中三数学第三学期课程

中三數學第三學期課程第十章三角學的應用第十一章簡易概率第十章三角學的應用(1)重溫sin,cos,tan的定義(2)斜坡上的斜率請按以下其中一個章節(3)仰角與俯角(4)方位角的應用第十章三角學的應用(1)中二的三角函數sin,cos,tan的重溫(i)認識直角三角形的斜邊,鄰邊和對邊對邊鄰邊斜邊斜邊對邊鄰邊例一:寫出下列直角三角形中,對於角的斜邊,鄰邊,對邊的長度534(1)(2)12513(a)斜邊=(b)鄰邊=(c)對邊=(a)斜邊=(b)鄰邊=(c)對邊=54313512(ii)直角三角形中的sin,cos,tan註:sin,cos,tan為直角三角形中指定兩邊的比例(1)sin=對邊/斜邊(2)cos=鄰邊/斜邊(3)tan=對邊/鄰邊斜邊對邊鄰邊25247例二:寫出下面直角三角形中sin,cos,tan的值(1)(2)12513(a)sin=(b)cos=(c)tan=24/257/2524/712/135/1312/5(a)sin=(b)cos=(c)tan=例三:寫出題目中的比例所代表的三角函數(即sin,cos或tan)543(1)(2)15817(a)4/5=(b)4/3=(c)3/5=sintancos(a)15/8=(b)8/17=(c)15/17=tancossin(iii)利用sin,cos,tan求直角三角形的未知角54例四:求下圖中的直角三角形中的未知角步驟一:選取適當的函數(即sin,cos或tan)cos=4/5步驟二:按計算機求出未知角的值=36.9按計數機的次序:4ab/c5shiftcos例五:求下圖中的直角三角形中的未知角2524(1)125(2)sin=24/25=73.7按計數機的次序:24ab/c25shiftsintan=12/5=67.4按計數機的次序:12ab/c5shifttan(iv)利用sin,cos,tan求直角三角形的未知邊例六:求下圖中的直角三角形中的未知邊a步驟一:選取適當的函數(即sin,cos或tan)步驟二:移項步驟三:按計算機求出未知邊a的值530acos30=a/55cos30=aa=4.33按計數機的次序:530cos=例七:求下圖中的直角三角形中的未知邊btan40=12/b=12/tan40bb=14.3按計數機的次序:1240tan=12b40回主頁第十章三角學的應用(2)斜率現在非典型肺炎肆虐,大家聽過1:99嗎?M一比九十九清潔好幫手在一個斜坡上,1:99又是甚麼意思呢?你見過右面的道路標誌嗎?1:10這是斜坡上一個交通道路標誌．110平移距離上升距離道路1:10是道路的斜率,它代表平移距離上升距離斜率斜坡的)()1(例8:若一直線的斜坡AB的上升100m,平移距離=500m,求AB的斜率．（以1:n表示)100m500m51500100斜率=1:5斜坡的傾角(2)斜率=tan例9:若一直線的斜坡AB的上升100m,平移距離=500m,求AB的傾斜角．500100tan100m500m=11.3例10:若一直線的斜坡AB的傾斜角=5,求AB的斜率．(以1:n表示,n須捨入為整數)5AB的斜率=tan5=0.0875按5tan111按1/x=1:11例11:若一直線的斜坡AB的斜率=1/8,若平移距離為400m,求上升距離(xm)．AB的斜率=x/400交叉相乘x=50400mxm8x=40040081x回主頁完成書本p.73課堂練習(1-6)…..於筆記簿上…請列式第十章三角學的應用(3)仰角與俯角通常在觀看物件時,都會向上望或向下望.M例如:水平線仰角俯角AB(i)由A測B的仰角=abcda(ii)由B測A的俯角=d仰角與俯角,是水平線與視線相交的角呀!例12:由B點測A點的俯角為30,若兩點的垂直距離相距100m,則兩點的水平距離相距多少?AB100m30x=30tan30=100/xx=100/tan30x=173m例13:若兩點的垂直距離相距100m,則兩點的水平距離相距75m,求由B點測A點的俯角.AB100m75mtan=100/75=53.1由B點測A點的俯角=53.1例14:若一座大廈的頂點A測另外一大廈的頂點B的仰角為30,而測該大廈的底部C點的俯角為45,若兩座大廈相距100m,求兩座大廈的高度.3045100mxyxtan45=x/100x=100tan45=100tan30=y/100y=100tan30=57.7兩座大廈的高度為100m及(100+57.7)m,即157.7mABC100m例15:由一座大廈AD(高100m)的頂點A測B點的俯角為60,而測C點的俯角為45(如圖),求BC的距離.ABC6045Dbc100mc=45tan45=100/CDCD=100/tan45=100b=60tan60=100/BDBD=100/tan60=57.7BC=10057.7=42.3m?