PowerPoint 演示文稿 - 宝教信息网讲解

平面解析几何的本质是用代数的方法来研究几何的问题。在坐标系中是将平面上的点与有序实数对之间建立起对应关系，进而是将直线、曲线与方程之间建立起对应关系，从而将“数”与“形”结合了起来，那么我们就可以用代数的方法去研究几何的问题了。这里的第一讲，希望同学们理解并掌握以下这几个问题：一．两解问题例：a∈R+，求直线l，使得两点A(4,3),B(-4,-3)到l的距离都是a解：（1）点A,B在直线l的同侧。YXOBA由题意知：l//AB，∵kAB=3/4,344355mama0543ayx340xym故所求的直线的方程为：故设l的方程为：（2）点A,B在直线l的异侧。BOYXA由题意知：l必过AB的中点即坐标原点若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=0，此时a=4akk1342,化简得：0924)16(222akka当a=4时，则247k得l的方程为：0247yx当a≠4时，则)25(422aa若直线l的斜率为k，设l的方程为：kx-y=0,(i)a5,则∆0，这样的直线不存在34k(ii)a=5,则，即l的方程为4x+3y=0由题意得:(iii)0a5,则22162512aaakxaaay22162512,即l的方程为：综上所述，当a∈(0,4)∪(4,5)时，满足条件的直线有4条：或；0543ayxxaaay22162512当a=4时，满足条件的直线有4条：7x+24y=0或x=0或3x-4y±20=0；当a=5时,满足条件的直线有3条：4x+3y=0或3x-4y±25=0;当a5时，满足条件的直线有2条：0543ayx注意：在与直线相关的问题中，还有许多出现两解的情况，如：（1）求直线的倾斜角范围。01cosyx（2）求通过点P(2,5)且倾斜角的正弦值为4/5的直线方程。（3）求斜率为1/6，且与坐标轴围成的三角形面积为3的直线方程。（4）过原点的直线l分别与交成45o角，求直线l的方程。1:34100,lxyL2L1YXO2:34200lxy（5）求过A(-3,-1),B(-1,5)的中点M，且在x轴上的截距a是在y轴上的截距b的2倍的直线方程。（6）设F1,F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶点,且，求的值。14922yx21PFPF21PFPFF2F1PYX0二．直线与圆1．直线与圆的位置关系：例1：直线ax-y-2a-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=4在第二象限有公共点，求实数a的取值范围解：由题意：y=a(x-2)-2,即直线过定点P(2,-2)且P在圆外，a是直线的斜率，如图ABPCOxy设圆与x轴的左交点为A、与y轴的上交点为B，则，，)0,31(A)31,0(B连接AP,BP,得AP,BP的斜率分别为：，31233由图形可知：31233a（1）已知定直线l和定圆圆心C，C到l的距离为d，若圆上点要满足到直线l的距离为d/2，当这样的点有0个、1个、2个、3个、4个时，求半径r的范围（2）已知圆C方程为:(x+1)2+(y-3)2=4，过点A(1,0)的直线l的斜率为k，当圆C上到直线l的距离为1的点的个数分别为0个、1个、2个、3个、4个时，求k的范围例2：解：（1）作l1∥l,l2∥l且与l相距都是d/2，如图，ll2l1C显然，当l1,l2是圆的切线时满足题意的圆上的点有1个和3个，此时半径r=d/2和3d/2，当符合条件的点有2个时，半径介于这两者之间，所以,当rd/2时这样的点有0个；当r=d/2时有1个；当d/2r3d/2时有2个；当r=3d/2时有3个；当r3d/2时有4个解:（2）设C到l的距离为d，那么当点的个数为1时，d=3，当点的个数为3时，d=1，此时直线l的斜率存在,设方程为:y=k(x-1),即kx-y-k=0，当d=3时,则有或k=12/503132kkkk当d=1时同理可得：3322kl1l2l3COAxy综上所述，当时满足题意的点有0个；5120k当k=0或时有1个；512k当k12/5或或时有2个；3322k03322k当时有3个；3322k当时有4个；33223322k(1)设圆方程为：或，则过圆外一点P(x0,y0)所引的圆的切线长为或2．相关结论：022FEyDxyx222)()(RbyaxFEyDxyxd00202022020)()(Rbyaxd(2)已知一个圆的直径端点是A(x1,y1),B(x2,y2),则圆的方程为：0))(())((2121yyyyxxxx(3)已知点M(x0,y0)是圆上一点，则过该点圆的切线方程为：对于点M(x0,y0)在圆外的情况，应该有两条切线，可利用圆心到切线的距离等于半径求得切线方程。222)()(rbyax0))(())((0000yybyxxax(4)设P(m,n)为圆外一点，过P作圆两条切线PA,PB，切点为A,B，则直线AB的方程为：222)()(:rbyaxC2))(())((rbybnaxam（利用P,A,C,B四点共圆得：A,B在以P,C为直径的圆上，其方程可由上述结论（2）得出，而A,B又在已知圆上，两圆方程相减即可得直线AB的方程）；BAPcyxo(5)设P(m,n)在圆内部且mn≠0PMYXOCBA222)()(:rbyaxC过P作直线l与圆交于A,B两点，经过A,B分别作两条与圆相切的切线MA,MB，则切线交点M的轨迹方程为：2))(())((rbybnaxam例1：已知圆M:x2+(y-2)2=1,Q是x轴上的动点，QA,QB分别切圆M于A,B两点（1）若，求直线MQ的方程（2）求证：直线AB恒过定点324ABQXYOPAMB解：(1)由题意：QA,QB分别切圆M于A，B两点，设Q(a,0)，AB的中点为P，因为可求得：324AB31MP由532aMQMQMPMB从而得直线的方程为：05252,05252yxyx则可知M,P,Q三点共线且MQ⊥AB，连接MB得MB⊥BQ，(2)由上述结论(4)知：直线AB方程为：ax-2y+3=0,则直线恒过定点)23,0(例2：已知椭圆，圆O：x2+y2=4,P∈C,PA,PB是圆的任意切线,A,B为切点，求AB中点M的轨迹方程。