数列的概念及表示

2.1数列的概念与简单表示法第二章数列得数为：18446744073709551615三角形中小正方形数1,3,6,10,.…..正方形中小正方形数1,4,9,16,……传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题：提问：这些数有什么规律吗？数列的基本概念按照一定顺序排列着的一列数数列中每一个数排在第一位的数排在第2位的数排在第n位的数数列数列的项首项第2项第n项数列的一般记法:•可简记为{an}.（右下标n表示项的位置序号）。思考：数列{an}是集合吗？{an}与an有何区别？数列a1,a2,a3,a4,…,an,…集合中的元素具有无序性、互异性，而数列不具备这些特征，数列{an}不是集合,它是数列的一个整体符号.{an}表示数列a1,a2,a3,a4,…,an,…，而an表示数列的第n项.•数列的分类：•1、按项的个数分：•项数有限的数列叫做有穷数列；•项数无限的数列叫做无穷数列。递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项2、按数列的“项间的大小比较”(随序号变化的情况)来分：常数列各项都相等摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项⑴全体自然数构成数列：⑵1996~2002年某市普通高中生人数（单位：万人）0，1，2，3,….82，93，105，119，129，130，132.构成数列⑶无穷多个3构成数列3，3，3，3，3,….⑷目前通用的人民币面额从大到小的顺序构成数列（单位:元）100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01.⑸-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂构成数列-1，1，-1，1,….……你能按照上面的标准对下列数列进行分类吗?无穷数列无穷数列无穷数列有穷数列有穷数列递增数列递增数列常数列递减数列摆动数列如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．思考：通项公式可以看成数列的函数解析式．利用一个数列的通项公式，你能确定这个数列哪些方面的性质？数列的通项公式我们可以根据数列的通项公式写出数列．探索：数列中的项与序号是一种怎样的关系？引导学生探讨数列：2,4,8,16,32,…中，项与序号之间的对应关系.3教学过程项2481632…2nna…序号12345…n…学生分组探讨正方形数1,4,9,16,25,36，…，中序号与项的关系.3教学过程数列na中项与序号的关系的一般形式则为：项1a2a3a4a5a…na…序号12345…n…思考：数列2nna与函数()2xfx的联系与区别？数列2nan与函数2()fxx的联系与区别？通过以上的探索与思考，构建通项公式的概念。然后学生分组完成下列表格：函数与数列的比较函数数列（特殊的函数）定义域R或R的子集N或它的有限子集1,2,,n解析式()yfx()nafn图象点的集合一些散点的点的集合例1写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（2）2，0，2，0；解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以，它的一个通项公式为：（1）1，-，，-；121314an=（-1）n+1n典例展示（2）2，0，2，0；这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为：an=（-1）n+1+1根据数列的前若干项写出的通项公式的形式唯一吗？请举例说明．如（1）也可以写作：an=-（n=2m，m=1，2，3，…）1nan=（n=2m-1，m=1，2，3，…）1n或与函数一样，数列也可以用图象、列表等方法来表示．数列的图象是一系列孤立的点．例如，全体正偶数按从小到大的顺序构成数列2，4，6，…，2n，….这个数列还可以用列表和图象分别表示在下表和下图中n123…k…an246…2k…O12345n246810an图象做出常数数列：,4,4,4,412345123450图象，，，，做出摆动数列：11-11--1我们好孤单！我们好孤单！变式1．数列的前5项分别是以下各数，写出各数列的一个通项公式：（1）1，，，，；19171513（2）-，，-，，-；12×112×212×312×412×512（3）1，，，，．√22√2414an=（n∈Z+）12n-1an=（n∈Z+）（-1）n2nan=（n∈Z+）12n-12例2下图中的三角形称为希尔宾斯基（Sierpinski）三角形．在下图4个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象．解：如图，这4个三角形中着色三角形的个数依次为1，3，9，27．则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1．所以，这个数列的一个通项公式是：an=3n-1如果一个数列{an}的首项a1=1，从第2项起的每一项等于它的前一项的2倍再加1，即an=2an-1+1（n＞1），那么a2=2a1+1=3，a3=2a2+1=7，…像这样给出数列的方法叫做递推法，其中an=2an-1+1（n＞1）称为递推公式．递推公式也是数列的一种表示方法．递推公式解析：由递推关系式可求得a3＝a2－a1＝6－3＝3，a4＝a3－a2＝3－6＝－3，∴a5＝a4－a3＝－3－3＝－6.例3：一个数列{an}中，a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，那么这个数列的第5项为()A．6B．－3C．－12D．－6答案：D变式3：已知数列{an}，a1＝1，以后各项由an＝an－1＋1nn－1(n≥2)给出:(1)写出数列{an}的前5项；(2)求数列{an}的通项公式．[解](1)a1＝1；a2＝a1＋12×1＝32；a3＝a2＋13×2＝53；a4＝a3＋14×3＝74；a5＝a4＋15×4＝95.(2)由an＝an－1＋1nn－1得an－an－1＝1nn－1(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝1nn－1＋1n－1n－2＋…＋13×2＋12×1＋1＝(1n－1－1n)＋(1n－2－1n－1)＋…＋(12－13)＋(1－12)＋1＝－1n＋1＋1＝2－1n＝2n－1n(n∈N*)．例4：设数列{an}满足a1=1，an=1+（n＞1）.1an-1写出这个数列的前5项．解：由题意可知a1=1，a2=1+=1+=2，1a111a3=1+=1+=，1a21232a4=1+=1+=，1a32353a5=1+=1+=.1a43585变式4：已知数列{an}满足a1=1，an=an-12-1（n＞1），写出它的前5项．解：由题意可知a1=1，a2=a12-1=12-1=0，a3=a22-1=02-1=-1，a4=a32-1=（-1）2-1=0，a5=a42-1=02-1=-1．1、数列的有关概念2、数列的通项公式；3、数列的实质；4、本节课的能力要求是：(1)会由通项公式求数列的任一项；(2)会用观察法由数列的前几项求数列的通项公式。