第7章 自由曲线与曲面

第七章曲线与曲面2概述从形状表示与设计的角度来看（1）丰富的表达能力：表达两类曲线曲面（2）易于实现光滑连接（3）形状易于预测、控制和修改（4）几何意义直观，设计不必考虑其数学表达3自由曲线曲面的发展过程目标：美观，且物理性能最佳1963年，美国波音飞机公司，Ferguson双三次曲面片1964~1967年，美国MIT，Coons双三次曲面片1971年，法国雷诺汽车公司，Bezier曲线曲面1974年，美国通用汽车公司，Cordon和Riesenfeld,Forrest,B样条曲线曲面1975年，美国Syracuse大学，Versprille有理B样条80年代，Piegl和Tiller,NURBS方法45参数曲线基础曲线的表示形式非参数表示显式表示隐式表示)()(xgzxfy0),,(0),,(zyxgzyxf6参数曲线基础参数表示参数的含义时间，距离，角度，比例等等规范参数区间[0，1]],[)()()(battzztyytxx7参数表示的好处有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算设计或表示形状更直观，许多参数表示的基函数如Bernstein基和B样条函数，有明显的几何意义8曲线曲面拟合方法已知条件的表示方法一系列有序的离散数据点型值点控制点边界条件连续性要求9曲线曲面拟合方法生成方法插值点点通过型值点插值算法：线性插值、抛物样条插值、Hermite插值逼近提供的是存在误差的实验数据最小二乘法、回归分析提供的是构造曲线的轮廓线用的控制点Bezier曲线、B样条曲线等拟合（P294）10参数多项式曲线（1/4）为什么采用参数多项式曲线表示最简单理论和应用最成熟定义--n次多项式曲线]1,0[)()()(101010ttztzztztytyytytxtxxtxnnnnnn11参数多项式曲线（2/4）矢量表示形式加权和形式缺点没有明显的几何意义与曲线的关系不明确，导致曲线的形状控制困难]1,0[1)()()()(101010tTCttzzzyyyxxxtztytxtPnnnn记为]1,0[)(10tPtPtPTCtPnniPiP12参数多项式曲线（3/4）矩阵表示矩阵分解几何矩阵控制顶点基矩阵M确定了一组基函数MGC]1,0[)(tTMGTCtPnGGGG10iGTM13参数多项式曲线（4/4）例子—直线段的矩阵表示]1,0[11011)()1()(10010010ttPPPtPPtPtPPtPP0P1P0+P1几何矩阵G基矩阵MT147.1曲线Bezier曲线1962年，法国雷诺汽车公司P.E.Bezier工程师以“逼近”为基础UNISURF系统1972年雷诺汽车公司正式使用1516Bezier曲线Bezier曲线的定义n次多项式曲线P(t)称为n次Bezier曲线]1,0[)()(0,ttBEZPtPninii,1!!!niiiinninBEZtCttnCini17Bezier曲线Bezier曲线的性质端点位置00|)(PtPtntPtP1|)(P0P1P2P318Bezier曲线端点切矢量导数曲线010|)(PPtPt11|)(nntPPtP]1,0[)()()(101,1ttBEZPPntPniniiiP0P1P2P319Bezier曲线对称性不是形状对称保持曲线全部控制点Pi的坐标位置不变，只是将控制点Pi的排序颠倒，曲线形状保持不变20Bezier曲线二次Bezier曲线n=202122210221011000121122010022PPtttPPPtAtAtAAPPPAPPAP21Bezier曲线几何特征分析1.曲线起始点、终点P0P2P1MP(0.5)P(1)P(0)0021022100210210112422242PAPPAAAPAAPAPPPPPP特征多边形起点特征多边形终点中心点22Bezier曲线几何特征分析2.曲线的切线P0P2P1MP(0.5)P(1)P(0)'21'11010'21210102121'2121010202021222221222212PtAtAPAPPPPPAAPPPPPPPPPPAAPPPPPPP起点处与边相切终点处与边相切点处与底边的平行线相切23Bezier曲线三次Bezier曲线n=3P0P1P2P3P(0)P(1)01322332321030123201210100133136301330010003336333PPPttttPPPtAtAtAtAAPPPPAPPPAPPAP24Bezier曲线几何特征分析1.曲线起始点、终点003210301PAPPAAAAP特征多边形起点特征多边形终点253210321001230123121239271327932781262722222233332333AAAAAAAPAPPPPPPPPPPPP2632103210012301231224812842833822222AAAAAAAPAPPPPPPPPPP27Bezier曲线同理推导出23P28Bezier曲线几何特征分析2.