概率论与数理统计第一章

•计算机科学学院•裘国永教材：概率论与数理统计（第四版）盛骤，谢式千，潘成毅编高等教育出版社点数问题：对谁有利？两个赌徒相约赌若干局，谁先赢n局就算赢。现在一个人赢了a（an）局，另一个人赢了b局（bn）。如果赌博提前中断，该如何在两赌徒间分配赌金?掷骰子问题：对谁有利玩家连续掷4次骰子，如果其中没有6点出现，玩家赢，如果出现一次6点，则庄家赢。按照这一游戏规则，从长期来看，庄家扮演赢家的角色，而玩家大部分时间是输家，因为庄家总是要靠此为生的，因此当时人们也就接受了这种现象。后来为使游戏更刺激，游戏规则发生了变化，玩家这回用2个骰子连续掷24次，不同时出现2个6点，玩家赢，否则庄家赢。当时人们普遍认为，2次出现6点的概率是一次出现6点的概率的1/6，因此6倍于前一种规则的次数，也即24次赢或输的概率与以前是相等的。然而事实却刚好相反，从长期来看，这回庄家处于输家的状态。已知结果求原因：医疗诊断问题为了诊断病人到底患了何种毛病，需要对病人进行观察和检查，确定某些指标（如体温、脉搏、血相等）。因为病人患了某种毛病后会引起这些指标发生变化。为了判断病因，医生首先要知道人患各种毛病的可能性大小（通过历史资料积累），以及根据医学知识知道这些毛病能导致这些指标值变化的情况及可能性大小。最后医生才能作出诊断。前言概率论是研究偶然、随机现象的规律性的数学理论，产生于17世纪中叶。概率论发展初期，主要是从讨论赌博问题开始的。16世纪的意大利学者吉罗拉莫·卡尔达诺（GirolamoCardano）研究了掷骰子等赌博中的一些简单问题。到了17世纪中叶，法国宫廷贵族中间盛行掷骰子游戏。据说，1654年左右，爱好赌博的法国人梅雷写信向帕斯卡（B.Paseal）请教了著名的“点数问题”或“赌金分配问题”。帕斯卡和费马（P.deFermat）在通信中讨论了点数问题及其他问题。他们把这些日常赌博问题变成了真正的数学问题，用排列组合理论得出正确解答，并提出了数学期望的这一核心概念。现在，大家公认他们二人是概率论的共同创立者。随着18、19世纪科学的发展，人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间有某种相似性，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中；同时这也大大推动了概率论本身的发展。真正使概率论作为一门独立数学分支的莫基人是雅各布·伯努利（JacobBernoulli）。他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，证明了随着试验次数的增加，某一事件出现的频率会越来越接近该事件的概率。其意义在于揭示了因偶然性的作用而呈现的杂乱无章现象中的一种规律性。随后棣莫弗和拉普拉斯又导出了第二个基本极限定理（中心极限定理）的原始形式。拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了概率论专著，明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的分析工具，从而将概率论推向一个新的发展阶段。如何定义概率，如何把概率论建立在严格的逻辑基础上，是概率理论发展的困难所在，对这一问题的探索一直持续了3个世纪。苏联数学家柯尔莫哥洛夫1933年在他的《概率论基础》一书中第一次给出了概率的定义和一套严密的公理体系。他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支，对概率论的迅速发展起了积极的作用。现在，概率与统计的方法日益渗透到各个领域，并广泛应用于自然科学、经济学、医学、金融保险甚至人文科学中。确定性现象（Deterministicphenomenon）：在一定条件下必然发生的现象随机现象（Randomphenomenon）：是指这样一种现象，我们事先知道所有可能出现的结果，但在相同的条件下其出现结果具有不确定性，而在大量重复试验中其结果又具有统计规律性（Statisticalregularity）我们引入概率这一概念来描述这种不确定性概率（Probability）：表示一件事情发生的可能性大小的数值概率论（Probabilitytheory）：研究随机现象数量规律（如概率、期望、方差等）的一门学科统计学（Statistics）:收集所观察系统的数据，进行量化的分析、总结，并进而进行推断和预测，为相关决策提供依据和参考的学科数理统计（Mathematicalstatistics）：以概率论为工具的统计。它以概率论为基础，研究如何合理收集试验所得的大量数据（样本）并加以分析处理，从而求出总体的统计规律（即数学模型，数据的数量特征与数量关系等），根据这些规律对未来的发展作出预测Probabilitytheoryisthebranchofmathematicsconcernedwithanalysisofrandomphenomena.Thecentralobjectsofprobabilitytheoryarerandomvariables,stochasticprocesses,andevents:mathematicalabstractionsofnon-deterministiceventsthatmayeitherbesingleoccurrencesorevolveovertimeinanapparentlyrandomfashion.Althoughanindividualcointossortherollofadieisarandomevent,ifrepeatedmanytimesthesequenceofrandomeventsexhibitscertainstatisticalpatterns,whichcanbestudiedandpredicted.Tworepresentativemathematicalresultsdescribingsuchpatternsarethelawoflargenumbersandthecentrallimittheorem.Asamathematicalfoundationforstatistics,probabilitytheoryisessentialtomanyhumanactivitiesthatinvolvequantitativeanalysisoflargesetsofdata.Agreatdiscoveryoftwentiethcenturyphysicswastheprobabilisticnatureofphysicalphenomenaatatomicscales,describedinquantummechanics.