现代数学概览

上页下页结束返回江西师范大学数学与信息科学学院现代数学概览专题报告现代数学概览黄福生上页下页结束返回江西师范大学数学与信息科学学院目录当代数学的若干基础理论2现代数学学科发展趋势现代数学概览1上页下页结束返回江西师范大学数学与信息科学学院第一篇当代数学的若干基础理论在很长的历史时期里，人们把数学看做是关于现实世界数量关系与空间形式的经验，以及对经验的归纳、总结和抽象；而这些经验和在经验之上生成的理论则如实地反映世界。直至19世纪罗巴契夫斯基几何建立，人们的数学观发生变化。籍借于逻辑，人们不仅研究那些已知其存在的关系与形式，而且研究可能存在的关系与形式。为此：人们寻求数学统一的理论基础。三个方面：无限集合论的创立；形式公理化思想的发展；结构主义数学观的产生。第一篇当代数学的若干基础理论上页下页结束返回江西师范大学数学与信息科学学院第一篇概要一、集合论二、公理化三、结构主义第一篇当代数学的若干基础理论第一篇主要介绍上页下页结束返回江西师范大学数学与信息科学学院一、集合论1、康托集合论的建立（1）无限观的两种表达形式：潜无限：正如我们无法“遍历”时空，无法“数尽”一条直线上的点，甚至无法“数尽”自然数序列，无限仅仅是一种永无终结的进程。一、集合论实无限：无论我们能否“遍历”时空，能否“数尽”自然数序列或其他什么无限对象，它们作为一个固定的整体而确实存在着。潜无限和实无限认为无限是不可被“达到”的。主张无限可以被“实现”第一篇当代数学的若干基础理论上页下页结束返回江西师范大学数学与信息科学学院（2）历史上知名数学家和哲学家的观点潜无限：实无限：芝诺对两种无限观的异议：爱奥尼亚学派哲学；亚里斯多德；高斯；柯西柏拉图；牛顿；莱布尼兹；黑格尔芝诺悖论第一篇当代数学的若干基础理论一、集合论1、康托集合论的建立上页下页结束返回江西师范大学数学与信息科学学院一、集合论（3）康托以无限集合的形式给出实无限概念从1874到1897年，康托在发表系列论文，用同一标题：“关于无穷的线性点集”，建立了集合论的概念体系，创立了无限集合论。按无限集理论，康托用有理数的无限序列，最终完成了分析基础的精确化。第一篇当代数学的若干基础理论1、康托集合论的建立上页下页结束返回江西师范大学数学与信息科学学院续上格奥尔格·康托尔（Cantor，GeorgFerdinandLudwigPhilipp，1845.3.3-1918.1.6）德国数学家，集合论的创始人。生于俄国圣彼得堡（今俄罗斯列宁格勒）。父亲是犹太血统的丹麦商人，母亲出身艺术世家。1856年全家迁居德国的法兰克福。1862年入苏黎世大学学工,翌年转入柏林大学攻读数学和神学，受教于Kummer、维尔斯特拉斯（Weierstrass，和Kronecker。1918年1月6日在德国哈雷（Halle）-维滕贝格大学附属精神病院去世。康托尔爱好广泛，极有个性，终身信奉宗教。早期在数学方面的兴趣是数论，1870年开始研究三角级数并由此导致19世纪末、20世纪初最伟大的数学成就——集合论和超穷数理论的建立。除此之外，他还努力探讨在新理论创立过程中所涉及的数理哲学问题.1888-1893年康托尔任柏林数学会第一任会长，1890年领导创立德国数学家联合会并任首届主席。一、集合论第一篇当代数学的若干基础理论上页下页结束返回江西师范大学数学与信息科学学院一、集合论（１）集合论方法（c）构造数学对象：（二元）关系，等价关系，等价类，商集，偏序，函数，映射……（d）表述逻辑关系（b）集合的运算---并、交、补(a)集合的生成2、康托集合论的基本内容康托：把在我们直观或思维中的某些确定的、彼此区别的对象作为一个整体来考虑，称之为集合，而称这些对象为该集合的元素。是---，或---，与---，非---ABABCAABABAABBA第一篇当代数学的若干基础理论若则---，不存在---等等。ABAAAB上页下页结束返回江西师范大学数学与信息科学学院（2）实无限思想(a)无限集的生成康托认为：无限集的生成须经由元素按概括原则不断聚汇的过程，而这个过程可以籍助理性（理想化抽象）而完成，所有适合给定要求的元素组成一个确定的整体---无限集。