高观点下的中学数学

高观点下的中学数学高观点下的的初等数学，这一重要思想发端于19世纪末，20世纪初的一场教育教学改革运动—克莱因·贝利运动．其中菲利克斯·克莱因不仅是一位伟大的数学家，也是现代国际数学教育的奠基人．他主张在现代数学观点指导下研究“高数”与“中数”之间的联系，高等数学中有许多方法，可以和中学数学相通，有些也可以迁移到中学数学中，高等数学的方法不仅可以使我们居高临下地观察初等数学问题，帮助我们确定解题思路，有时还能帮助我们发现某些初等问题的实质，寻求更一般、更简捷的解决问题的方法．（一）高观点下研究中学数学的必要性新一轮课程改革无论是从形式上还是从内容上，都对中学数学提出了许多新的课题，从内容上高等数学内容不断地下放到中学，从形式上，更强调教学活动的设计、开放性的教学和研究性的学习，更关注培养学生解决问题、分析问题的能力，以及所教知识的来龙去脉，这就使得高观点下研究中学数学，不仅是教学改革的迫切任务，也是新课改形势下中学数学教学改革的一个主流方向．具体表现为（１）教学过程中，创设问题情境的需要．◆例１：等差数列求和10012310010150S(1)(1)2123112(1)22nnnnnnSnnnnn为奇数为奇数2(1)nSnn从高斯求和开始，再到一般等差数列的求和，从问题所呈现形式出发，引导学生积极思考倒写相加法是如何想到的，还原问题发生发展的过程。把知识变得有血有肉，从而激发学生积极探索的兴趣．例２数列的递推公式◆河内塔问题相传在越南的某寺庙中有一个用n个带孔的大小不等的圆盘磊成的塔，僧侣们每天挪动一次圆盘，一次只能挪动一个，任何时候大盘不得在小盘之上，将全部ｎ个圆盘从Ａ处挪到Ｃ处，最少需要多少天？（可放回Ｂ处）ABC1231,3,7,.aaa121,21nnnnaaa教师要有渊博的数学知识，这样才能让你的课堂变得更加充实．本例想说明两点，一是已知递推公式，可以求出数列的任何一项，二是在有些计数问题中，我们也可利用数列的递推公式求解，这实际上也是递推公式的应用，通过这样的教学手段，将是课本知识变得更加丰富，更有活力．◆例平面上ｎ条两两相交且无三条共点的直线可把平面分成几部分？11(1)2,1,12nnnnnaaana◆例（Ｆ数列）有一儿童要上ｎ阶楼梯，他一步可上一阶也可上两阶，问有多少不同上法？12(3)nnnaaan(2)高考题和竞赛题经常会有高等数学的背景◆例１用四种不同颜色给图中区域染色，要求相邻区域不同色，，有多少不同染色方法？这是著名的四色问题51243n123AA解法Ⅰ加法原理和乘法原理4312124321214321111120分１、4同色与1、4不同色（2、4同色与2、4不同色）解法Ⅱ本例也可以利用递推方法，当4n时，113432,4nnnaaa！教师站的越高，才能更容易指导学生掌握知识，抓住问题的实质，学生才能用更少的时间掌握通性同法．(3)学生的求知欲对教师提出了更高的要求当今学生接受知识的渠道越来越多，知识面越来越广，老师必须有一桶水，才能教给学生一碗水．◆例四人各写一张明信片，然后交换，每人都收到不是自己写的明信片，有多少种不同方法？（高考题）分析：这是组合数学中错排问题，因为数比较小，可简单的分类，利用两个原理来解决，但若学生提出１００人的错排，应如何解决呢？一般地，１，２，３，…，ｎ的全排列，其中ｉ（１≤ｉ≤ｎ）不在第ｉ位，这样的错排共有多少个？解1（容斥原理）用iA表示i在第i位的全排列（ni,,2,1），则nnAAAD21=nnjiiAAAAAAS21)1(=!0)1()!2()!1(!21nnnnnCnCnCn=)!1)1(!31!2111(!nnn解2（递推公式）设naaa,,21为n,2,1的一个错排，显然iaai,11，分两类（1）第1a位是1，共2nD种方法；（2）第1a位不是1，有1nD种方法.