形式是____。A19xxpAB20xpAC19xpAD21xpA【8】一条铁路原有n个车站，为了适应客运需要，新增加(1,)mmmN个车站，而客运车票增加了62种，问原有多少个车站，现有多少个车站？（15，17）【9】用0、1、2、3、4五个数字组成没有重复的五位数，并把他们从小到大排列，23140是第几个数？40【10】A、B、C、DE五个人并排成一排，如果B必须站在A的右边，不同的排法有（）种。A24B60C90D120【11】A、B、C、D、E五个人并排成一排，B必须站在A的右边且相邻，不同的排法有（）种。A24B36C48D60【12】0,1,2,3A,2,3,4,5,6B,:fAB,且,,ijAij时，()()fifj，满足这样条件的f个数是____。（120）【13】若直线0AxBy的系数A、B可以从0、2、3、4、5、6中取不同的值，这些方程表示不同的直线的条数是___。18高三数学复习排列、组合和概率-5-组合1．组合的概念1．组合的定义：从n个不同元素中任取m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。2．组合数的定义：从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用mnC表示。3．排列与组合的区别：排列是不同的顺序所得的结果不同，即与顺序有关；组合是不同的顺序所得的结果相同，即与顺序无关。【例如】ab与ba在排列中是两个不同的排列，排列数为2；而在组合中他们是同一个组合，组合数为1。(1)(2)(1)(1)21mmnnmmAnnnnmCAmm!!()!mnnCmnm【例如】44100100441009998974321ACA4．两个重要的定理：mnmnnCC11mmmnnnCCC【例如】982100100CC96979739999100100CCCC5.相关公式：11mmnnnCCm1111mmnnmCCn01211121mmnnnnmnmCCCCC【例1】一个口袋内装有大小相同的7个白球和一个.(1)从口袋内取出3个球,共有多少种取法?(2)从口袋内取出3个球,其中含有一个黑球,共有多少种取法?(3)从口袋内取出3个球,其中不含黑球,共有多少种取法?(4)求从口袋内取出3个球,其中含有一个黑球的概率.(5)求从口袋内取出3个球,其中不含黑球的概率.【例2】（05年烟台）从1,2,3,,10中随机取出6个不同的整数。（1）在这些选法中，第二小的数是3的选法有多少种？（2）在这些选法中，第二小的数是3的概率是多少？2.有关问题【1】（05年浙江理）从集合{O，P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任限2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母O，Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．(用数字作答)．2211221439239394()8424CCCCCCCA【2】（05年北京理）北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为A124414128CCCB124414128CAAC12441412833CCCAD12443141283CCCA高三数学复习排列、组合和概率-6-121mmaaannaaCCC【3】从0，1，2，2，3，2这六个数字中，任取两个不同的数字作为直线tanyxb的倾斜角和截距，共组成____条不同的直线；其中共有___条平行于x轴的直线。25；5【4】假设在200件产品中，有3件次品，现在从中任意抽5件，其中至少有2件次品的抽法有______种；*其中至少有2件次品的概率为______。233431973194CCCC；2334319731945200CCCCPC【5】某大学要从16名大学生（其中男生10名）中选出8名学生组成“假期下乡送科学小组”。（1）如果小组中至少有3名女生，可组成多少个不同的小组？（2）如果小组中至少有5名男生，可组成多少个不同的小组？（3）如果小组中至多有3名女生，可组成多少个不同的小组？【6】有编号为1、2、3、4的四张不同的卡片，按照下列处理，各有几种方法？（1）甲得2张，乙得2张；6（2）平均分成两堆。3注：组合问题中有一类问题―――分堆问题这类问题又分不平均分堆与平均分堆两类不平均分堆：若有n元素，分成m堆，第一堆有1a个，第二堆有2a个，…第m堆有ma个，则共有种分法平均分堆：若有n元素，平均分成m堆，每堆有a个，则分法为2aaaannanaammCCCCA【7】6本不同的书，按以下要求处理，各有几种分法？（1）一堆一本，一堆两本，一堆三本；60（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本；60（3）一人得一本，一人得两本，一人得三本；360（4）平均分给三人甲、乙、丙三人；90（5）平均分成三堆。15高三数学复习排列、组合和概率-7-随机事件的概率【1】从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为（）A12B13C23D1【2】袋中有红、黄、白、黑颜色4个大小相同的球。（1）从中任取一球，求取出白球的概率；14（2）从中任取两球，求取出是红球、白球的概率；16（3）先后各取一球，求分别取出的是红球、白球的概率；112（*）连取5次，每次取1球，求五次中有3次是红球的概率。3235134544512C【3】100件产品中，有95件合格品，5件次品，从中任取3件，求（1）3件都是合格品的概率；（2）3件都是次品的概率；（3）2件是合格品、1件是次品的概率；（4）至少有