浙大概率论与数理统计课件 概率7-4区间估计

数理统计第四节区间估计置信区间定义置信区间的求法单侧置信区间小结数理统计引言前面，我们讨论了参数点估计.它是用样本算得的一个值去估计未知参数.但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大.区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷.数理统计引例设某厂生产的灯泡使用寿命X~N（，1002），现随机抽取5只，测量其寿命如下：1455，1502，1370，1610，1430，则该厂灯泡的平均使用寿命的点估计值为1145515021370161014301473.45x可以认为该种灯泡的使用寿命在1473.4个单位时间左右。因此我们自然希望能确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.——区间估计但范围有多大呢？又有多大的可能性在这“左右”呢？数理统计一、置信区间定义满足设是一个待估参数，给定,0X1,X2,…Xn确定的两个统计量则称区间是的置信水平（置信度)为的置信区间.1和分别称为置信下限和置信上限.若由样本{}1Pθθθα12(,,,)nθθXXX12(,,,)nθθXXX()θθθθ(,)θθ数理统计这里有两个要求:可见，对参数作区间估计，就是要设法找出两个只依赖于样本的界限(构造统计量).一旦有了样本，就把估计在区间内.12(,,,)nθθXXX12(,,,)nθθXXX()θθ(,)θθ数理统计可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度.1.要求以很大的可能被包含在区间内，就是说，概率要尽可能大.即要求估计尽量可靠.(,)θθ{}Pθθθ2.估计的精度要尽可能的高.如要求区间长度尽可能短，或能体现该要求的其它准则.θθ数理统计个左右。真值的有个左右，不包含真值的有个区间中包含次，则在得到的这时重复抽样，即置信度为例如：若595100100%.951%5二点说明)10(,1}ˆˆ{21P通常，采用95%的置信度，有时也取99%或90%。。、的可能性表示该区间不包含真值的可靠程度值给出了该区间含真是一个随机区间区间1,)ˆ,ˆ(1212、不同的置信水平，参数的置信区间不同。数理统计求置信区间的一般步骤如下:1.明确问题,是求什么参数的置信区间?置信水平是多少?12.寻找参数的一个良好的点估计T(X1,X2,…Xn)3.寻找一个待估参数和估计量T的函数U(T,),且其分布为已知.二、置信区间的求法数理统计4.对于给定的置信水平，根据U(T,)的分布，确定常数a,b，使得11P(aU(T,)b)=5.对“aU(T,)b”作等价变形,得到如下形式:θθθ{}1Pθθθα即1于是就是的100()％的置信区间.(,)θθ数理统计~N(0,1)选的点估计为,X求参数的置信度为的置信区间.例1设X1,…Xn是取自的样本，,2已知),(2N1nXU取明确问题,是求什么参数的置信区间?置信水平是多少？寻找未知参数的一个良好估计.解寻找一个待估参数和统计量的函数，要求其分布为已知.有了分布，就可以求出U取值于任意区间的概率.数理统计,1对给定的置信水平查正态分布表得,2u对于给定的置信水平,根据U的分布，确定一个区间,使得U取值于该区间的概率为置信水平.1}|{|2unXP使为什么这样取？数理统计1}{22unXunXP从中解得,1对给定的置信水平查正态分布表得,2u1}|{|2unXP使数理统计],[22unXunX也可简记为2()ασXun1}{22unXunXP于是所求的置信区间为数理统计可见，确定区间估计很关键的是要寻找一个待估参数和估计量T的函数U(T,),且U(T,)的分布为已知,不依赖于任何未知参数.而这与总体分布有关，所以，总体分布的形式是否已知，是怎样的类型，至关重要.从例1解题的过程数理统计正态总体均值和方差的区间估计下节主要内容：数理统计三、单侧置信区间上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限.例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了.这时,可将置信上限取为+∞，而只着眼于置信下限，这样求得的置信区间叫单侧置信区间.数理统计于是引入单侧置信区间和置信限的定义：满足设是一个待估参数，给定,0若由样本X1,X2,…Xn确定的统计量则称区间是的置信水平为的单侧置信区间.1定义12(,,,)nθθXXX{}1Pθθα[,)θ称为的置信水平为的单侧置信θ下限.1θ对于任意,数理统计满足若由样本X1,X2,…Xn确定的统计量则称区间是的置信水平为的单侧置信区间.112(,,,)nθθXXX{}1Pθθα(,]θ称为的置信水平为的单侧置信θ上限.1θ对于任意,数理统计设灯泡寿命服从正态分布.求灯泡寿命均值的置信水平为0.95的单侧置信下限.例2从一批灯泡中随机抽取5只作寿命试验，测得寿命X（单位：小时）如下：1050，1100，1120，1250，1280)1(~ntnSX方差未知2解的点估计取为样本均值,X数理统计对给定的置信水平，确定分位点)1(nt11)}1({ntnSXP使即1})1({nSntXP于是得到的置信水平为的单侧置信区间为1],)1([nSntX数理统计将样本值代入得的置信水平为0.95的单侧置信下限是1065小时的置信水平为的单侧置信下限为1即nSntX)1(数理统计同学们可通过练习，掌握各种求未知参数的置信区间的具体方法.这一讲，我们介绍了区间估计.三、小结