1925:22yxCCMOPABxy解：设点P(x0,y0)，由上述结论（4）可知：直线AB的方程为x0x+yy0=4当y0≠0时，则直线AB的斜率为00yx由题意知点P,M,O共线，且OM⊥AB，设M(x,y)(x≠0),则00001)(xxyyyxxy因为点M在AB上，故点M的坐标也满足直线AB的方程，两式联立可解得：00222244,xyxyxyxyPC，代入椭圆方程得：22222)(225)259(16yxyx当y0=0时,也满足题意;x=0时,也满足题意这就是所求的点的轨迹方程例3：已知圆，从圆外一点P(x0,y0)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求|PM|的最小值0342:22yxyxC解：因为|PM|=|PO|，由上述结论（1）知：2020002020342yxyxyx得：034200yx即点P在直线上运动，0342yx因为|PM|=|PO|，故|PM|的最小值就是|PO|的最小值也就是点O到直线的距离0342yx故所求最小值为10/53三．圆与圆例:（1）已知圆C1:x2+y2=25,圆C2:(x-2)2+y2=1,求与圆C2外切且与圆C1内切的动圆圆心M的轨迹方程（O为坐标原点，下同）（2）已知圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x-4)2+y2=1,求与圆C2外切且与圆C1内切的动圆圆心M的轨迹方程解：（1）设圆心M(x,y),半径为r,MC2C1XYO由题意知：15,MCr得：rMC12621MCMC26由椭圆定义知点M的轨迹是椭圆，且以C1、C2为焦点，则所求的点M的轨迹方程为：189)1(22yx解：（2）设圆心M(x,y),半径为r,MC2C1YXO由题意知：12,MCrrMC12得：312MCMC43由双曲线的定义知点M的轨迹为双曲线的左支，且以C1、C2为焦点则所求的点M的轨迹方程为：)21(14749)2(22xyx（1）给出两相离定圆，圆心为C1、C2,半径为r1、r2设动圆圆心为M，半径为R，C1MC2MM若动圆与两相离定圆都内切,有:1122;MCrMCr若动圆与两相离定圆都外切,有:1122;MCrMCr若动圆与两相离定圆内外切（举一种情况），则有：1122;MCrMCr显然，它们的轨迹都符合双曲线的定义形式，且C1、C2恰为两焦点，需要注意的是，这类轨迹往往只是双曲线的单支（2）给出两内含定圆，圆心为C1、C2,半径为r1、r2设动圆圆心为M，半径为R，C1MC2M若动圆与两内含定圆都内切,有:若动圆与两内含定圆内外切,（举一种情况），则有：2211rMCMCr2211rMCMCr显然，它们的轨迹都符合椭圆的定义形式，且C1、C2恰为两焦点这里，双曲线型与椭圆型轨迹的建立，等式都构造在动圆自身半径的相同上，其他情况可相仿讨论。四．关于对称问题解析几何中的对称结构问题要点：1.已知曲线(直线),求曲线(直线)C’的方程0),(:yxFC(1)若C与C’关于x轴对称：则C’方程为0),(yxF(2)若C与C’关于y轴对称：则C’方程为0),(yxF(3)若C与C’关于原点对称：则C’方程为0),(yxF0),(xyF(4)若C与C’关于直线y=x对称：则C’方程为(5)若C与C’关于直线y=-x对称：则C’方程为0),(xyF(6)若C与C’关于直线y=x+m对称：则C’方程为0),(mxmyF(7)若C与C’关于直线y=-x+m对称：则C’方程为(,)0Fymxm2．已知直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,求k1，k2的关系(1)若l1,l2关于直线x=m或y=n（包括mn=0即x轴或y轴）对称，则有：021kk(2)若l1,l2关于直线y=±x+m(m∈R)对称，则有：121kk例1：自点A(-3,3)出发的光线l射到x轴上并被x轴反射，其反射光线l’所在的直线与圆1)2()2(:22yxC相切，求入射光线l和反射光线l’所在的直线方程C'ACOxy解：由题意知，入射光线l和反射光线l’的斜率都存在，点A(-3,3)关于x轴的对称点为A’(-3,-3)射光线l’上，设反射光线l’的方程为：即：)3(3xky330kxyk25511kk得：或43k34k由题意知，入射光线l和反射光线l’的斜率互为相反数，得入射光线l的斜率为或4334因此，所求的入射光线l和反射光线l’的方程分别为：或0343,0343yxyx0334,0334yxyx且点A’在反此题也可先求出圆心C(2,2)关于x轴的对称点C’(2,-2)，由题意知入射光线l与圆C’相切，同样可用上述解法求出所求的直线方程。例2：已知椭圆，试确定实数m的取值范围，使得在椭圆C上有不同的两点关于直线l:y=4x+m对称134:22yxCP2P1CLXYO解法1：设椭圆C上相异两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),关于直线l对称，线段P1P2中点为P0(x0,y0)，由22111,43xy22221,43xy0210212,2yyyxxx将两式相减可得：00212143yxxxyy00432