又1a有（1n）种取法，故))(1(21nnnDDnD其中1,021DD)!2(1)!1(1!21nDnnDnnnDnnn令!nDEnn，则2111nnnEnEnnE!1)1()(1211nEEnEEnnnnn,又01E!1)1(!31!21nEnn，因此)!1)1(!31!21!111(!nnDnn．◆例2过0:,0:22221111cybxalcybxal交点),(00yxP的直线系0)()(22221111cybxacybxa),(),,(222111banban，1n与2n线性无关，可作为二维空间的一组基底，由平面向量基本定理可知该直线包含过),(00yxP的任何直线．而0)()(222111cybxacybxa表示的直线系不含2l，原因是21nn与2n不共线．（二）排列组合的有关问题（1）多重复的排列和组合◆例1，一排七盏路灯，关掉其中互不相邻的三盏，且不关两端的路灯，有多少种方法？分析：4个a，3个b的全排列，要求b互不相邻且不在两端的方法有34C◆例2：100zyx的正整数解的个数？方法Ⅰ：98+97+…+1=299C方法Ⅱ：对应于97///zyx非负整数解个数，又可转化为97个球与两个竖线的全排列方法数299C(也可理解为{a,b,c}的一个97可重组合，97个相同的球放入三个不同的盒子中的方法数).古典组合数学的主要原理有：①两个基本原理②容斥原理③一一对应，和中学要求一致.（2）分配问题（kn）n个球K个盒子允许空否方法数不同编号空nK不同编号不空!kSkn不同无编号不空knS不同无编号空knnnSSS21相同编号空111kknnknCC相同编号不空11knC相同无编号不空)(nPk相同无编号空)(nPk◆例：4人分配到3个工厂，每个工厂至少1人的方法数为3324AC.一般地，n个人分配到k个工厂，（n≥k）,每个工厂至少1人的方法数？解：用iA表示第i个工厂空的方法数，（i=1,2…k）kknAAASk21!=nkkknknknkkCkCkCk)()1()2()1(21现代组合数学工具还有母函数和Fevver图，在数学竞赛中经常看到，例如解决整数的分拆.（三）有关根据递推公式，求通项公式（1）)(1nfaann型与)(1nfaann型.利用累加法与累乘法.（2）qpaann1型.◆例：,1,1211aaann求?na解：)1(211nnaa，令}{,1nnnbab是等比数列，nnb212nna（3）)(1nfpaann◆例：,1,3211aaannn求na解：)3(2311nnnnaa令}{,3nnnnbab是等比数列，nnb2所以nnna23.也可化为(1)型(2)型◆例:,1,211anaann求na解:),1(21)1(1nanann1231nann(4)11nnnqapaa型解:特征方程:02qpxx,若有两个不相等实根,,则nnna21,若有两个相等实根,则nnna)(21,若无实根,周期数列.◆例:F数列,)3(,1,12121naaaaannn,求na解:特征方程:251,012xxx,nnna)251()251(2121,由21,aa确定.(注:也可以化为一阶递推公式,再求通项公式)(5)分数型递推公式)(,)(1nnafadcxbaxxf构造数列}{na当xxf)(有两个不等实根,时,(即)(xf有两个不动点),则kaakaannnn(11为常数).当xxf)(有两个相等实根0x时,(即)(xf有唯一不动点),则存在常数k使得kxaxann00111.当xxf)(无不动点时,往往是周期数列.此种形式的数列,有时也可采用倒数法或三角换元.◆例:2,1111aaaannn求na解:xxxf11)(,方程xxx11无实根,则数列{na}是一周期数列,(周期是4).tan(,tan221aaл/4)…,)1(tan[nanл/4](6)生成函数,例F函数由递推公式求通项公式,往往是通过构造新数列,把递推公式变形成等差或等比数列,通过求新数列通项公式,再求原数列通项,差分方程中有太多这样的例子.