3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程【公开课】

3.2空间向量在立体几何中的应用已知向量a，在空间固定一个基点，再作向量，则点A在空间的位置就被向量a所惟一确定了，这时，我们称这个向量为位置向量。aOA3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程在平面向量的学习中，我们得知①M、A、B三点共线②A、B是直线l上任意两点，O是l外一点.动点P在l的充要条件是：上述式子称作直线l的向量参数方程式，实数t叫参数。).(RtMBtMA).(1RtOBtOAtOP）（特别地，若P为A,B中点,则12OPOAOB思考：对于空间中的直线又如何呢？思考:如图,l为经过已知点A且平行非零向量a的直线,那么如何表示直线l上的任一点P?lAPa一、用向量表示直线或点在直线上的位置给定一个定点A和一个向量，如图所示，再任给一个实数t,以A为起点作向量①这时点P的位置被完全确定，容易看到，当t在实数集R中取遍所有值时，点P的轨迹是一条通过点A且平行于向量a的一条直线l.反之，在直线l上任取一点P，一定存在一个实数t，使向量方程①通常称作直线l的参数方程.向量a称为该直线的方向向量..taAP.taAPalAP.a新课讲解注:⑴向量方程两要素:定点A,方向向量⑵t为参数,且t是实数,问:t=0时?.a反向和同向和aAPtaAPt00直线的向量方程①,还可作如下的表示:对空间任一个确定的点O(如图所示),点P在直线l上的充要条件是存在惟一的实数t,满足等式②如果在l上取则②式可化为即③①或②或③都叫做空间直线的向量参数方程..taOAOP,aAB)(OAOBtOAABtOAOPOBtOAtOP)1(AaOMBPlta新课讲解注意点:⑴当t=时,.此时P是线段AB的中点,这就是线段AB中点的向量表达式.⑵③中有共同的起点.⑶③中的系数之和为1.21OBOAOP2121OBOAOP、、OBOA、•思考探究：•观察到空间直线向量参数方程中的系数满足（1－t）＋t＝1,这与点A,P,B三点共线有关系吗？•（1）若令t＝0或1，则点P在直线AB的什么位置？•（2）若令t＝或2，则点P在直线AB的什么位置？•（3）若令t＝或3，则点P在直线AB的什么位置？•（4）若令t＝－1，则点P在直线AB的什么位置？例1已知点A(2,4,0),B(1,3,3),以的方向为正方向,在直线AB上建立一条数轴,P,Q为轴上的两点,且分别满足条件:⑴AP:PB=1:2⑵AQ:QB=-2求点P和点Q的坐标.AB,1)311,35(,1,311,35,),3,3,1(31)0,4,2(32z)y,(x,,z),y,(x,.3132),(2,2,)1(:的坐标是点因此所以得则上式换用坐标表示坐标为设点即得由已知解PzyxPOBOAOPOAOPOPOBAPPBAQBPyzxlO例1(0,2,6).,6,2,0)6,2,0()3,3,1(2)0,4,2(2),,(),,,(,2),(2,2AQ,2:)2(的坐标是点因此即得则上式换用坐标表示，的坐标为设点所以因为QzyxzyxzyxQOBOAOQOQOBOAOQQBQBAQAQBPyzxlO已知点A（-2，3，0），B（1，3，2），以的方向为正向，在直线AB上建立一条数轴，P,Q为轴上两点，且满足条件：⑴AQ:QB=-2;⑵AP:PB=2:3求点P和点Q的坐标.跟踪练习1AB例2MCyMBxMA已知空间中四点M,A,B,C,满足,x,y是实数,且x+y=1.求证:A,B,C三点共线证明:三点共线所以即即所以因为CBACBxCAMCMBxMCMAMCMCMBxMCxMBxMAxyyx,,)()()1(1,1三点是否共线？则CBAOCOBOA,,,32.,,2)(223:三点共线所以即解CBABCCAOBOCOCOBCOOA跟踪练习21.已知(2,4,5)ar，(3,,)bxyr分别是直线12,ll的方向向量，若1l∥2l，则x=,y=2.已知点A(3,4,0),B(2,5,5),C(0,3,5),且ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标。小结直线的向量参数方程.,)1(,,,,)2(.,.)1(如图即方程又可写为则直线向量使上取两点若在直线件是上的充要条在直线如图，点对于空间任一点的方程为：的直线，方向向量为过点OBtOAtOPABtOAOPaABBAltaOAOPlPOtaAPlaAaOMBPlta.)6(.)5().(21,21)4(.1)3(点共线判断点的位置，判定三用直线的向量参数方程两直线的位置关系用直线的方向向量判断即的中点，则是线段点中点的向量表达式：设且上的充要条件为在直线点OBOAOMABAMABMyxOByOAxOPABP本节小结谢谢!