数列的函数特性

数列的函数特性回顾：数列定义数列通项公式数列与通项公式关系（1）找出3，5，7，9，…的通项公式（2）数列的通项公式是，则-8是该数列的（）A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项502nnan数列也可以看作定义域为正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就构成一个数列．数列的表示方法有哪些？实例分析我国1952—1994年间部分年份进出口贸易总额数据排成一列数：19.4,31.0,42.5,45.9,147.5,381.4,696.0,1154.4,42367.3此数列也可用图直观表示如下:195219571965197019751980198519901994(年)(亿美元)19.431.042.545.9147.5381.4696.01154.42367.30.0200.0400.0600.0800.01000.01200.01400.01600.01800.02000.02200.02400.02600.0中国进出口贸易总额的变化实例分析数列（1）3,4,5,6,7,8,9的图像nan012345678901234567实例分析1111,,,,...357数列（5）的图像01234ann113实例分析数列(6)1100,1100,1100,…,1100的图像ann01234567891011121100实例分析中数列（1），(5)，（6）的函数图像各有什么特点？数列（1）的函数图像上升数列(5)的函数图像下降数列（6）的函数图像值不变化nan01234567890123456701234ann113ann01234567891011121100是不是所有的数列都有增减性？例4：作出数列的的图像，并分析数列的增减性.解:观察知,数列各项的值正负相间,表示数列的各点相对于横轴上下摆动,所以它既不是递增的，也不是递减的，称摆动数列11111,,,,...,(),...248162n1352412141412递增数列：如果一个数列从第2项起，每一项都大于它的前一项，那么这个数列就叫做递增数列.递减数列：如果一个数列从第2项起，每一项都小于它的前一项，那么这个数列就叫做递减数列.常数列：如果一个数列各项相等，那么这个数列就叫做常数列.抽象概括摆动数列：如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫摆动数列．（1）1,0.84,0.842,0.843，…；（2）2,4,6,8,10，…；（3）7，7，7,7,7，…；（4）1/3，1/9，1/27，1/81，…；（5）0,10,20,30，…，1000；（6）0，-1,2，-3,4，-5，…；（7）0，0,0，0,0；例1.下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增、递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？数列的单调性①递增数列：对任意的n，都有an+1＞an；②递减数列：对任意的n，都有an+1＜an；③常数数列：对任意的n，都有an+1=an；数列{an}的通项公式如下，请写出数列前4项，判断数列{an}的增减性2108nann例3：判断下列无穷数列的增减性.解:(1)设an=3-n,那么(1)2,1,0,1,...,3,...n123(2),,,...,,...2341nn13(1)2nann1(2)(3)1nnaann1,.nnaa所以,因此这个数列是递减数列（2）设,那么1nbn111(1)12nnnbnn111021(1)(2)nnnnbbnnnn1,.nnbb所以,因此这个数列是递增数列用表格来表示n12345678an7121516151270作图012345678910111213141516012345678nan它在{1,2,3,4}上是递增的,{5,6,7,8}上是递减的.某数列为7,12,15,16,15,12,7,0an-1≤anan-1≥anan≥an+1或an≤an+1是分别找出数列最大项和最小项的常用方法。已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋1)1011n(n∈N＋)，试问数列{an}有没有最大项？若有，求最大项；若没有，说明理由．求数列的最大（小）项[策略点睛][规范作答]方法一：因为an＋1－an＝(n＋2)1011n＋1－(n＋1)1011n＝1011n·9－n11，当n＜9时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n＞9时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an；所以a1＜a2＜a3＜…＜a9＝a10＞a11＞a12＞…，所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，即a9＝a10＝1010119.方法二：假设数列{an}中有最大项，并设第k项为最大项，则对任意的k∈N＋且k≥2都成立．即k＋11011k≥k1011k－1k＋11011k≥k＋21011k＋1，∴1011k＋1≥kk＋1≥1011k＋2，解得9≤k≤10.又k∈N＋，∴数列{an}中存在的最大项是第9项和第10项．且a9＝a10＝1010119.ak≥ak－1ak≥ak＋11．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是()A．1，12，13，14，…B．－1，－2，－3，－4，…C．－1，－12，－14，－18，…D．1，2，3，…，n答案：C2．数列{an}的通项公式an＝3n2－28n，则数列{an}各项中最小的项是()A．第4项B．第5项C．第6项D．第7项答案：B3．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是________数列(填“递增”或“递减”)答案：递增5．已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋1，证明数列{an}为递增数列．证明：∵an＝n2＋1，∴an＋1＝n＋12＋1，∴an＋1－an＝n＋12－1－n2＋1＝2n＋1n＋12＋1＋n2＋1＞0.∴an＋1＞an，∴数列{an}为递增数列．解:2*91052(),48923,4nannN又29313.nnn22时a取最大值13.数列-2n中数值最大的项为a例4：求数列中的数值最大的项.2na293nn3.已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值.解：(1)由n2－5n＋4＜0，解得1＜n＜4.∵n∈N*，∴n＝2,3.∴数列中有两项a2，a3是负数.(2)∵an＝n2－5n＋4＝n(n-)2-的对称轴方程为n＝又n∈N*，∴n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.一、数列的概念1.定义按一定次序排列的一列数叫做数列.2.数列是特殊的函数从函数的观点看数列,对于定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函数来说,数列就是这个函数当自变量从小到大依次取值时对应的一系列函数值,其图象是无限个或有限个孤立的点.注:依据此观点可以用函数的思想方法来解决有关数列的问题.小结二、数列的表示1.列举法2.图象法3.通项公式法若数列的每一项an与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表达,即an=f(n),则an=f(n)叫做数列的通项公式.三、数列的分类1.按项数：有穷数列和无穷数列；2.按an的增减性：递增、递减、常数、摆动数列；a1,a2,a3,……an,…….简记为：{an}数列的图象是一群孤立的点.