概率论与数理统计知识点总结

概率论与数理统计1概率论与数理统计知识点总结一、随机事件与概率1.随机事件（1）事件间的关系与运算事件的差：ABAABAB对立事件：,AAAA完备事件组：设12,,,,nAAA是有限或可数个事件，如果其满足：①,,,1,2,ijAAijij；②iiA，则称12,,,,nAAA是一个完备事件组.（2）随机事件的运算律求和运算：①ABBA（交换律）②()()ABCABCABC（结合律）求交运算：①ABBA（交换律）②()()ABCABCABC（结合律）求和运算与求交运算的混合：①()()()ABCABAC（第一分配律）②()()()ABCABAC（第二分配律）求对立事件的运算：()AA（自反律）和及交事件的对立事件：①ABAB（第一对偶律）②ABAB（第二对偶律）2.随机事件的概率（1）概率的公理化定义概率论与数理统计2公理1：()1P；公理2：对任意事件A，有()0PA；公理3：对任意可数个两两不相容的事件12,,,,nAAA，有11()()iiiiPAPA.（2）概率测度的其他性质性质1：()0P性质2（有限可加性）：12,,,nAAA是两两互不相容的，则有11()()nniiiiPAPA性质3：()1()PAPA性质4：()()()PABPAPAB特别地，若AB，则①()()()PABPAPB；②()()PAPB性质5：0()1PA性质6：()()()()PABPAPBPAB推论：()()()()()()()()PABCPAPBPCPABPACPBCPABC3.古典概型与几何概型（1）古典概型古典概型的概率测度：()==AAPA中元素个数使发生的基本事件数中元素个数基本事件总数（2）几何概型几何概型的概率测度：()()()SAPAS4.条件概率（1）条件概率的数学定义()()(()0)()PABPBAPAPA概率论与数理统计3()1()PBAPBA()1()PBAPBA条件概率测度满足概率的三条公理：公理1：()1PA；公理2：对任意事件B，有()0PBA；公理3：对任意可数个两两不相容的事件12,,,,nAAA，有11()()iiiiPAAPAA.（2）乘法公式()()(),()0PABPAPBAPA()()(),()0PABPBPABPB()()()()PABCPAPBAPCAB12121312121()()()()()nnnPAAAPAPAAPAAAPAAAA（3）全概率公式设{}iA是一列有限或可数无穷个两两不相容的非零概率事件，且iiA，则对任意事件B，有()()()iiiPBPAPBA.（4）贝叶斯公式设{}iA是一列有限或可数无穷个两两不相容的非零概率事件，且1iiA，则对任意事件B，()0PB，有()()()()()()()iiiijjjPAPBAPABPABPBPAPBA.5.事件的独立性（1）两个事件的独立性()()()PABPAPB（2）有限个事件的独立性概率论与数理统计4两两独立：()()()ijijPAAPAPA相互独立：1212()()()()kkiiiiiiPAAAPAPAPA（3）相互独立性的性质性质1：如果n个事件12,,,nAAA相互独立，则将其中任何(1)mmn个事件改为相应的对立事件，形成的新的n个事件仍然相互独立.性质2：如果n个事件12,,,nAAA相互独立，则有1111()1(1())nnniiiiiiPAPAPA（4）伯努利概型伯努利定理：在一次试验中，事件A发生的概率为(01)pp，则在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率为：(;,)Ckknknbknppq，其中1qp.在伯努利试验序列中，设每次试验中事件A发生的概率为p，“事件A在第k次试验中才首次发生”(1)k，这一事件的概率为1(,)kgkpqp.二、随机变量的分布与数字特征1.随机变量及其分布（1）离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布满足性质：①()0,1,2,ipxi②()1iipx一旦知道一个离散型随机变量X的概率分布{}ipx（），便可求得X所生成的任何事件的概率.特别地，对任意ab，有{}({}){}()iiiiiiaxbaxbaxbPaXbPXxPXxpx.一般地，若I是一个区间，则{}=()iixIPXIpx.（2）分布函数概率论与数理统计5随机变量的分布函数性质：①单调性，若12xx，则12()()FxFx；②()lim()0xFFx，()lim()1xFFx；③右连续性，(0)()FxFx.（3）连续型随机变量及其概率密度(){}()xFxPXxftdt，()fx为X的概率密度函数.密度函数性质：①()0,(,)fxx；②()1fxdx.{}()()()baPaXbFbFafxdx{}0PXx（连续型）'()()Fxfx2.随机变量的数字特征（1）离散型随机变量的数学期望1=iiiEXxp（2）连续型随机变量的数学期望()EXxfxdx（3）随机变量函数的数学期望设X是一个随机变量，()gx是一个实函数.①若X为离散型随机变量，概率分布为{},1,2,iiPXxpi.且1()iiigxp，则()EgX存在，且概率论与数理统计61()()iiiEgXgxp.