浙大概率论与数理统计课件――概率论1

2020/2/121概率论与数理统计2概率论与数理统计是研究随机现象数量规律的一门学科。3第一章概率论的基本概念•1.1随机试验•1.2样本空间•1.3概率和频率•1.4等可能概型（古典概型）•1.5条件概率•1.6独立性第二章随机变量及其分布•2.1随机变量•2.2离散型随机变量及其分布•2.3随机变量的分布函数•2.4连续型随机变量及其概率密度•2.5随机变量的函数的分布第三章多维随机变量及其分布•3.1二维随机变量•3.2边缘分布•3.3条件分布•3.4相互独立的随机变量•3.5两个随机变量的函数的分布4第四章随机变量的数字特征•4.1数学期望•4.2方差•4.3协方差及相关系数•4.4矩、协方差矩阵第五章大数定律和中心极限定理•5.1大数定律•5.2中心极限定理第六章数理统计的基本概念•6.1总体和样本•6.2常用的分布5第七章参数估计•7.1参数的点估计•7.2估计量的评选标准•7.3区间估计第八章假设检验•8.1假设检验•8.2正态总体均值的假设检验•8.3正态总体方差的假设检验•8.4置信区间与假设检验之间的关系•8.5样本容量的选取•8.6分布拟合检验•8.7秩和检验第九章方差分析及回归分析•9.1单因素试验的方差分析•9.2双因素试验的方差分析•9.3一元线性回归•9.4多元线性回归6第十章随机过程及其统计描述•10.1随机过程的概念•10.2随机过程的统计描述•10.3泊松过程及维纳过程第十一章马尔可夫链•11.1马尔可夫过程及其概率分布•11.2多步转移概率的确定•11.3遍历性第十二章平稳随机过程•12.1平稳随机过程的概念•12.2各态历经性•12.3相关函数的性质•12.4平稳过程的功率谱密度7概率论8关键词：样本空间随机事件频率和概率条件概率事件的独立性第一章概率论的基本概念9§1随机试验确定性现象：结果确定不确定性现象：结果不确定确定性现象不确定性现象——确定——不确定——不确定自然界与社会生活中的两类现象例：向上抛出的物体会掉落到地上明天天气状况买了彩票会中奖10概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。它具有以下特性：1.可以在相同条件下重复进行2.事先知道可能出现的结果3.进行试验前并不知道哪个试验结果会发生例：抛一枚硬币，观察试验结果；对某路公交车某停靠站登记下车人数；对某批电子产品测试其输入电压；对听课人数进行一次登记；11§2样本空间·随机事件(一)样本空间定义：随机试验E的所有结果构成的集合称为E的样本空间，记为S={e}，称S中的元素e为基本事件或样本点．S={0,1,2,…}；S={正面，反面}；S={(x,y)|T0≤y≤x≤T1}；S={x|a≤x≤b}记录一城市一日中发生交通事故次数例：一枚硬币抛一次记录某地一昼夜最高温度x，最低温度y记录一批产品的寿命x12(二)随机事件一般我们称S的子集A为E的随机事件A，当且仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生。S＝{0,1,2,…}；记A＝{至少有10人候车}＝{10,11,12,…}S，A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。例：观察89路公交车浙大站候车人数，如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发生，故又称S为必然事件。为方便起见，记Φ为不可能事件，Φ不包含任何样本点。13(三)事件的关系及运算事件的关系（包含、相等）例：记A={明天天晴}，B={明天无雨}记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车}一枚硬币抛两次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面}2ABABBA＝1ABAB：事件发生一定导致发生BABABASAB14事件的运算{|}ABxxAxBAB或：与至少有一发生。121121,,,,ninininiAAAAAAAA：至少有一发生：同时发生SBASABSBAABA与B的和事件，记为,,ABABABA与B的积事件，记为{|}ABxxAxBAB且：与同时发生。当AB=Φ时，称事件A与B不相容的，或互斥的。15“和”、“交”关系式1211nniiniiAAAAA＝；1211nniiniiAAAAA；ABABABABABABSABASA{|}ABABxxAxB且,,AASABSAAABABAA的记为,逆事件互若,称逆、互斥例：设A={甲来听课}，B={乙来听课}，则：{甲、乙至少有一人来}{甲、乙都来}{甲、乙都不来}{甲、乙至少有一人不来}16§3频率与概率(一)频率定义：记其中—A发生的次数(频数)；n—总试验次数。称为A在这n次试验中发生的频率。例：中国国家足球队，“冲击亚洲”共进行了n次，其中成功了一次，则在这n次试验中“冲击亚洲”这事件发生的频率为某人一共听了17次“概率统计”课，其中有15次迟到，记A={听课迟到}，则#频率反映了事件A发生的频繁程度。An()nAfAnn；()nfA1n；()151788%nfA()nfA试验序号n=5n=50n=500nHfn(H)nHfn(H)nHfn(H)1234567891023151242330.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6222521252421182427310.440.500.420.500.480.420.360.480.540.622512492562532512462442582622470.