第四章作业

弹性力学授课教师：任伟2011年11月第四章作业弹性力学4-9半平面体表面上受有均布水平力q，试用应力函数求解应力分量，如题4-9所示。题4-9图2sin2BC弹性力学【解】（1）相容条件：将应力函数代入相容方程40，显然满足。（2）由求出应力分量表达式2sin222sin222cos2BCBCBC弹性力学(3)考察边界条件：注意本题有两个面，即2，分别为面。在上，应力符号以正面正向，负面负向为正。因此，有02，得0C；2q，得2qB弹性力学将各系数代入应力分量表达式，得sin2sin2cos2qqq。，弹性力学【解】（1）应用应力函数2cos2sin2ABCD，进行求解。由应力函数得应力分量4-12楔形体在两侧面上受有均布剪力q，如题4-12图所示，试求出应力分量。题4-12图弹性力学22222112cos2sin22cos2sin212sin22cos2ACDACDABC，，。，（2）考察边界条件：根据对称性，得弹性力学/20；（a）/2q；（b）-/20；（c）-/2q；（d）由式（a）得2cos2sin20ABCD；（e）由式（b）得2sin2cos=qABC；（f）由式（c）得2cos2sin20ABCD；（g）由式（d）得2sin2cos=-qABC。（h）式（e），（f），（g），（h）联立求解，得弹性力学0=-cot2sin2qqBCDA=，，。将以上各系数代入应力分量，得cos2cotsincos2cotsincos2sinqqq，，。弹性力学4-13设有半径为r，外半径为R的圆筒受内压力为q，试求内半径和外半径的改变，并求圆筒厚度的改变。【解】本题为轴对称问题，只有径向位移而无环向位移。当圆筒只受内压力q的情况下，取应力分量表达式，教材中式（4-11），注意到B=0.内外的应力边界条件要求00-q0rRrR，；，。弹性力学由表达式可见，前两个关于的条件式满足的，而后两个条件要求由上式得22220ACqrACR，。22222222qrRqrCRrRrA=-，。（a）弹性力学把A,B,C值代入轴对称应力状态下对应的位移分量，教材中式（4-12）（b）式（c）中的，取任何值等式都成立，所以各自由项的系数为零222211cossinqrRuIKERr，0HIK所以，轴对称问题的径向位移式（b）为=Hcossin=0uIK。（c）弹性力学而圆筒是属于平面应变问题，故上式中211EE，代替，则有222211qrRuERr，222221++11111RuqERr。弹性力学内径改变为，22222222221++1111()111rRrqrRruqERrErRr=。圆环厚度的改变为211RrqrRruuERr222222221++1111211RRRqrrRuqERrERRr=。弹性力学，4—14设有一刚体，具有半径为的圆柱形孔道，孔道内放置外半径为而内半径为的圆筒，圆筒受内压力为，试求圆筒的应力。【解】本题为轴对称问题，故环向位移0u，另外还要考虑位移的单值条件。（1）应力分量引用轴对称应力解答，教材中式（4—11）。取圆筒解答中的系数为A，B，C，刚体解答中的系数为'A，'B，'C，由多连体中的位移单值条件，有弹性力学，现在，取圆筒的应力表达式为0B，'0B。（a）（b），22AC22AC，。（c）刚体的应力表达式'''22AC'''22AC，（d）弹性力学其次，在远离圆孔处，应当几乎没有应力，于是有考虑边界条件和接缝条件来求解常数A，'A，C，'C和相应的位移解答。首先，在圆筒的内面，有边界条件()rq，由此得，'A()rq22ACqr。（e）'()0'()0，。由此得'20C（f）弹性力学再次，圆筒和刚体的接触面上，应当有于是有式（c）及式（d）得，'()()RR。''2222AACCRR（g）（2）平面应变问题的位移分量应用教材中式（4—12）的第一式，稍加简化可以写出圆筒和刚体的径向位移表达式12(12)cossinAuCIKE（h）弹性力学刚体的径向位移为零，在接触面上，圆筒与刚体的位移相同且都为零，即将式（h）和式（i）代入，得'0u。（i）'()()0RRuu12(12)cossin0ACRIKER方程在接触面上的任意点都成立，取任何值都成立，方程两边的自由项必须相等，于是得12(12)0ACRER弹性力学简化并利用式（f），得（3）圆筒的应力把式（j）代入式（e），得22(12)ARC（j）2222(12)(12)qrRARr2222(12)qrCRr圆筒的应力为2222121121RqrR2222121121RqrR，。弹性力学4—15在薄板内距边界较远的某一点处，应力分量为0,xyxyq，如该处有一小圆孔，试求孔边的最大正应力。原来的问题变为矩形薄板在左右两边受均布拉力q而在上下两边受均布压力q，如图所示。1223()22xyxyxyq【解】（1）求出两个主应力，即弹性力学应力分量xq，yq，0xy代入坐标变换式，教材中式（4—7），得到外边界上的边界条件()cos2Rq，（a）()sin2Rq。（b）在孔边，边界条件是()0r，（c）()0r。（d）弹性力学由边界条件式（a），（b），（c），（d）可见，用半逆解法时，可假设为的某一函数乘以cos2，而为的另一函数乘以sin2。而因此可假设222111因将式（e）代入相容方程，教材中式（4—6），得()cos2f（e）43243223d()2d()9d()9d()cos0ddddffff。弹性力学其中A，B，C，D为待定常数，代入式（e），得应力函数删去因子cos2以后，求解这个常微分方程，得由应力函数得应力分量的表达式432()DfABC422cos2DABC，（f）242432446cos22,6cos2122,26sin262CDBDABCDAB。弹性力学将上式代入应力边界条件由式（d）得由联立求解式（g）—（j），并命0rR，得由式（b）得由式（a）得由式（c）得24462CDBqRR（g）3242662CDARBqRR（h）244620CDBrr（i）22426620CDArBrr（j）420,,,22qqrABCqrD。弹性力学将各系数值代入应力分量的表达式，得将最大环向正应力为2222222222=cos2113,=cos213,==sin2113rrqrqrrq。沿着孔边r，环向正应力是4cos2q。max()4q。