数列的极限

2020年2月12日8时43分2020年2月12日8时43分战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下篇》引用过一句话:一尺之棰日取其半万世不竭.2020年2月12日8时43分三国时的刘徽提出的的方法.他把圆周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、···这样继续分割下去,所得多边形的周长就无限接近于圆的周长.“割圆求周”割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.2020年2月12日8时43分定量分析1项号项这一项与0的差的绝对值12345678…214181161321641128125615.0|021|25.0|041|125.0|081|0625.0|0161|03125.0|0321|015625.0|0641|0078125.0|01281|00390625.0|02561|…………………2020年2月12日8时43分定量分析212345678…项号边数内接多边形周长2412632.5980762113533.0000000000003.1058285412303.132628613281483.139350203047963.1410319508911923.1414524722853843.141557607912……………2020年2月12日8时43分1x221344356一般地，在n无限增大的变化过程中，如果无穷数列{an}中的an，无限趋近于一个常数A，那么A叫做数列{an}的极限，或叫做数列{an}收敛于A，记作Aannlim考察数列的极限：2,,,,,,,6556433421,n11+（-1)n+12020年2月12日8时43分在求数列极限时，经常用是否无限趋近于0来判断是否有极限A.Aanna0limlimAaAaAaAannnnnn可表示为所以的意义相同无限趋近于零””与“无限趋近于由于“2020年2月12日8时43分几个基本数列的极限01lim.1nn0lim,1.2nnqq时cccnlim,.3为常数2020年2月12日8时43分问题1•根据极限定义,猜想下列数列的极限,.....1,......,61,51,41,31,21,11n,.....1,......,61,51,41,31,21,12n,.....)1(,......,61,51,41,31,21,13nn,.....)1(1,...,0,31,0,21,0,1,04nn00002020年2月12日8时43分问题2判断下列命题的正确性:①数列{an}的极限是A,则A一定是该数列中的一项;②任何一个无穷数列必存在极限;③数列的极限存在,且偶数项的极限为1,奇数项的极限为-1.问题2判断下列命题的正确性:n)1(对数列极限定义的讨论•问题1：数列an=n有极限吗？如果有的话，极限等于多少？如果没有，说说你的理由。•问题2：数列有极限吗？如果有的话，极限等于多少？如果没有，说说你的理由。是奇数是偶数nnnnnan,1,,1对数列极限定义的讨论•问题3：数列有极限吗？如果有的话，极限等于多少？如果没有，说说你的理由。•问题4：有人认为，-0.001是无穷数列an=的极限，这种观点是否正确？说说你的见解。是奇数是偶数nnnan,1,,0n1例1:(1)举出两个以0为极限的数列;(2)举出两个以1为极限的数列;(3)举出两个以A为极限的数列.解:(1)an=1/n2bn=(1/2)n(2)an=(n+1)/nbn=1+(1/3)n(3)an=A+1/nbn=(-1)n(1/n)+A2020年2月12日8时43分解：.,114131212确定这个数列的极限，，，、已知数列例n11limnn02020年2月12日8时43分解：例3、求常数-7，-7，-7……的极限.7limn72020年2月12日8时43分.,436427169434确定这个数列的极限，，，、已知数列例n解：nn43lim02020年2月12日8时43分如果那么，AannlimBbnnlimBAbannn)(lim特别地：如果c是常数，那么，ACaCnn)(lim如果两个数列都有极限，那么，这两个数列的各对应项和，差，积，商组成数列的极限，分别等于这两个数列的极限的和，差，积，商。2020年2月12日8时43分注意：•（1）利用数列极限四则运算法则时，必须这两个极限都存在。•（2）数列极限四则运算法则可以推广到有限个数列极限的和、差、积、商，但不可用于无限个数列的和、差、积、商的极限。2020年2月12日8时43分nn15lim12312lim2nnn解：01lim,55lim1nnn5nnnnnn2312lim2312lim2例1、求下列极限nnnnn1lim5lim15limnnnn23lim12lim322020年2月12日8时43分145373323limnnnnn14537323limnnnnn解：3321451137limnnnnn472020年2月12日8时43分145373323limnnnnn14537423limnnnnn14537223limnnnnn2020年2月12日8时43分时的极限当求这个数列已知等比数列nn,21,81,41,212020年2月12日8时43分分析：中含有幂型数，应该怎样转化？nnnnn3223411lim10limqqnn利用332322132231111limlimnnnnnnnn解：312020年2月12日8时43分11317145222limnnnnn2020年2月12日8时43分对两种不同解法的分析•因为极限的四则运算法则只适用于有限个数列加、减、乘、除的情况．此题当n→∞，和式成了无限项的和，不能使用运算法则，所以解法1是错的．•解法2先用等差数列的求和公式，求出分子的和，满足了极限四则运算法则的条件，从而求出了极限．2020年2月12日8时43分分析：题应该怎样做？用等比数列的求和公式先求出分母的和．11)3(931)3(lim6nnnnnnnnn)3(1)3(4lim)3(931)3(lim111解：12131)3(4limnn2020年2月12日8时43分])13)(23(11071741411[lim8nnn2115114113117limnnn2020年2月12日8时43分（7）题是连乘积的形式，可以进行约分变形．1111(1)(1)(1)(1)3452nn原式=2lim2xnn=22221544332nnnnn2020年2月12日8时43分（8）题是分数和的形式，可以用“裂项法”变形．])13)(23(11071741411[limnnn13123110171714141131limnnn13limnnn312020年2月12日8时43分归纳小结，提高认识：⑴只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限.（对于无限数列先求和再求极限）⑵运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件.（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形）⑶求数列极限最后往往转化为或型的极限.Nmnm11qqn2020年2月12日8时43分:4.几个常用的极限5.两种类型极限103021limlimlimqqnCCCnnnn111110limorqqqqqnn不存在tstsbatsbnbnbnbanananassssttttn不存在0022110221100lim2020年2月12日8时43分2229189lim)1(nnnnn222211411311211lim)2(nnnnnnnsincossincoslim)4(2,0练习1.求下列极限:2020年2月12日8时43分评析：这是一个求待定常数的极限逆向问题，一般都是从求极限入手建立关于a,b的方程组求解.011.1/22lim的值、求，已知练习babannnn的取值范围，求已知aannnn31)1(33:2/1lim2020年2月12日8时43分1lim13/nnnnSSSnq求项的等比数列前，公比为：首项为1,11,11,11limqqqqqSSnnn不存在或2020年2月12日8时43分32.21.32.21.)(1312lim.51.21.21.2121.)(,212lim.4....)(limlim,lim.322DCBAnnnrDrCrBrArrrDCBABAbaBbAannnnnnnnnn的值为的取值范围是则既不充分又不必要条件必要不充分条件充分不必要条件充分必要条件的是