曲线的切线'2321'110'32132'3210123''320313233312441233PtAtAtAPAPPPAAAPPAPAAPPPPPP起点处与起始边相切终点处与终止边相切同理推导出和29Bezier曲线曲线的拼接mimiitBEZPtP0,)()(njnijsBEZQsQ0,)()(30Bezier曲线零阶几何连续条件一阶几何连续条件二阶几何连续条件？0)1(QPm0)1(QPm)(0)2(011QQPPmm三点共线，且Q1,Pm-1在连接点的异侧31优点：形状控制直观设计灵活Bezier曲线32缺点：所生成的曲线与特征多边形的外形相距较远局部控制能力弱，因为曲线上任意一点都是所有给定顶点值的加权平均控制顶点数增多时，生成曲线的阶数也增高控制顶点数较多时，多边形对曲线的控制能力减弱曲线拼接需要附加条件，不太灵活Bezier曲线33B样条曲线产生：1946年，Schoenberg发表关于B样条函数的第1篇论文1973年前后，Gordon,Riesenfield,Forrest等人受到Bezier方法的启发，将B样条函数拓广成参数形式的B样条曲线优于Bezier曲线之处：与控制多边形的外形更接近局部修改能力任意形状，包括尖点、直线的曲线易于拼接阶次低，与型值点数目无关，计算简便34B样条曲线1B样条曲线,11,1,1,,11,1111B100,1,2niikkniikiiiiikikikikikiikiiiiPtPBttttBttttBtttttBtBtBtttttttttti为样条基函数其它352B样条基函数1,1,1001iiikiiikknitttBtttttBtttt或36B样条曲线二次B样条n=202122210210210110012111220211022222+2PPtttPPPtAtAtAPPPAPPAPPA37010122102100212100121022112212423246248414PPPAPPPAAAAAPAPPPAAAPPP特征多边形起始边的处特征多边形终止边的处特征多边形中分线的处几何特征分析1曲线起始点、终点38B样条曲线B0B2B1MP(0.5)P(1)P(0)39B样条曲线几何特征分析2.曲线的切线'21'110'2121'20212012122PtAtAPAPPPAAPPPPPAA与特征多边形起始边相切与特征多边形终止边相切与底边保持平行40B样条曲线B0B2B1MP(0.5)P(1)P(0)41B样条曲线三次B样条n=3..P(0)P(1),,P(1)P1P0P2P3P(0)P(μ)......PmPnP(t)B0B1B2B3423边界问题（以三次B样条为例）(1)''01000001,,PPPPPPP若让起始点落在上则延长至P则有，同理终点处43(2)如何使曲线延伸至顶点？'''00100001PPPPPP增加一个端点P,P在的延长线上，且44(3)若另行给定起点位置该怎么办？'0'10'''0012sssaPPbPPPPPM增加一个端点P连，取中点M连M，找出，使45(4)若另行给定起点位置及方向该怎么办？''00‘增加两个端点P和P46四曲线的拼接、对多边形的逼近曲线段间C1C2G1G2连续性定义，P297给定空间任一多边形，通常采用分段的Bezier或B样条曲线逼近P。1,2,,iPPin47四曲线的拼接、对多边形的逼近1分段二次Bezier曲线每顺序取三点生成一段二次Bezier曲线，若保证二段曲线在拼接处保持平滑，要一阶导数相等（称GC1连续），如图，P1，P2，P3三点共线即可。48四曲线的拼接、对多边形的逼近2分段三次Bezier曲线每顺序取四点生成一段三次Bezier曲线，若保证两段曲线在拼接处保持平滑，要二阶导数相等（称GC2连续），如图，P2，P3，P4三点共线，P1，P2，P3，P4，P5共面即可。49四曲线的拼接、对多边形的逼近3分段二次B样条曲线每顺序取三点生成一段二次B样条曲线，自然达到一次可导连续。50四曲线的拼接、对多边形的逼近4分段三次B样条曲线每顺序取四点生成一段三次B样条曲线，自然达到二次可导连续。51四曲线的拼接、对多边形的逼近5多边形的逼近二次B样条优于三次B样条三次B样条优于三次Bezier曲线，最佳：三次样条插值。52B样条曲线三次B样条的C2连续性如果增加一个控制顶点P4，则前一段曲线是否会受影响？..P(0)P(1),,P(1)P1P0P2P3P(0)P(μ)......PmPnP(t)P453B样条曲线特殊外形设计(以三次B样条曲线设计为例说明)三顶点共线位于控制多边形边上的一个点P0P2P1MP(0)P’(0)P0P2MP1P(0)54“反向弧切接”12301231234SPPPPPPPPPPP是四边形和对接三角形，因此两段曲线在处反向切接55B样条曲线特殊外形设计四顶点共线含有直线段的曲线P0P3P1P2P(0)M1P(1)M256“切入一段直线”123412PPPP由四边形控制的曲线段SS退化为一段直线57B样条曲线特殊外形设计两顶点重合P0P2P1MP’(0)P0P2MP1P(0)P(0)58“曲线与多边形边相切”01201112011SS6PPPPPPPP退化为一段直线，曲线与相切于点，点距为59B样条曲线特