第一篇当代数学的若干基础理论一、集合论2、康托集合论的基本内容上页下页结束返回江西师范大学数学与信息科学学院一、集合论（b）基数理论②可数个可数集的并集是可数集。①可数基数是最小的基数。0③（0,1）区间全体实数所成集合基数（称为连续统基数）大于可数基数。④任意集合A的幂集P(A)的基数大于A的基数（即不存在最大基数）⑤=02（c）序数理论连续统假设----=102第一篇当代数学的若干基础理论2、康托集合论的基本内容（2）实无限思想上页下页结束返回江西师范大学数学与信息科学学院一、集合论19世纪的最后几年和20世纪的头几年，康托、罗素相继提出关于集合论的悖论。罗素悖论：全体集合按是否属于自身分为A,B两个集合，A是属于自身的集合生成的子集，B是不属于自身的集合生成的子集。则B是属于A呢还是属于B呢？(理发师的故事）康托悖论：一方面，没有一个集合的基数能比“一切集合的集合”的基数更大；另一方面，又已证明结论“不存在最大基数”3、公理集合论简介策梅洛和费兰克尔：“一切集合的集合”这样的含糊不清的概念导致悖论。第一篇当代数学的若干基础理论上页下页结束返回江西师范大学数学与信息科学学院一、集合论集合论的ZF(策梅洛和费兰克尔)公理体系包括：2.空集存在公理1.外延公理3.并集公理4.幂集公理5.无限集存在公理6.代换公理第一篇当代数学的若干基础理论3、公理集合论简介上页下页结束返回江西师范大学数学与信息科学学院一、集合论2.空集存在公理1.外延公理3.并集公理4.幂集公理5.无限集存在公理6.代换公理集合论ZFC公理体系（ZF公理+选择公理）：7.选择公理第一篇当代数学的若干基础理论3、公理集合论简介上页下页结束返回江西师范大学数学与信息科学学院二、公理化1、公理系统的概念及要求概念：某一学科的基本概念和公理逻辑地组织为一个系统，称之为某一学科或某一理论的公理系统。3、完备性（能推出所有结论）二、公理化如何建立某一学科或某一理论的公理体系，即如何引进若干基本概念和确立一组公理，经历了漫长的历史过程，这也就是公理化思想和方法的发展过程。第一篇当代数学的若干基础理论要求：1、相容性（相互间无矛盾）2、独立性（最简单,互不推出）上页下页结束返回江西师范大学数学与信息科学学院二、公理化2、实质公理化公理化思想和方法的最早产生：5个公理欧几里得几何公理的特点：欧几里得区分公理与公设的原则至今不明。公元前300年左右古希腊---欧几里得《原本》欧几里得《原本》包括：23个基本概念5个公设以经验为基础，以数学实体及关系为对象，以诉诸直觉为方法，而具有实质意义。第一篇当代数学的若干基础理论上页下页结束返回江西师范大学数学与信息科学学院二、公理化3、形式公理化（1）罗巴契夫斯基（俄国）几何的建立19世纪初，罗巴契夫斯基和鲍埃（匈牙利）几乎同时建立了一种区别于传统欧氏几何的几何学，称此为罗巴契夫斯基几何，又称为双曲几何。罗巴契夫斯基几何的建立从根本上改变了人们关于几何的观念。罗巴契夫斯基几何不仅逻辑上无矛盾，而且具有确定的物理意义，反映了现实空间的性质，这一点在爱因斯坦的广义相对论中得到证实。第一篇当代数学的若干基础理论上页下页结束返回江西师范大学数学与信息科学学院2什么是代数罗氏几何的创立没有立即引起重视，直到他去世后12年意大利数学家贝尔特拉米证明了在欧氏空间的伪球面上有着片断罗巴切夫斯基于面的几何学，这样罗氏几何在欧氏空间的曲面上才得到解释，并在数学上得到确认。罗巴切夫斯基是俄国伟大的数学家。1792年12月1日生于下诺伏哥罗德（今高尔基市），1856年12月24日卒于喀山。1807年入喀山大学，1811年获硕士学位。毕业后留校任职，历任教授助理、非常任教授、常任教授、物理数学系主任、校长等职。1846年以后任喀山学区副督学。罗巴切夫斯基与雅诺什及高斯等人彼此独立地创立了一种非欧几何，即罗巴切夫斯基几何学。