第7章题解

第7章题解7-1试用计算证实，对下列方程组5223122321321321xxxxxxxxx采用Jacobi点迭代时是收敛的，而采用G-S点迭代时则是发散的。解：先采用Jacobi点迭代方法将方程组写成Jacobi点迭代形式kkkkkkkkkxxxxxxxxx2113311232112253221其矩阵形式为5310221012205310221012201000100013213211321kkkxxxxxxxxx用雅可比迭代法计算方程组的解。表7-1-1Jacobi迭代法的各次结果迭代次数1x2x3x0000113525-3-331114111再采用G-S点迭代方法将方程组写成G-S点迭代形式1211133111232112253221kkkkkkkkkxxxxxxxxx其矩阵形式为53120032022053100010022002200100010001000132132111321kkkxxxxxxxxx用G-S迭代法计算方程组的解。表7-1-2G-S迭代法的各次结果迭代次数1x2x3x0000112-12-59-33-2329-74-7181-155-191209-316-479513-637-11511217-1278-26872817-255从表7-1-2中明显可以看出采用G-S方法计算该方程组时发散。7-4一正方形导热物体的底边是绝热的，其余三边上的温度如图7-14所示。试确定该正方形内节点1、2、3、4的温度，导热物体无内热源，物性为常数。1530402010T1234TTT30xyxyΔΔ绝热图7-14习题7-4插图解：导热物体无内热源，物性为常数的控制方程可以写成02222yTxT7-4-1考虑到空间步长相同时，离散方程可以写成：0PPSSNNWWEETaTaTaTaTa7-4-2式中4,1,1,1,1PSNWEaaaaa从而有：04PSNWETTTTT7-4-3对节点1列方程，并整理：40304132TTT即704132TTT7-4-4同理，对节点2列方程，并整理：504241TTT7-4-5考虑到下底面是绝热面，所以有00yyT，这里可以认为下底面上的节点温度对应节点3T，4T的温度。所以对节点3，4列方程，有：04153314TTTT04104423TTTT即153314TTT7-4-6103423TTT7-4-7对上面各节点的离散方程进行联立求解。下面列出计算结果，见表7-4。表7-4各节点的计算结果1T2T3T4T28.73724.26320.68418.3167-6对如图7-15所示的正方形内稳态无内热源的常物性导热问题，试分别用G-S点迭代及线迭代求解节点1、2、3、4的温度，比较其收敛速度。将求解结果与例1进行对比，并解释所观察到的事实。2550354050T1234TTT15xyxyΔΔ4560图7-15习题7-6插图解：导热物体无内热源，物性为常数的控制方程可以写成02222yTxT7-6-1考虑到空间步长相同时，离散方程可以写成：0PPSSNNWWEETaTaTaTaTa7-6-2式中4,1,1,1,1PSNWEaaaaa从而有：SNWEPTTTTT47-6-3列出节点1，2，3，4的温度方程，有：504321TTT7-6-4904421TTT7-6-5704431TTT7-6-61104432TTT7-6-7对上面提出的方程组，采用采用G-S点迭代方法以及线性迭代法进行求解。表7-6-1G-S迭代法的各次结果迭代次数1T2T3T4T03535353513038.7533.7545.625230.62541.56336.56347.031332.03142.26637.26647.383432.38342.44137.44147.471532.47142.48537.48547.493632.49342.49637.49647.498732.49842.49937.49947.5832.542.537.547.5两种迭代的初始条件和收敛判据应相同，如果线迭代也采用G-S方式进行则，G-S点迭代的收敛速度比线迭代要慢。7-8G-S及Jacobi点迭代收敛的一个充分条件是代数方程系数矩阵严格对角占优，即式（7-21）中的不等号对每行或每列均成立。试以下列代数方程为例44321xxx（由此构造1x的迭代式）924321xxx（由此构造2x的迭代式）252321xxx（由此构造3x的迭代式）证明当严格对角占优成立时，在某一轮迭代过程中存在的误差会随迭代的进行而逐渐衰减。解：关于当严格对角占优成立时，在某一轮迭代过程中存在的误差会随迭代的进行而逐渐衰减的问题已经在附录中给出。下面对这个代数方程进行求解，给出误差的计算过程。由已知得：(1)()()1231(4)4kkkxxx(1)(1)()2131(92)4kkkxxx(1)(1)(1)3121(22)5kkkxxx7-8-1则误差传递方程为：(1)()()1231()4kkk(1)(1)()2231(2)4kkk(1)(1)(1)3121(2)5kkk7-8-2故有：(1)()()1231144kkk(1)(1)()2131142kkk(1)(1)(1)3121255kkk7-8-3由于（1）式（7-8-3）右端无常数项；（2）系数的绝对值之和小于1，故3项误差之值必随迭代进行而逐渐衰减。表7-8G-S法各次迭代结果及误差（学生作业中不要求一定列出此表）迭代次数1x2x3x误差0111-111.55.5511e-0171.11821.3751.9063-0.08750.5597531.49841.9191-0.0679690.1256441.49681.9098-0.0645610.0100951.49361.9089-0.0648360.003327561.49341.9091-0.0649380.000258471.49351.9091-0.0649387.7596e-00581.49351.9091-0.0649359.0113e-00691.49351.9091-0.0649351.5829e-006101.49351.9091-0.0649352.8991e-007从表7-8中，可以很清楚地看出：在某一轮迭代过程中存在的误差会随迭代的进行而逐渐衰减。