第四章 重心及截面的几何性质

第四章重心及平面图形的几何性质本章重点：计算均质物体的重心坐标。第一节物体重心坐标公式第二节平面图形的几何性质第一节重心重心：物体重力合力的作用点。重心相对于刚体的位置固定不变。一、重心坐标公式将物体分割成许多微小部分，其中某一微小部分Mi的重力为Wi，其作用点的坐标为xi、yi、zi，重心C的坐标为xC、yC、zC。将各Wi向重心C简化：物体的重力为：iWW应用合力矩定理，分别求物体的重力对x、y轴的矩，有iiCiiCxWWxyWWy将物体随坐标系一起旋转90°，使y轴铅垂向下。对x轴应用合力矩定理，有：iiCzWWz物体重心C的坐标公式为：WzWzWyWyWxWxiiCiiCiiC二、均质物体的重心公式若单位体积的重量γ=常量。以ΔVi表示微小部分Mi的体积，VzVzVyVyVxVxiiCiiCiiC均质物体的重心又称为形心。代入重心公式得：VWiiVW以V=∑ΔVi表示整个物体的体积，则有和，如果将物体分割的份数为无限多，式子可改写成积分形式：VVzzVVyyVVxxVCVCVCddd三、均质平板重心的坐标公式和平面图形形心公式厚度为δ均质平板，其重心在其对称面内。取坐标面xy和对称面重合，平板重心的zC为零。设对称面图形的面积为A，分割平面，某一微小部分的面积为ΔAi，重力为Wi，iiiAVWAV，平板的重力W=AyAyAxAxCCiiii该式亦为平面图形形心公式。无限分割平面，平面图形的形心公式的积分形式为：AAyyAAxxVCVCdd代入重心公式，得均质平板的重心公式：对于均质物体，如其几何形体上具有对称面、对称轴或对称中心，则该物体的重心或形心必在此对称面、对称轴或对称中心上。1.观察法2.组合法将复杂形体视为简单形体组合，这些简单形体的重心已知的或易求，这样整个形体的重心就可用坐标公式直接求得。四、确定重心的常用方法3、负面积法形体上若有挖去的部分，把挖去的部分视为负值（负体积或负面积），利用坐标公式来求形体的重心。4、积分法对规则形体，适当的选取微元，可用定积分求重心。2020100120单位:mm21例4-1角钢截面的尺寸如图所示。试求其形心的位置。解：（一）组合法取Oxy坐标系如图所示。mm7022012020mm10mm200020)20120(1121yxAmm10mm50mm2000201002222yxAmm40102000702000mm3020002000502000102000212211212211AAAyAyAAxAyAAxAxAAxAxiiCiiC（二）负面积法mm60mm50mm120001001201121yxAmm70mm60mm8000801002222yxAmm40160007080006024000mm308000240006080005024000212211212211AAyAyAAxAyAAxAxAAxAxiiCiiC2020100120单位:mm21-,8,2232221rSDSRS0,20,3400321yyyxy例4-2例4-3用积分法求扇形重心公式。θdθdA=dRR2cos32Rxi3sin221cos3222RRdRRxC解：(1)悬挂法4.实验法a)b)过点A将板悬挂，作悬挂绳延长线AB，过D点将板悬挂，得DE线，两线的交点为板的重心。问：悬挂法的依据是什么？二力平衡公理a)b)(2)称重法先称出物体的重量，然后将其一端支于固定支点A，另一端放在磅秤上再称得一数值，由平衡方程确定重心的位置。00NCBAWxlFMWlFxBCN图示连杆，秤得其重量为W，第二次秤的读数等于秤对连杆的约束反力。由平衡方程FNBFNA第二节截面的几何性质一、静矩AyAxAxSAySd,d设该平面图形的形心C的坐标为xC、yC，ASAAyyASAAxxxAcyAcd,dAxSAySCyCx,若xC=0、yC=0，则Sy=0、Sx=0。可见，若某轴通过图形的形心，则图形对该轴的静矩必等于零。静矩可正，可负，可为零，具有长度的三次方量纲。二、惯性矩和惯性积1.惯性矩2222d,dxxyyAAIyAiAIxAiA惯性矩恒为正值，具有长度的四次方的量纲。i：惯性半径组合图形对某轴的惯性矩n1iin1ii,yyxxIIII2．计算惯性矩的平行移轴公式AbIIAaIICCyyxx224.惯性积AAId2p极惯性矩Ip恒为正值，具有长度的四次方的量纲。3.极惯性矩xyAAIIAyxAId)d222p（AxyAxyId惯性积和惯性矩的量纲相同，但可正、可负，可为零。如果图形有一根（或一根以上）对称轴，则此对称轴为惯性主轴。通过形心，则称为形心惯性主轴，图形对这对轴的惯性矩称为5.惯性主轴若图形对一对正交坐标轴x、y的惯性积Ixy为零。该对坐标轴称为惯性主轴，对应的惯性矩Ix、Iy称为主惯性矩。若惯性主轴形心主惯性矩。例4-3试求矩形对其形心轴x、y以及x1的惯性矩Ix、Iy、Ix1。解：取与x轴平行的狭长条为微面积，则dA=bdy。12dd32/2/22bhybyAyIhhAx再取与y轴平行的狭长条为微面积12dd32/2/22hbxhxAxIbbAy根据平行轴公式321()23xxhhbIIA例4-4试求圆形和圆环形图形对圆心的极惯性矩Ip以及对各自形心轴x、y的惯性矩Ix、Iy。解：（一）圆形32d2d42/032pdAIdA在圆形上距圆心为ρ处取宽度为dρ的细圆环为微面积圆形是中心对称的图形，对x轴和y轴的惯性矩相等，即Ix=Iy。32224pdIIIIIyxyx644dIIyx2d2D)(3244pdDI)(6444dDIIyx将计算Ip的积分式的积分上、下限对应改为、（二）圆环形一、重心公式WzWzWyWyWxWxiiCiiCiiC1.一般物体2.均质物体VzVzVyVyVxVxiiCiiCiiCAyAyAxAxCCiiii3.均质平板小结二、确定重心的常用方法1.观察法；2.组合法；3.负面积法；4.积分法；5.实验法。三、截面的几何性质1.静矩AyAxAxSAySd,d2.惯性矩2222d,dxxyyAAIyAiAIxAiA组合图形对某轴的惯性矩n1iin1ii,yyxxIIII计算惯性矩的平行移轴公式AbIIAaIICCyyxx22AAId2p3.极惯性矩