对几何学和整个数学的发展都起了巨大的作用。二、公理化第一篇当代数学的若干基础理论上页下页结束返回江西师范大学数学与信息科学学院二、公理化第一篇当代数学的若干基础理论黎曼-德国数学家，物理学家。1826年9月17日生于汉诺威布列斯伦茨，1866年7月20日卒于意大利塞那斯加。对数学分析和微分几何做出了重要贡献，其中一些为广义相对论的发展铺平了道路。他的名字出现在黎曼ζ函数，黎曼积分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定理，黎曼-希尔伯特问题，黎曼思路回环矩阵和黎曼曲面中。他初次登台作了题为“论作为几何基础的假设”的演讲，开创了黎曼几何，并为爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。上页下页结束返回江西师范大学数学与信息科学学院二、公理化（Ⅰ）关于欧氏几何公理体系平行公设（第5公设）的讨论数学家试图从其他公理和公设推出这一公设，均失败。得到了一批与第5公设等价的命题。欧几里得第5公设：若两直线与第三条直线相交，而其一侧的两个内角之和小于两个直角之和，则把这两条直线向该侧充分延长后必定相交。过已知直线外一点能且仅能引一条直线平行于已知直线。第一篇当代数学的若干基础理论其中最有名的是普洛菲尔（苏格拉人）得到的：3、形式公理化（1）罗巴契夫斯基（俄国）几何的建立上页下页结束返回江西师范大学数学与信息科学学院二、公理化（Ⅱ）罗巴契夫斯基几何的建立★罗巴契夫斯基在论文《关于平行线理论的几何研究》中，以上述假设代替第5公设，获得系列定理，而形成一种完全异于欧氏几何的、逻辑上无矛盾且内容丰富的几何理论-----罗巴契夫斯基几何★1826年，罗巴契夫斯基首次对欧几里得几何第5公设的“真实性”表示异议。他认为：既不可能证明第5公设，也无理由认为第5公设关于平行关系的断言是绝对精确的。★罗巴契夫斯基假设：过已知直线外一点至少可引两条直线与已知直线不相交。第一篇当代数学的若干基础理论3、形式公理化（1）罗巴契夫斯基（俄国）几何的建立上页下页结束返回江西师范大学数学与信息科学学院二、公理化罗巴契夫斯基几何的若干基本定理：★过平面P上已知直线a外一点A,可以引无穷多条直线与已知直线不相交。★平面P上两不相交直线与第三条直线都相交，生成的同位角可以不等。★三角形内角和小于两个直角。第一篇当代数学的若干基础理论（Ⅱ）罗巴契夫斯基几何的建立3、形式公理化（1）罗巴契夫斯基（俄国）几何的建立上页下页结束返回江西师范大学数学与信息科学学院（1）罗巴契夫斯基（俄国）几何的建立二、公理化（Ⅲ）罗巴契夫斯基几何的相对相容性★1870年，F.Klein(德国）在通常的欧式平面上建立了罗巴契夫斯基几何整体的模型。★罗巴契夫斯基几何如此有悖于直觉，虽然已作的讨论未见矛盾，但无法推知进一步的展开中是否会出现矛盾。罗巴契夫斯基作了大量天文观测和计算，希望在以天文尺度度量的空间中证实自己的理论比欧式几何更精确，但未如愿。★1868年，Beltrami（意大利）开始考虑罗巴契夫斯基几何公理系统关于欧式几何公理系统的相对相容性。首先在欧式几何的伪球面上建立了罗巴契夫斯基几何的局部模型★此后不久，J.Poincare（法国）又给出罗巴契夫斯基几何的另一个著名模型。第一篇当代数学的若干基础理论3、形式公理化上页下页结束返回江西师范大学数学与信息科学学院二、公理化（2）形式公理化的历程（Ⅰ）希尔伯特的工作希尔伯特观点：基本概念是无法定义的，但它们具有确定的数学意义；而公理则是对基本概念本质内涵的限定和确认。希尔伯特改善欧式几何公理体系的工作，则在真正意义上创立了形式公理化方法。①首先给出不予定义的基本概念：点；线；面；在…之上；在…之间；重合。第一篇当代数学的若干基础理论希尔伯特改善欧式几何公理体系的工作主要包括：3、形式公理化②然后建立了5组共20条公理上页下页结束返回江西师范大学数学与信息科学学院二、公理化第一组8条公理被称为结合公理，是关于“在……之上”的存在