概率论与数理统计统计课后习题答案 总主编 邹庭荣 主编 程述汉 舒兴明 第二章

第二章习题解答1.设)(1xF与)(2xF分别是随机变量X与Y的分布函数,为使)()(21xbFxaF是某个随机变量的分布函数,则ba,的值可取为(A).A.52,53baB.32,32baC.23,21baD.23,21ba2.一批产品20个,其中有5个次品,从这批产品中随意抽取4个,求这4个产品中的次品数X的分布律.解：因为随机变量X＝{这4个产品中的次品数}X的所有可能的取值为：0，1，2，3，4.且4015542091{0}0.2817323CCPXC；31155420455{1}0.4696969CCPXC；2215542070{2}0.2167323CCPXC；1315542010{3}0.0310323CCPXC；041554201{4}0.0010969CCPXC.因此所求X的分布律为：X01234P0.28170.46960.21670.03100.00103．如果X服从0-1分布,又知X取1的概率为它取0的概率的两倍,写出X的分布律和分布函数.解：设{1}Pxp，则{0}1Pxp.由已知，2(1)pp，所以23pX的分布律为：X01P1/32/3当0x时，(){}0FxPXx；1当01x时，1(){}{0}3FxPXxPX；当1x时，(){}{0}{1}1FxPXxPXPX.X的分布函数为：00()1/30111xFxxx.4.一批零件中有7个合格品，3个不合格品，安装配件时，从这批零件中任取一个，若取出不合格品不再放回，而再取一个零件，直到取得合格品为止，求在取出合格品以前，已取出不合格品数的概率分布.解：设X={在取出合格品以前，已取出不合格品数}.则X的所有可能的取值为0，1，2，3.7{0}10Px；377{1}10930Px；3277{2}1098120Px；32171{3}10987120Px.所以X的概率分布为：X0123P7/107/307/1201/1205.从一副扑克牌（52张）中发出5张，求其中黑桃张数的概率分布.解：设X＝{其中黑桃张数}.则X的所有可能的取值为0，1，2，3，4，5.0513395522109{0}0.22159520CCPxC；14133955227417{1}0.411466640CCPxC；23133955227417{2}0.274399960CCPxC；32133955216302{3}0.0815199920CCPxC；411339552429{4}0.010739984CCPxC；50133955233{5}0.000566640CCPxC.2所以X的概率分布为：X012345P0.22150.41140.27430.08150.01070.00056.自动生产线在调整之后出现废品的概率为p,当在生产过程中出现废品时立即重新进行调整,求在两次调整之间生产的合格品数X的概率函数.解：由已知，()XGp所以()(1),0,1,2iPXippi.7.一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿是相互独立的，且红、绿两种信号显示时间相同.以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数.求X的概率分布.解：X的所有可能的取值为0，1，2，3.且1{0}2PX；111{1}224PX；1111{2}2228PX；1111{3}2228PX；所以X的概率分布为X0123P1/21/41/81/88.一家大型工厂聘用了100名新员工进行上岗培训，据以前的培训情况，估计大约有4%的培训者不能完成培训任务.求：（1）恰有6个人不能完成培训的概率；（2）不多于4个的概率.解：设X＝{不能完成培训的人数}.则(100,0.04)XB，（1）6694100{6}0.040.960.1052PXC;（2）41001000{4}0.040.960.629kkkkPXC.9.一批产品的接收者称为使用方，使用方风险是指以高于使用方能容许的次品率p接受一批产品的概率.假设你是使用方，允许次品率不超过05.0p，你方的验收标准为从这批产品中任取100个进行检验，若次品不超过3个则接受该批产品.试求使用方风险是多少？（假设这批产品实际次品率为0.06）.解：设X＝{100个产品中的次品数}，则(100,0.06)XB，所求概率为1001003{3}(0.06)(0.94)0.1430kkkkPXC.10.甲、乙两人各有赌本30元和20元，以投掷一枚均匀硬币进行赌博.约定若出现正3面，则甲赢10元，乙输10元；如果出现反面，则甲输10元，乙赢10元.分别求投掷一次后甲、乙两人赌本的概率分布及相应的概率分布函数.解：设甲X＝{投掷一次后甲的赌本}，乙X＝{投掷一次后乙的赌本}.则甲X的取值为20，40，且1{20}{40}2PXPX甲甲，1{10}{30}2PXPX乙乙，所以甲X与乙X的分布律分别为：甲X2040乙X1030p1/21/2p1/21/20,201,204021,40XxFxxx甲（）,0,101,103021,30XxFxxx乙（）11.