正、余弦定理及其应用..

学案7正弦定理、余弦定理及应用(2)a=2RsinA,b=2RsinB,;(3)sinA=sinB=,sinC=等形式,以解决不同的三角形问题.返回目录1.正弦定理:其中R是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为:a:b:c=sinA:sinB:sinC;sinAasinCc2Ra2Rb2Rc(1)sinBb2Rc=2RsinC返回目录2.余弦定理:a2=,b2=,c2=.余弦定理可以变形为:cosA=,cosB=,cosC=.3.S△ABC=absinC==acsinB==(a+b+c)·r（r是三角形内切圆的半径），并可由此计算R,r.21214Rabc21b2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosC2bca-cb2222bcb-ca2222bcc-ba222bcsinA21返回目录4.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：（1）已知两角及任一边，求其他边或角；（2）已知两边及一边的对角，求其他边或角.情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分.余弦定理可解决两类问题:(1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题;(2)已知三边问题.5.解三角形的类型△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsinAbsinAaba≥bab解的个数一解两角一解一解返回目录返回目录7.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线叫仰角，目标视线在水平视线叫俯角（如图3-7-1中①).6.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.上方下方(2)方位角指从方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图3-7-1②).(3)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数.返回目录正北返回目录(1)在△ABC中,a=,b=,B=45°.求角A,C和边c;(2)在△ABC中,a=8,B=60°,C=75°,求边b和c.【分析】已知两边及一边对角或已知两角及一边,可利用正弦定理解这个三角形,但要注意解的判断.考点一正弦定理的应用32返回目录【解析】(1)由正弦定理得sinA=.∵ab,∴A=60°或A=120°.①当A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,∴c=.②∵当A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,∴c=.由①②知,A=60°,C=75°,c=或A=120°,C=15°,c=.sinBbsinAa23226sinBbsinC226sinBbsinC226226(2)∵B=60°,C=75°,∴A=45°.由正弦定理,得b=·a=4,c=·a=4+4.返回目录sinCcsinBbsinAasinAsinC6sinAsinB3返回目录【评析】(1)已知两角一边可求第三角,解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.(2)已知两边和一边对角,解三角形时,利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角,这是解题的难点,应引起注意.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且.(1)求B的大小;(2)若b=,a+c=4,求△ABC的面积.【分析】由,利用余弦定理转化为边的关系求解.考点二余弦定理的应用返回目录c2ab-cosCcosB13c2ab-cosCcosB返回目录【解析】(1)由余弦定理知,cosB=,cosC=.将上式代入得整理得a2+c2-b2=-ac,∴cosB=∵B为三角形的内角，∴B=π.2acb-ca2222abc-ba222c2ab-cosCcosB,c2ab-c-ba2ab·2acb-ca222222,21-2aac-2acb-ca22232(2)将b=,a+c=4,B=代入b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-2accosB，∴b2=16-2ac(1-),∴ac=3.∴S△ABC=acsinB=.13322121433返回目录返回目录【评析】（1）根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键.(2)熟练运用余弦定理及其推论,同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.＊对应演练＊在△ABC中,a,b,c为A,B,C的对边,B=,b=,a+c=4,求a.由余弦定理b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2accos=a2+c2+ac=(a+c)2-ac,∵a+c=4,b=,∴ac=3,a+c=4ac=3,3213返回目录3213联立解得a=1或a=3.返回目录在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且b2+c2-a2+bc=0.(1)求角A的大小;(2)若a=,求bc的最大值;(3)求的值.考点三正、余弦定理的综合应用3c-bC)-asin(30【分析】(1)b2+c2-a2+bc=0的结构形式,可联想到余弦定理,求出cosA,从而求出A的值.(2)由a=及b2+c2-a2+bc=0,可求出关于b,c的关系式,利用不等式,即可求出bc的最大值.(3)由正弦定理可实现将边化为角的功能,从而达到化简求值的目的.返回目录3返回目录【解析】(1)∵cosA=又∵A∈(0,180°),∴A=120°.