②若X为连续型随机变量，fx是其密度函数，且()()gxfxdx，则()EgX存在，且()()()EgXgxfxdx.（4）数学期望的性质①对任意常数a，有Eaa；②设12,为任意实数，12(),()gxgx为任意实函数，如果12(),()EgXEgX均存在，则11221122[()()]()()EgXgXEgXEgX；③如果EX存在，则对任意实数a，有()EXaEXa.（5）随机变量的方差离差：XEX方差：2()DXEXEX标准差：DX①若X为离散型随机变量，其概率分布为{},1,2,iiPXxpi，则22()()iiiDXEXEXxEXp②若X为连续型随机变量，fx为其密度函数，则22()()()DXEXEXxEXfxdx③22()DXEXEX方差的基本性质：设X的方差DX存在，a为任意常数，则①0Da；②()DXaDX；③2()DaXaDX.（6）随机变量的矩与切比雪夫不等式矩定义：X为一个随机变量，k为正整数，如果kEX存在（即kEX），则称kEX为X概率论与数理统计7的k阶原点矩，称kEX为X的k阶绝对矩.定理：随机变量X的t阶矩存在，则其s阶矩（st为正整数）也存在.推论：设k为正整数，C为常数，如果kEX存在，则()kEXC存在，特别地，)kEXEX（存在.中心矩定义：X为一个随机变量，k为正整数，如果kEX存在，则称()kEXEX为X的k阶中心矩，称kEXEX为X的k阶绝对中心矩.定理：设()hx是x的一个非负函数，X是一个随机变量，且()EhX存在，则对任意0，有(){()}EhXPhX.推论1（马尔可夫不等式）：设X的k阶矩存在（k为正整数），即kEX，则对任意0有{}kkEXPX.推论2（切比雪夫不等式）：设X的方差存在，则对任意0有2{}DXPXEX.推论3：随机变量X的方差为0当且仅当存在一个常数a，使得{}=1PXa.3.常用的离散型分布离散型分布概率分布期望（EX）方差（DX）退化分布1PXaEXa0DX两点分布12,1,PXxpPXxp01p12(1)EXpxpx212(1)()DXppxx0-1分布：特别地，如果X服从11x，EXp(1)DXpp概率论与数理统计820x处的参数为p两点分布.即{1}PXp，{0}1PXp，01p.n个点上的均匀分布1{}=,1,2,,iPXxinnEXx211()niiDXxxn二项分布C(1),kknknPXkpp0,1,2,,knEXnpDXnpq几何分布def1{}(,),1kPXkqpgkpk1EXp2qDXp几何分布的无记忆性：设X服从几何分布，则对任意两个正整数,mn，有{}{}PXmnXmPXn.超几何分布12CC{},0CknkNNnNPXkkn1NEXnN121NNNnDXnNNN泊松分布{}e,0,1,2,!kPXkkk0为参数EXDX二项分布可作为超几何分布的近似，即1212CCCknkknkNNknnNNNCNN.这一近似关系的严格数学表述是：当N时，1N，2N，且1NpN，21NpN，则对任意给定的n和k，有12CClim1CknknkNNkknnNNCpp.概率论与数理统计9泊松定理：在n重伯努利试验中，事件A在每次试验中发生的概率为np（注意这与试验的次数n有关），如果n时，nnp（0为常数），则对任意给定的k，有lim(;,)e!knnbknpk.当二项分布(,)bnp的参数n很大，而p很小时，可以将它用参数为np的泊松分布来近似，即有()(;,)e!knpnpbknpk.4.常用的连续型分布连续型分布密度函数分布函数期望（EX）方差（DX）均匀分布1,()0,axbfxba其他记作~[,]XUab0,(),1,xaxaFxaxbbaxb2abEX2()12baDX指数分布e,0()0,0xxfxx记作~e()X1e,0()0,0xxFxx1EX21DX指数分布的无记忆性：非负连续型随机变量X服从指数分布的充要条件是：对任意实数r和s，有{}{}PXrsXsPXr.正态分布22()21()e,2xxx记作2~(,)XN22()21()e2txxdtEX2DX标准正态分布概率论与数理统计102201()e2xx记作~(0,1)XN标准正态分布表性质：00()()xx00()1()xx00()()1xx0EX1DX正态分布定理：设2~(,),,,XNYaXbab为常数，且0a，则22~(,)YNaba.推论1：如果2~(,)XN，则~(0,1)XN.通常称为X的标准化.推论2：2~(,)XN的充要条件是存在一个随机变量~(0,1)N，使得X.推论3：设2~(,),(),()XNxx分别为其分布函数与密度函数，00(),()xx是标准正态分布的分布函数和密度函数，则有00()(),1()().xxxx一般正态分布的概率计算：【例】已知2~(,)XN，求()a.解0(){}{}{}()XaXaPXaPPbb5.随机变量函数的分布（1）离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的概率分布的一般方法：先根据自变量X的可能取值确定因变量Y的所有可能取值，然后对Y的每一个可能取值(1,2,)iyi确定相应的{()}ijjiCxgxy，则有{}{()}{},{}{}{},jiiiii