设离散型随机变量X的概率分布为：（1）2,1,2,,100kPXkak；（2）2,1,2,kPXkak，分别求（1）、（2）中常数a的值.解：（1）因为1001001121,kkkPXka即1002(12)112a，所以)12(21100a.(2)因为1121,kkkPXka即121112a，所以1a.12.已知一电话交换台服从4的泊松分布，求：（1）每分钟恰有8次传唤的概率；（2）每分钟传唤次数大于8次的概率.解：设X＝{每分钟接到的传唤次数}，则()XP，查泊松分布表得（1）{8}{8}{9}0.05110.02140.0297PXPXPX；（2）{8}0.02136PX.13.一口袋中有5个乒乓球，编号分别为1、2、3、4、5，从中任取3个，以示3个球4中最小号码，写出X的概率分布.解：X的所有可能的取值为1，2，3.243563{1}105CPxC；23353{2}10CPxC；22351{3}10CPxC.所以X的概率分布为：X123P6/103/101/1014.已知每天去图书馆的人数服从参数为(0)的泊松分布.若去图书馆的读者中每个人借书的概率为(01)pp，且读者是否借书是相互独立的.求每天借书的人数X的概率分布.解：设Y{每天去图书馆的人数},则()YP，{},0,1,2,!iPYieii当{}Yi时，(,)XBip，{}{}(1)kkikiikPXkPYiCpp!(1)(1)!!!()!iikkikkikiikikieCppeppiikik!(1)(1)!!()!!()!ikkikkikikikikipeppepikikkik(1)()(1)e!()!!!kkikkkkikppikpppepeekikkk即X的概率分布为(){}e,0,1,2,!kppPXkkk.15.设随机变量X的密度函数为,010,xbaxf(x)其它，5且3131XPXP，试求常数a和b.解：1301()3183abPXaxbdx；113142()393abPXaxbdx，由421183932abab得，71.5,.4ab16.服从柯西分布的随机变量ξ的分布函数是F(x)=A+Bxarctan,求常数A,B;{1}PX以及概率密度f(x).解：由()lim(arctan)02()lim(arctan)12xxFABxABFABxAB得121AB.所以11()arctan2Fxx；{1}{11}(1)(1)0.5PXPxFF；211()'()1fxFxx.17.设连续型随机变量X的分布函数为20,0(),011,1xFxAxxx求：（1）常数A的值；（2）X的概率密度函数)(xf；（3）2XP.解：（1）由()Fx的连续性得(10)(10)(1)1FFF即21lim1xAx，所以1A，20,0(),011,1xFxxxx；（2）2,01()'()0,xxfxFx其他；（3）{2}(2)1PXF.618.设随机变量X的分布密度函数为,01,1)(2其它当xxAxf试求：（1）系数A；（2）221XP；（3）X的分布函数)(xF.解：（1）因为111211()arcsin1AfxdxdxAxAx所以1A，21,1()10,xfxx其它；（2）121112122211112()arcsin231PXfxdxdxxx；(3)当1x时，(){}0fxPXx，当01x时，21111(){}arcsin21xfxPXxdtxt，当1x时，1211(){}11fxPXxdtt，所以1,111,arcsin1211,0xxxxxF）（19.假设你要参加在11层召开的会议，在会议开始前5min你正好到达10层电梯口，已知在任意一层等待电梯的时间服从0到10min之间的均匀分布.电梯运行一层的时间为10s，从11层电梯口到达会议室需要20秒.如果你不想走楼梯而执意等待电梯，则你能准时到达会场的概率是多少？解：设X={在任意一层等待电梯的时间},则(0,10)XU，由题意，若能准时到达会场，则在10等电梯的时间不能超过4.5min，所求概率为4.50{4.5}0.45100PX.20.设顾客在某银行窗口等待服务的时间X（min）服从51的指数分布.某顾客在窗口等待服务，若超过10min，他就离开.若他一个月到银行5次，求：(1)一个月内他未等到服务而离开窗口的次数Y的分布；(2)求1YP.7解：（1）由已知，1(),(5,)5XEYBp其中10{10}1{10}1()pPXPXfxdx110250115edxe所以Y的分布为55{}(1)kkkPYkCpp2255()(1),(0,1,2,3,4,5)kkkCeek；（2）02025511{0}1()(1)0.5167PYPYCee.21.设随机变量)4,5(~NX，求使：（1）903.0XP；（2）01.05XP.解：由)4,5(~NX得5~(0,1)2XN（1）555()0.903222XPXP查标准正态分布表得：51.32，所以6.7；（2）由01.05XP得，50.99PX所以55PXPX5()()2()10.99222222XP即()0.9952，查标准正态分布表得2.582，所以16.522.设)2,10(~2NX，求