(2)由a=,得b2+c2=3-bc,又∵b2+c2≥2bc（当且仅当c=b时取等号），∴3-bc≥2bc(当且仅当c=b时取等号）.即当且仅当c=b=1时,bc取得最大值为1.212bcbc2bcacb2223(3)由正弦定理得∴返回目录2RsinCcsinBbsinAa21sinC23cosC23sinC)43cosC43sinC-C)-sin(60sinC)23cosC21(23sinC-sinBC)-sinAsin(302RsinC-2RsinBC)-302RsinAsin(c-bC)-asin(30返回目录【评析】(1)在三角形中求角,往往选择先求该角的余弦值,然后利用余弦函数在(0,π)上的单调性求角.(2)正、余弦定理能实现边角转化，在解题时一定要重视.返回目录＊对应演练＊已知△ABC是半径为R的圆内接三角形,且2R(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB.(1)求角C;(2)试求△ABC面积S的最大值(1)由2R(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB,两边同乘以2R,得(2RsinA)2-(2RsinC)2=(a-b)2RsinB,根据正弦定理,得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,∴a2-c2=(a-b)b,即a2+b2-c2=ab.22222再由余弦定理,得cosC=,又0Cπ,∴C=.(2)∵C=,∴A+B=.S=absinC=(2RsinA)(2RsinB)=R2sinAsinB=-R2［cos(A+B)-cos(A-B)］=R2〔+cos(A-B)〕.∵0Aπ,0Bπ,∴-πA-Bπ,当且仅当A-B=0,即A=B=时,sin(A-B)=1,S取到最大值R2.返回目录222abc-ba22244432142222222283221返回目录已知方程x2-(bcosA)x+acosB=0的两根之积等于两根之和，且a,b为△ABC的两边，A,B为两内角，试判定这个三角形的形状.考点四判断三角形的形状【分析】先由已知条件得出三角形的边角关系.要判定三角形的形状，只需将边角关系转化为边之间或角之间的关系即可判定.返回目录【解析】方法一:设方程的两根为x1,x2，由韦达定理知x1+x2=bcosA,x1x2=acosB.由题意有bcosA=acosB,根据余弦定理得b·=a·,∴b2+c2-a2=a2+c2-b2,化简得a=b,∴△ABC为等腰三角形.2bca-cb2222acbca222方法二:同方法一得bcosA=acosB,由正弦定理得2RsinBcosA=2RsinAcosB,∴sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0.∵0＜A＜π,0＜B＜π，∴-π＜A-B＜π.∴A-B=0，即A=B.故△ABC为等腰三角形.返回目录返回目录【评析】由三角形的边角关系判定三角形的形状，其基本思路是根据正弦定理和余弦定理进行边角变换，全化为边的关系或全化为角的关系（一般化为角较方便），然后利用简单的平面几何知识即可判定.应注意式子的等价变形和隐含条件的挖掘，以免漏解或增解.＊对应演练＊在△ABC中，sinA=，试判断△ABC的形状.cosCcosBsinCsinB返回目录解法一：由条件,得∵≠0(否则A=π),∴2sin2=1,即cosA=0.又∵0＜A＜π,∴A=,即△ABC为直角三角形.返回目录2Asin2Acos2Acos2A2sin2C-Bcos2CB2cos2C-Bcos2CB2sin)2C-B2CBcos()2C-B2CBcos()2C-B2CBsin()2C-B2CBsin(2Acos2A2sin2Acos2A2解法二:用正、余弦定理得a()=a+b.化简，得a2=b2+c2,故△ABC为直角三角形.返回目录2abcba2acbca222222返回目录某观测站在城A的南偏西20°的方向,由城A出发的一条公路,走向是南偏东40°,在C处测得公路上B处有一人,距C为31千米,正沿公路向A城走去,走了20千米后到达D处,此时CD间的距离为21千米,问:这人还要走多少千米才能到达A城?【分析】正确画出图形,综合运用正弦定理与余弦定理解题.考点五测量问题返回目录【解析】本题为解斜三角形的应用问题,要求这人走多少路可到达A城,也就是要求AD的长.在△ACD中,已知CD=21千米,∠CAD=60°,只需再求出一个量即可.如图,令∠ACD=α,∠CDB=β,在△CBD中,由余弦定理得,71-2120231-21202BD·CDCB-CDBDcosβ222222∴sinβ=.而sinα=sin(β-60°)=sinβcos60°-sin60°cosβ=在△ACD中,,∴AD==15(千米).∴这个人再走15千米就可到达A城.返回目录734,1435712321734sinADsin6021sin60sinα21返回目录【评析】在解决与解三角形有关的问题时,首先要明确题意,正确地画出图形,然后根据条件和图形特点寻找是否存在可解的三角形,如果有,则可先解之,进而为解决其他三角形创造可解条件,使问题逐一得到解决.返回目录如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.＊对应演练＊在△BCD中，∠CBD=π-α-β.由正弦定理，得.所以在Rt△ABC中，AB=BCtan∠ACB=返回目录CBDsinCDBDCsinBCβ)sin(αs·sinβCBDsinBDCCDsinBCβ)(αβθssinsintan返回目录沿一条小路前进，从A到B，方位角（从正北方向顺时针转到AB方向所成的角）是50°,距离是3km,从B到C,方位角是110°,距离是3km,从C到D,方位角是140°,距离是(9+3)km.试画出示意图,并计算出从A到D的方位角和距离(结果保留根号).【分析】画出示意图,要求A到D的方位角,需要构造三角形,连接AC,在△ABC中,可知∠BAC=30°,用余弦定理求出AC,再在△ACD中,求出AD和∠CAD.考点六求角度、高度问题3返回目录【解析】示意图如图所示,连接AC,在△ABC中,∠ABC=50°+(180°-110°)=120°,又AB=BC=3,∴∠BAC=∠BCA=30°.由余弦定理可得202AB·BCcos1-BCABAC22(km).3327)21-332-99