为什么要学习这门课？理论严谨、应用广泛、发展迅速。目前,不仅高等学校各专业都开设了这门课程,而且从上世纪末开始,这门课程特意被国家教委定为本科生考研的数学课程之一概率论应用非常广泛，几乎遍及所有的科学领域，例如天气预报、股市预测、地震预报、产品的抽样调查；在通讯工程中可用以提高信号的抗干扰性、分辨率等等第一章概率论的基本概念随机试验、样本空间、随机事件频率与概率等可能概型（古典概型）条件概率独立性确定性现象与随机现象自然界所观察到的现象:确定性现象、随机现象在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象“太阳总是从东边升起”,1.确定性现象“同性电荷互斥”“水往低处流”,实例确定性现象的特征条件完全决定结果我们事先知道每次试验所有可能出现的结果。但每次的结果呈现出不确定性，而在大量重复试验中，其结果又具有统计规律性的现象2.随机现象实例1“在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况”。结果有可能出现正面也可能出现反面。结果有可能为:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或“6”。实例3“抛掷一枚骰子，观察出现的点数”。实例2“用同一门炮向同一目标发射同一种炮弹多发,观察弹落点的情况”。结果:“弹落点会各不相同”。实例4“从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品”。其结果可能为:正品、次品。实例5“过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通指挥灯”。其结果可能为:红、黄、绿。实例6“出生的婴儿可能是男，也可能是女”。实例7“明天的天气可能是晴,也可能是多云或雨”。在我们所生活的世界上，充满了不确定性随机现象是通过随机试验来研究的。问题什么是随机试验？如何来研究随机现象?§1.1-1.2随机试验、样本空间、随机事件1.试验（Experiment）：包括各种各样的科学实验，也包括对客观事物的“观察”、“测量”等。2.随机试验（E，Randomexperiment）：具有以下三个特征的试验：（1）可以在相同的条件下重复地进行;（2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果;（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。例1.1E1:抛一枚硬币，观察出现正面H和反面T的情况；E2:将一枚硬币连抛三次，观察出现正反面的情况；E3:将一枚硬币连抛三次，观察出现正面的次数；E4:掷一颗骰子，察出现的点数；E5:记录某网站一分钟内受到的点击次数；E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命；E7:在某班任选一人，记录他的身高和体重。3.样本空间（Samplespace）:随机试验E的所有可能的结果组成的集合。记为S。样本点（Sample,Outcome）：样本空间中的每个元素，即试验的每个结果。记为e。EX：给出例1.1的样本空间。4.随机事件（事件，Event）：试验E的样本空间S的子集。常用A、B、C等表示。注意：一旦做试验，就会出现一个结果，即有一个样本点出现。事件A发生（Eventoccurrence）当且仅当A中的一个样本点出现基本事件（Elementaryevent）由一个样本点组成的单点集必然事件（Certainevent）S不可能事件（Impossibleevent）E2:将一枚硬币连抛三次，观察正反面出现的情况；E4:掷一颗骰子，观察出现的点数。A={HHH,HHT,HTH,HTT}B={HHH,TTT}C={HTT,THT,TTH}D=SF=对于试验E2，A，B，C为以下随机事件A:第一次出现正面;B:三次出现同一面;C:恰好出现一次正面。试验E4中D，F为以下随机事件D:出现不大于6的点;F:出现小于1的点。可见，既可以用文字表示事件，也可以将事件表示为样本空间的子集，后者反映了事件的实质，且更便于今后计算概率。还应注意，同一样本空间中，不同的事件之间有一定的关系，如试验E2，当试验的结果是HHH时，可以说事件A和B同时发生了；但事件B和C在任何情况下均不可能同时发生。易见，事件之间的关系是由他们所包含的样本点所决定的，这种关系可以用集合之间的关系来描述。5.事件之间的关系AB若AB，又BA，则称事件A与B相等，记为A=B。AB事件A发生则事件B发生事件A包含在事件B之中ABeA则eB集合A包含在集合B之中eABeA或eB集合A与集合B的和或并AB发生当且仅当事件A发生或事件B发生即：事件A或事件B之中至少有一个发生AB：事件A与B的和或并（TheunionofAandB）BAABn个事件A1,A2,…,An的和C发生就是A1,A2…,An中至少一个发生。1niiCA可列个事件A1,A2,…的和C发生就是A1,A2…中至少一个发生。1iiCAeABeA且eB集合A与集合B的积（可简记为AB）AB发生当且仅当事件A发生且事件B发生事件A与事件B同时发生AB：事件A与B的积事件（TheintersectionofAandB）ABBABAn个事件A1,A2,…,An的积C发生就是A1,A2…,An同时发生。1niiCA可列个事件A1,A2,…的积C发生就是A1,A2…同时发生。1iiCAA-BeA且eB在集合A但不在集合B之中A-B发生当且仅当事件A发生而事件B不发生A-B：事件A与B的差事件（ThedifferenceofAandB）BBAＡS若AB=Ø，则称A与B为互不相容事件（Mutuallyexclusiveevents，Disjoint或互斥），也就是说事件A与B不可能同时发生。ABS注基本事件两两互不相容若AB=S，AB=Ø，则称A与B互为