《管理统计学》马庆国著-课件3

第四章总体分布、样本分布与参数估计§4.1总体分布与样本分布一、总体（母体）:反映总体特征的随机变量的取值的全体。总体分布（母体分布）：反映总体特征的随机变量的概率分布。从无限次随机抽取（然后放回）的角度看，表征一个总体特征的变量（指标），都可以视为随机变量。有限总体的概率分布，就是有限总体中不同个体的比率（频率）分布。二、随机样本与样本观测值（样本数据）1、随机样本表征n次抽取个体的随机抽样的一组随机变量X1，X2，···，Xn。2、样本观测值n次随机抽样的结果：x1，x2，···，xn（称为随机样本X1，X2，···，Xn的样本观测值）。n称为随机样本向量（X1，X2，···，Xn）的维度，即自由度。3、样本（累积）分布函数设样本观测值x1x2,···,xnki为小于xi+1的样本值出现的累积频次,n为样本容量,则可得样本累积频率分布函数如下:xxxxxnkxxxFniiin当当当1/0)(11样本累积频率分布函数,又称样本(累积)分布函数.样本(累积)分布函数Fn(x)是对总体的累积分布函数F(x)的近似,n越大,Fn(x)对F(x)的近似越好.样本分布与总体分布格利文科(Glivenko)定理(样本分布与总体分布的关系)定理:当样本容量n趋于无穷大时,Fn(x)以概率1(关于x)均匀地收敛于F(x).该定理是运用样本推断总体的理论依据.定理的数学表达为:1)0)()(suplim(xFxFPnxn随机样本的均值函数和方差函数都是一个随机变量.样本数据的样本均值x是随机变量X的观测值；样本数据的样本方差s2是随机变量S2的观测值.随机样本的均值函数：niiXnX11随机样本的方差函数：niiXXnS122)(11三、统计量与统计量的分布统计量定义：统计量是不含未知参数的，随机样本X1，X2，···,Xn的函数。统计量的值的定义:统计量的值是不含未知参数的,样本观测值x1，x2，···，xn的函数.四、由标准正态分布N（0，1）的随机样本所引出的几个重要统计量分布：2、t与F分布1、2（n）分布的构成设随机变量X服从N（0，1）分布，X1，X2，···,Xn为X样本，则2=X2i=X21+X22+···X2n服从自由度为n的2分布，记为2~2（n）。2（n）分布的均值E（2）=n，方差D（2）=2n。n=1n=4n=102（n）分布图0,00,)2(21)(2122xxexnxfxnnn2（n）密度函数：其中，n为自由度。（n/2）为珈玛函数，是一个含参数n/2的积分，为：0212)2/(dtetntn2、t分布自由度为n的t分布，记为t（n），是由N（0，1）分布和2（n）分布组成的，其表达式为：nYXT其中，X服从N（0，1），Y服从2（n）分布，且X与Y相互独立。密度函数为：xnxnnnxfnn,)1()2/()21()(212t分布图3、F分布F分布是由两个2分布之比组成的：nVmUF服从F（m，n）。其中，U服从2（m），V服从2（n）。m=100，n=20m=15，n=20重要性质：000,)1())(()2/()2/()2()(212xxxnmxnmnmnmnmxfnmm密度函数形式为：),(1),(1mnFnmF五、由一般正态分布的随机样本所构成的若干重要统计量的分布定理：若X1，X2，···,Xn是正态总体N（，2）的一个随机样本，则样本均值函数和样本方差函数，满足如下性质：（1）X服从N（，2/n）分布。(2)X与S2相互独立。nXZ（3）服从N（0，1）分布；22)1(Sn（4）服从2（n-1）分布；（5）服从t（n-1）分布；nSXT（1）服从N（0，1）。22212121)()(nnYX（6）服从2（n）分布；niiX122)(1定理：若X1，X2，···,Xn1和Y1，Y2，···,Yn2分别是正态总体N（1，12）和N（2，22）的一个随机样本，且它们相互独立，则满足如下性质：（3）服从F（n1-1，n2-1）。22222121SSF其中，S12是容量为n1的X的样本方差，S22是容量为n2的Y的样本方差。21212122221121)2()1()1()()(nnnnnnSnSnYXT（2）服从t（n1+n2-2），（1=2）。21122211121222)()(niiniiYnXn（4）服从F（n1，n2）。六、任意分布的随机样本均值函数的均值与方差设：随机变量X服从任何均值为，标准差为的分布，X是随机样本X1，X2，···,Xn的均值函数。记随机变量X的分布函数的均值为X，标准差为X,则有如下结论成立：(1)X=;(2)X=/n或2X=2/n注:一个应用广泛的样本均值函数的均值和方差:0-1分布的样本均值函数均值和方差。反映总体中某类个体的比例的随机变量X,可以简单地用0-1分布B(1,p)表示.E(X)=p,D(X)=p(1-p).p是总体中某类个体的比例.由样本X1，X2，···,Xn产生均值函数X的均值X=p,方差的均值也是总体中某类个体的比例p.所以,常用x来估计p.XnppX,)1(2七、大样本均值函数的分布：中心极限定理设：随机变量X服从任何均值为，标准差为的分布，X是随机样本X1，X2，···,Xn的均值函数。中心极限定理：当n充分大时，X近似地服从均值为，标准差为/n的正态分布。在实际问题中n多大？但一般n30。对比总体参数和样本统计量§4.2点估计在实际问题中，人们常常判断总体分布的参数，这就需要用样本来推断总体分布的这些参数，这就是参数估计。