变量之间的关系讲解

变量之间的关系讲解【基础知识】知识点一：有关变量的基本概念1、变量：在某一过程中发生变化的量，其中包括自变量与因变量。2、自变量是最初变动的量，它在研究对象反应形式、特征、目的上是独立的；3、因变量是由于自变量变动而引起变动的量，它“依赖于”自变量的改变。4、常量：一个变化过程中数值始终保持不变的量叫做常量.知识点二：变量的表示方法1.列表法采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。列表时一般第一行代表自变量，第二行代表因变量，选取能代表自变量的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出对应的因变量的值。优点：直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，缺点：具有局限性，只能表示因变量的一部分。2.图象法对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个图象就叫做平面直角坐标系）。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法。特点：非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。表示的步骤是：①列表：列表给出自变量与因变量的一些特殊的对应值。一般给出的数越多，画出的图象越精确。②描点：在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（横轴或x轴）上的点来表示自变量，用竖直方向的数轴（纵轴或y轴）上的点来表示因变量。③连线：按照自变量从小到大的顺序，用平滑的曲线把所描的各点连结起来。注意：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义（坐标）.3.关系式法（解析法）关系式（即解析式）是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值。注意：三种表示方法的关系表格、图象与关系式都能表示两个变量之间的关系，已知关系式可以列出表格，画出图象，已知表格、图象却不一定有相应的关系式。但是，关系式的确定也是根据表格、图象所提供的信息，用从特殊到一般的数学思想，经过类比、比较和归纳，从而猜想得出结论进行验证后的结果。知识点三：事物变化趋势的描述对事物变化趋势的描述一般有两种：1.随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐增加（大）（或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加（大）而增加（大））；2.随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐减小（或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加（大）而减小）注意：如果在整个过程中事物的变化趋势不一样，可以采用分段描述.例如在什么范围内随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐增加（大）等等.知识点四：估计（或者估算）对事物的估计（或者估算）有三种：1.利用事物的变化规律进行估计（或者估算）.例如：自变量x每增加一定量，因变量y的变化情况；平均每次（年）的变化情况（平均每次的变化量=（尾数－首数）/次数或相差年数）等等；2.利用图象：首先根据若干个对应组值，作出相应的图象，再在图象上找到对应的点对应的因变量y的值；3.利用关系式：首先求出关系式，然后直接代入求值即可.知识点五：两种图像的区别---平行于横轴的意义1、v-t（速度与时间）说明：线段OA表示汽车正在加速行驶：线段AB表示汽车正在匀速行驶，线段BC表示汽车正在减速行驶；线段CD表示汽车停止了行驶。1、s-t（距离与时间）说明：线段OA表示汽车正在离开出发地，线段AB表示汽车停止了行驶（V=0，S不变）线段BC表示汽车正在返回出发地，线段CD表示汽车已经回到了出发地并停止了。（S=0，V=0）注意：理解平行于横轴的线段的不同含义（在这段时间内因变量不变）、知识点六：变化速度的比较在相同时间内因变量变化速度的比较，哪一支图像更陡一些，这支图像代表的因变量的变化会更快一些。1、增长速度甲图像更陡，所以甲增长的更快。2、下降速度甲图像更陡，所以甲速度下降的更快。【例题讲解】1.某校办工厂现在年产值是15万元，计划以后每年增加2万元.（1）写出年产值y（万元）与年数x之间的关系式.（2）用表格表示当x从0变化到6（每次增加1）y的对应值.（3）求5年后的年产值.2.如图10，反映了小明从家到超市的时间与距离之间关系的一幅图.（1）图中反映了哪两个变量之间的关系？⑵.超市离家多远？（2）小明到达超市用了多少时间？⑸.小明往返花了多少时间？（3）小明离家出发后20分钟到30分钟内可以在做什么？（4）小明从家到超市时的平均速度是多少？返回时的平均速度是多少？3.如图，它表示甲乙两人从同一个地点出发后的情况。到十点时，甲大约走了13千米。根据图象回答：距离(米)时间(分钟)o9005101530202535404550（1）甲是几点钟出发？（2）乙是几点钟出发，到十点时，他大约走了多少千米？（3）到十点为止，哪个人的速度快？（4）两人最终在几点钟相遇？（5）你能将图象中得到信息，编个故事吗？【随堂练习】一、选择题1.下面的图表列出了一项试验的统计数据，表示将皮球从高处d落下时，反弹高度b与下落高度d的关系，则在下面的式子中能表示这种关系的是（）d5080100150b25405075A.bd2B.b=d2C.bd25D.bd252.已知皮球从空中落下时从地面弹起的高度y（米）与其下落的高度x（米）存在一定的关系。下表是一组试验数据。下列能表示这种关系的是（）下落的高度x（米）50100150200弹起的高度y（米）255075100A.y=x2B.y=2xC.y=x-25D.y=12x3.三峡大坝从6月1日开始下闸蓄水，如果平均每天流入库区的水量为am3，平均每天流出的水量控制为bm3，当蓄水水位低于135m时，ba；当蓄水水位达到135m时，ba，设库区的蓄水量ym()3是随时间t（天）变化而变化的关系图像，那么这个图像大致是（）4.如图是反映两个变量关系的图,下列的四个情境比较合适该图的是()A.一杯热水放在桌子上,它的水温与时间的关系B.一辆汽车从起动到匀速行驶,速度与时间的关系C.一架飞机从起飞到降落的速度与时间的关系D.踢出的足球的速度与时间的关系5.