一些較艱深的例子例16:由B點測一座大廈AD的頂點A的仰角為60,而由C點測A點的仰角為45(如圖),若BC=100m,求大廈的高度(AD)ABCD4560100mtan60=h/BDhBD=h/tan60tan45=h/CDCD=h/tan45(h/tan60)+(h/tan45)=100h(1/tan60+1/tan45)=100以h表示BD及CD因為BD+CD=100抽h呀!h(1.577)=100h=63.4m例17:由B點測一座大廈AD的頂點A的仰角為60,而由C點測A點的仰角為45(如圖),若BC=100m,求大廈的高度(AD)A6045100mBCDhtan45=h/100+xtan45(100+x)=hx(1)tan60=h/xxtan60=h(2)因為(1)=(2)tan45(100+x)=xtan60100+x=1.732x100=0.732xx=136.6m代入(2)h=136.6xtan60h=237m回主頁第十章三角學的應用(4)方位角當由一點測量另一地點時,除了要知道兩點的距離外,還要知道所測地點的方位．例(1):飛機在山的東面例(2):船在山的西北面(i)方位角(或..真方位角)(1)認識不同的方位角例:香港天文台發出2003年05月02日0700協調世界時的機場天氣報告：風能見度東南偏南風(150o)13海里/小時，在130o-200o之間不定10公里以上北機場A150o使用方位角,要由正北開始,並按順時針方向量度有關角度,並以三位數表示由機場測A點的方位是150o北OA80o50o70o100oBCD(1)由O點測A點的方位是_____(2)由O點測B點的方位是_____(3)由O點測C點的方位是_____(4)由O點測D點的方位是_____050o130o200o300o方位角是三位數字50+8050+80+7050+80+70+100例18:(ii)象限角(或羅盤方位角)象限角是另外一個量度方位角的方法步驟一:認定方位角在那一個象限在數學上,我們將平面分成4個象限N留意:北--North東--East南--South西--WestESWN___ES___ES___WN___W在象限角,一定要由北(N),或南(S)開始NO80o50oB例19:(1)由O點測A點的方位是_____(以象限角表示)步驟二:要由北或南開始寫出方向和角度A(2)由O點測B點的方位是_____(以象限角表示)N___EN50ES___E180-50-80=50S50E有關方位角及象限角的例子例20:以方位角表示下列象限角所代表的方位類型一:方位角與象限角的轉換(a)N30E(b)N30W答:30o30oN(a)(b)(a)方位角=030(b)因為=36030=330方位角=330例21:以象限角表示下列方位角所代表的方位(a)130(b)230130o230o(b)a答:(a)(a)因為a=180130=50象限角=S50Eb(b)因為b=230180=50象限角=S50WN例22:類型二:互相測量的方位角的關係若A點測B點的方位角是080,則由B點測A點的方位角是多少?AB80oN80o由B點測A點的方位角是180+80=260錯角例23:若A點測B點的方位角是S80E,則由B點測A點的方位角是多少?NA80oB80oNW由B點測A點的方位角是N80W類型三:與方位有關的三角問題例24:一艘輪船由O港出發,向南走了200km,再向西走了300km到達B港,求從O點測B點的方位ONAB200km300km答:tan=300/200=56.3從O點測B點的方位=180+56.3=236.3例25:A點在O點的西面50km,而由O點測B點的方位為330,若B點在A點的正北方,求AB的距離OAB50km330N答:=330270=60tan60=AB/5050tan60=ABAB=86.6km例26:由O點沿S50E的方位步行5km到達A點,再沿N40E的方位步行3km到達B點,求(i)由O點測B點的方位;(ii)OB的距離50o40o5km3kmOABNN答(i):=50(錯角)OAB=50+40=90tan=3/5=31.0由O點測B點的方位=S(50+31)E=S81E答(ii):2235OB=km34或5.83km要先說明OAB是一直角書本練習中較深題目的提示在某些題目上,要加上一條直線,才容易找到適當的直角三角形,以便計算未知的距離或方位以下為一些題目的提示:EX.10D#5加此直線xy求x及yEX.10D#6加此直線x求x及EX.10D#7可參考例16/EX10C#15的計算方法加此直線hEX.10D#8加此直線xy求x,y及EX.10D#10abcd求a,b,c,d及紅色直線為附加直線回主頁