参数估计分为：点估计和区间估计两种方法。1、点估计概念设是总体分布中一个需要估计的参数，现从总体中抽取一个随机样本X1，X2，···,Xn，记估计的统计量为),,,(ˆˆ21nXXX则称为的估计量。ˆ若得到一组样本观测值x1，x2，···，xn，就可得出的估计值，记：。),,,(ˆˆ21nxxx注：在选取样本统计量作为点估计时，必须考虑到“无偏差性”，这一点很重要。如果样本统计量的期望值（或均值）与打算估计的总体参数值相同，则估计值不存在偏差。总体分布参数的点估计，就是求出的估计值。对比总体参数和样本统计量参数估计值备注均值()nXX无偏差估计值标准差()1)(2nXXs不是无偏差估计值*比例(p)nnppˆ无偏差估计值点估计–ˆ2、矩法估计就是用样本矩来估计总体矩。矩的一般形式：E（Xk）表示k阶原点矩（以原点为中心）；E（X-）k表示k阶中心矩（以为中心）；3、极大似然估计法设：总体X的（累积）概率分布函数为F（x,）,概率密度函数f(x,),其中为未知参数(也可以表示未知参数向量).若X为离散型随机变量,则由离散型与连续型的对应关系,f(x,)对应于离散情况下的概率P(X=x).X为连续型随机变量时,X的随机样本X1，X2，···,Xn的联合概率密度函数为niixfL1),()(称为的极大似然估计函数.当X为离散随机变量时,L表示概率:),,,(2211nnxXxXxXPL关于的极大值如果存在,极大值就是的极大似然估计值.其含义是:一组观测值x1，x2，···，xn在一次实验中出现了,其联合概率就应当是最大的,所以选择使联合密度L最大的那个.),,,(ˆˆ21nxxxˆ例:设x1，x2，···,xn是正态总体N（，2）的一个样本观测值，求与2的极大似然估计值.解:极大似然函数为nixieL12)(2221)(取对数,分别对与2求偏导,并令偏导为0,可求出与2的极大似然估计值如下:2121)(1ˆ1ˆniiniixxnxnx如果将上述xi换成Xi,上式成为极大似然估计量.§4.3判别点估计的优劣标准1、无偏估计量ˆˆE如果，则称为的无偏估计量。2、最小方差性若总体参数为，的估计量的方差Var（）小于等于其他所有对的估计量的方差，即则称的估计量具有最小方差性。)~()ˆ(VarVarˆˆ~ˆ3、有效估计量如果一个估计量满足（1）无偏性；（2）最小方差性。那么，该估计量为有效估计量。4、渐近无偏估计量如果：，（n为样本容量）则称为渐近无偏估计量。)ˆ(limEnˆ5、一致估计量如果满足：则称为的一致估计量。ˆˆ1)ˆ(limpn一致估计量的另一等价定义：（1）渐进无偏的；（2）ˆ0)ˆ(limnnVar9、渐进有效性如果一个估计量满足：（1）是一致估计量；（2）比其它的估计量更小的渐进方差。注：在实践中广泛应用的准则：（1）小样本准则a、无偏性；b、有效性。（2）大样本准则一致估计量。)))ˆ(ˆ((1lim)ˆ(lim2nnnnnEnEnVar渐进方差定义：§4.4区间估计1、置信区间若总体分布含有一个未知参数，找出了2个依赖于样本X1，X2，···,Xn的估计量：),,,(ˆ),,,(ˆ212211nnXXXXXX使1)ˆˆ(21P其中，01，一般取0.05或0.01,则称随机区间为的100(1-)%的置信区间.百分数100(1-)%称为置信度.2、总体均值的置信区间（总体方差已知）设：总体X服从已知N（，2），2已知，抽取n个观)ˆ,ˆ(21测值x1，x2，···，xn，求总体均值的100(1-)%（如=95%）的置信区间。首先构造：nXZ因为X服从N（，2/n）分布，所以Z服从N（0，1）分布。nZXnZX2/2/由：1)(2/ZZP得置信区间：Z/2Z1-/21-/2/2例：设：总体X服从已知N（,0.09），抽取4个观测值x1,x2,x3,x4，求总体均值的95%的置信区间。解:由已知:1-=0.95,=0.3,n=4根据:95.0)(025.0025.0ZnXZP得到:23.0)23.0(025.0025.0zXzX查表得z0.025=1.96,于是置信区间为(X-0.294,X+0.294),置信度为95%.也就是说:总体均值以95%的概率在该区间内.3、总体均值的置信区间（总体方差未知）设：总体X服从已知N（，2），2未知，抽取n个观测值x1，x2，···，xn，求总体均值的100(1-)%=95%的置信区间。首先构造：)1(~ntnSXT1))1((2/2/tnSXntpnstXnstXnn2/,12/,1可得置信区间：由：将n个观测值x1，x2，···，xn代入上式得到置信区间。4、总体方差的置信区间（未知总体均值）设：总体X服从已知N（，2），未知，抽取n个观测值x1，x2，···，xn，求总体方差2的100(1-)%=95%的置信区间。首先构造：)1(~)1(2222nSn)1()1()1()1(22/12222/2nsnnsn得到置信区间：由：1))1()1()1((22/2222/1nSnnp将n个观测值x1，x2，···，xn代入上式得到置信区间。5、总体比例的置信区间Letpdenotetheobservedproportionof“successes”inarandomsampleofnobservationsfromapopulationwithaproportionofs