如图，射线l甲、l乙分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程与时间的关系，则他们行进的速度关系是（）A．甲比乙快B．乙比甲快C．甲、乙同速D．不一定6.如图，下图是汽车行驶速度（千米／时），和时间（分）的关系图，下列说法其中正确的个数为（）（1）汽车行驶时间为40分钟；（2）AB表示汽车匀速行驶；（3）在第30分甲乙8:009:0011:0010:0040302010时间路程（千米）钟时，汽车的速度是90千米／时；（4）第40分钟时，汽车停下来了A.1个B.2个C.3个D.4个7.某校办工厂今年前5个月每月生产某种产品总量（件）与时间（月）的关系如下图所示，则对于该厂生产这种产品的说法正确的是（）A.1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月每月生产总量逐月减少B.1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月每月生产总量与3月持平C.1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月均停止生产D.1月至3月每月生产总量不变，4、5两月均停止生产8.如图、是某地一天的气温随时间变化的图像，根据图像可知，在这一天中最高气温与达到最高气温的时刻分别是（）A.14℃，12时B.4℃，2时C.12℃，14时D.2℃，4时9.2004年6月3日中央新闻报道,为鼓励居民节约用水,北京市将出台新的居民用水收费标准:①若每月每户居民用水不超过4立方米,则按每立方米2元计算;②若每月每户居民用水超过4立方米,则超过部分按每立方米4.5元计算(不超过部分仍按每立方米2元计算).现假设该市某户居民某月用水x立方米,水费为y元,则y与x的函数关系用图象表示正确的是（）10.甲乙两同学约定游戏规则:甲先骑自行车到终点后跑步回起点，而乙则跑步到终点后骑自行车回起点，两人同时出发，最后两人同时回到起点。已知甲骑自行车速度比乙骑自行车速度快，若某人离开起点的距离与所用时间的关系可用图象表示，则下列选项正确的是（）（1）（2）（3）（4）A.甲是图（1），乙是图（2）；B.甲是图（3），乙是图（2）；C.甲是图（1），乙是图（4）；D.甲是图（3），乙是图（4）；二、填空题：11.若x是自变量，y是因变量，则y应随x的而．12.某人以每小时m千米的速度从甲地向乙地行走，若甲、乙两地相距S千米，则当他行走了x小时后，他距乙地还有y千米，在这个问题中，与是常量，是自变量；是因变量．13.长方形的宽为6cm,则它的周长L与长a之间的关系为.14.声音在空气中传播的速度y(m/s)与气温x(ºC)之间在如下关系：33153xy。（1）当气温x=15ºC时，声音的速度y=m/s。（2）当气温x=22ºC时，某人看到烟花燃放5s后才听到声响，则此人与燃放地相距m.15.汽车以60km/h速度匀速行驶，随着时间t（时）的变化，汽车的行驶路程s也随着变化，则它们之间的关系式为。16.一辆汽车以45km/h的速度行驶,设行驶的路程为s(km),行驶的时间为t(h),则s与t的关系式为,自变量与因变量分别是.17.拖拉机工作时，油箱中的余油量Q（升）与工作时间t（时）的关系式为Q=40－6t。当t=4时，Q=______，从关系式可知道这台拖拉机最多可工作______小时18.一个长方形周长为12，一边长为x，面积y随x的变化而变化，则y与x的关系式是____________，当x=2时，y=________.19.已知等腰三角形的底角的度数为x，顶角的度数为y，则y关于x的关系式为____________.20.在弹性限度内，一弹簧长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的关系式是y=52x+10，如果该弹簧最长可以拉伸到20cm，则它所挂物体的最大质量是_______.21.一圆锥的底面半径是5cm，当圆锥的高由2cm变到10cm时，圆锥的体积由________3cm变到_________3cm．22.小雨拿5元钱去邮局买面值为80分的邮票，小雨买邮票后所剩钱数y（元）与买邮票的枚数x（枚）之间的关系式为.三、解答题：23.甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地，行驶过程中路程与时间的关系的图象如图.根据图象解决下列问题：(1)谁先出发？先出发多少时间？谁先到达终点？先到多少时间？(2)分别求出甲、乙两人的行驶速度.(3)乙经过几分钟追上甲？这时两人距B地还有多远？A．小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回家，他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况如图（1）图象表示了哪两个变量的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）10时和13时，他分别离家多远？（3）他到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？（4）11时到12时他行驶了多少千米？（5）他可能在哪段时间内休息，并吃午餐？（6）他由离家最远的地方返回时的平均速度是多少？24.下表是佳佳往妹妹家打长途电话的几次收费记载：时间/分1234567电话费/元0．61．21．82．43．03．64．2（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）如果用x表示时间，用y表示电话费，那么随着x的变化，y的变化趋势是什么？（3）佳佳某次打电话所用时间为5分钟，则需付电话费多少元？（4）你能帮佳佳预测一下，如果她打电话用时间是10分钟，则需付多少电话费？【课后练习】1、如图，L甲、L乙分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程与时间的关系，则它们的平均速度的关系是（）A．甲比乙快B．乙比甲快C．甲、乙同速D．不一定2、李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行驶，中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，但仍保持匀速行驶，结果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出表示自行车行驶路程s(km)与行驶时间；(h)关系的示意图，同学们画出的示意图有如下四种，你认为哪幅图能较好地刻画李老师行