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.5160.5240.494表1例：抛硬币出现的正面的频率18实验者nnHfn(H)德·摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069K·皮尔逊1200060190.5016K·皮尔逊24000120120.5005表219**频率的性质：且随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p．()nfA121110()12()13,()()nnkkkniniiifAfSAAAfAfA。。。若,…,两两互不相容，则20(二)概率定义1：的稳定值p定义为A的概率，记为P(A)=p定义2：将概率视为测度，且满足：称P(A)为事件A的概率。()nfA10()1PA。2()1PS。12113,()()kkkiiiiAAAPAPA。若,…,两两互不相容，则212()()()()()ABPBAPBPAPBPA，若则有3()()()()PABPAPBPAB概率的加法公式：1()1()PAPA性质：AAS()()1PAPA()0PBAAB()()()PBPAPAB()()()()0PBPAPABPBA()()PBPA()ABABAB()()()PABPAPBAB2()()()BABPBABPBPAB。又，由知()()()()PABPAPBPAB#3。的推广：1111121()()()()(1)()nniiijiijninijknijknPAPAPAAPAAAPAAA()0()1PAAPAAS不能；不能；22§4等可能概型（古典概型）定义：若试验E满足：1.S中样本点有限(有限性)2.出现每一样本点的概率相等(等可能性)APAS所包含的样本点数中的样本点数称这种试验为等可能概型(或古典概型)。23例1：一袋中有8个球，编号为1－8，其中1－3号为红球，4－8号为黄球，设摸到每一球的可能性相等，从中随机摸一球，记A={摸到红球}，求P(A)．解：S={1,2,…,8}A={1,2,3}38PA24例2：从上例的袋中不放回的摸两球，记A={恰是一红一黄}，求P(A)．解：11235815()/53.6%28PACCC()/,0,1,,knknkDNDNPACCCkn0LmC（注：当Lm或L0时，记）例3：有N件产品，其中D件是次品，从中不放回的取n件，记Ak＝{恰有k件次品}，求P(Ak)．解：25例4：将n个不同的球，投入N个不同的盒中(n≤N)，设每一球落入各盒的概率相同，且各盒可放的球数不限，记A＝{恰有n个盒子各有一球}，求P(A)．解：n12N①②……②12N①②①12N①②12N……!nNCn()!/nnNPACnN()1!/0.997nnNPACnN即当n＝2时，共有N2个样本点；一般地，n个球放入N个盒子中，总样本点数为Nn，使A发生的样本点数可解析为一个64人的班上，至少有两人在同一天过生日的概率为99.7%．若取n＝64，N＝36526例5：一单位有5个员工，一星期共七天，老板让每位员工独立地挑一天休息，求不出现至少有2人在同一天休息的概率。解：将5为员工看成5个不同的球，7天看成7个不同的盒子，记A={无2人在同一天休息}，则由上例知：5755!3.7%7CPA27例6:(抽签问题)一袋中有a个红球，b个白球，记a＋b＝n．设每次摸到各球的概率相等，每次从袋中摸一球，不放回地摸n次。设{第k次摸到红球}，k＝1,2,…,n．求解1：kA()kPA①②…n①——a,,,,12kn①②…n(1)!()()!kaabaPAabab可以是①号球，亦可以是②号球……是号球n号球为红球，将n个人也编号为1,2,…,n．----------与k无关可设想将n个球进行编号：其中视的任一排列为一个样本点，每点出现的概率相等。28解3：将第k次摸到的球号作为一样本点：,,,,12kn11()/aaknnaPACCab()12kPA()kaaPAnab此值不仅与k无关，且与a，b都无关，若a＝0呢？对吗？为什么？原来这不是等可能概型11anCanCkA总样本点数为，每点出现的概率相等，而其中有个样本点使发生，①，②，…，nS＝{}，kA①，②，…，a{}kA{红色}解2：视哪几次摸到红球为一样本点解4：记第k次摸到的球的颜色为一样本点：S＝{红色,白色}，29解：假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来访者都是在周二、周四的概率为212/712=0.0000003.例7：某接待站在某一周曾接待12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的?人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”(称之为实际推断原理)。现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，因此有理由怀疑假设的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。§5条件概率例：有一批产品，其合格率为90%，合格品中有95%为优质品，从中任取一件，记A={取到一件合格品}，B={取到一件优质品}。则P(A)=90%而P(B)=85.5%记：P(B|A)=95%1.P(A)=0.90是将整批产品记作1时A的测度2.P(B|A)=0.95是将合格品记作1时B的测度3.由P(B|A)的意义，其实可将P(A)记为P(A|S)，而这里的S常常省略而已，P(A)也可视为条件概率分析：BAS()()PABxPA若记P(B|A)=x，则应有P(A):P(AB)=1:x解得：31一、条件概率定义：由上面讨论知，P(B|A)应具有概率的所有性质。例如：(|)1(|)PBAPBA(|)(|)(|)(|)PBCAPBAPCAPBCABC(|)(|)PBAPCA()()(|)()(|)PABPAPBAPBPAB()()(|)(|)PABCPAPBAPCAB1212131211()()(|)(|)(|)nnnPAAAPAPAAPAAAPAAA()(|)()PABPBAPA()0PA二