2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4：1-1-2弧度制

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·必修4第一章三角函数成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4第一章三角函数第一章三角函数成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修41．1任意角和弧度制第一章第一章三角函数成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4第一章1．1.2弧度制第一章1.11.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4课前自主预习课堂典例讲练课后强化作业第一章1.11.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4课前自主预习第一章1.11.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4温故知新1．我们已经学习了任意角的概念，所谓的角实质上是__________________________________；按照旋转方向不同，角可以分为______________________．[答案]一条射线OA绕其端点O从起始位置OA旋转到终止位置OB，便形成了一个角α正角、负角、零角第一章1.11.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修42．初中我们已经学习过了角度制，在角度制中，1°角的规定为_____________________________________________________________________________________________________.[答案]将圆周分成360等份，一份弧所对的圆心角规定为1度角．第一章1.11.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修43．795°角是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角[答案]A第一章1.11.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[解析]795°＝2×360°＋75°与75°角的终边相同，故是第一象限的角．第一章1.11.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修44．角α的终边经过点C(－1,0)，则α是()A．第二象限角B．第三象限角C．终边落在x轴非正半轴上的角D．既是第二象限角，又是第三象限角[答案]C[解析]C(－1,0)在x轴的非正半轴上，故选C.第一章1.11.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修45．在集合A＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}中，属于区间(－360°，360°)的角的集合是________．[答案]{－240°，120°}第一章1.11.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[解析]由α＝120°＋k·360°，当k＝0，k＝－1时分别求得α＝120°，α＝－240°.第一章1.11.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4新课引入日晷是我国古代利用日影角度的变化来度量时间的一种仪器．现在，我们普遍使用的时钟，实际上也是根据时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的．无论采用哪种方法，度量一个确定的量所得到的数量必须是唯一确定的．在初中，我们学习过利用角度来度量角的大小，那么对于角，除了角度制，还可以用其他的方法来度量吗？第一章1.11.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4自主预习1．弧度制(1)定义：以为单位度量角的单位制叫做弧度制．弧度第一章1.11.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4(2)度量方法：长度等于的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．如图所示，圆O的半径为r，AB︵的长等于r，∠AOB就是1弧度的角．半径长第一章1.11.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[破疑点]一定大小的圆心角α的弧度数是所对弧长与半径的比值，是唯一确定的，与半径大小无关．第一章1.11.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4(3)记法：弧度单位用符号表示，或用“弧度”两个字表示．在用弧度制表示角时，单位通常省略不写．rad第一章1.11.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4下列表述中正确的是()A．一弧度是一度的圆心角所对的弧B．一弧度是长度为半径的弧C．一弧度是一度的弧与一度的角之和D．一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位[答案]D第一章1.11.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修42．弧度数一般地，正角的弧度数是一个数，负角的弧度数是一个数，零角的弧度数是.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝.正负0lr第一章1.11.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[知识拓展](1)弧长公式：l＝|α|r.(2)扇形面积公式：S＝12lr＝12|α|r2.第一章1.11.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4已知半径为10cm的圆上，有一条弧的长是40cm，则该弧所对的圆心角的弧度数是________．[答案]4第一章1.11.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修43．弧度制与角度制的换算(1)角度转化为弧度：360°＝rad,180°＝rad,1°＝rad≈0.01745rad.(2)弧度转化为角度：2πrad＝，πrad＝，1rad＝≈57.30°＝57°18′.2πππ180360°180°180π°第一章1.11.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4(3)特殊角的弧度数与角度数对应表：角度0°15°30°45°60°75°90°120°135°150°弧度0π125π125π6角度180°210°225°240°270°300°315°330°360°弧度7π65π44π33π25π37π411π6π6π4π3π22π33π4π2π第一章1.11.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4(4)角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起关系：每一个角都有唯一的一个(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，第一个实数也都有唯一的一个(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．一一对应实数角第一章1.11.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4(1)－300°化为弧度是()A．－4π3B．－5π3C．－7π4D．－7π6(2)8π5化为角度是()A．270°B．280°C．288°D．318°[答案](1)B(2)C第一章1.11.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[解析](1)∵1°＝π180rad∴－300°＝－300×π180rad＝－5π3rad.故选B.(2)∵1rad＝(180π)°∴8π5rad＝8π5×(180π)°＝288°，故选C.第一章1.11.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[拓展]1.用弧度制表示象限角与轴线角剖析：(1)象限角的表示：角α终边所在象限集合第一象限x|2kπα2kπ＋π2，k∈Z第二象限x|2kπ＋π2α2kπ＋π，k∈Z第三象限x|2kπ＋πα2kπ＋32π，k∈Z第四象限x|2kπ＋32πα2kπ＋2π，k∈Z第一章1.11.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4(2)轴线角的表示：角α终边所在的坐标轴集合x轴非负半轴{α|α＝2kπ，k∈Z}x轴非正半轴{α|α＝2kπ＋π，k∈Z}x轴{α|α＝kπ，k∈Z}y轴非负半轴α|α＝2kπ＋π2，k∈Zy轴非正半轴α|α＝2kπ－π2，k∈Z第一章1.11.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4角α终边所在的坐标轴集合y轴α|α＝kπ＋π2，k∈Z坐标轴α|α＝k2π，k∈Z第一章1.11.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4角的终边落在坐标轴上角的集合用角度制表示为______，用弧度制表示为________．[答案]{α|α＝k·90°，k∈Z}{α|α＝kπ2，k∈Z}第一章1.11.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4课堂典例讲练第一章1.11.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4思路方法技巧命题方向1有关“角度”与“弧度”概念的理解正确理解弧度与角度的概念区别(1)定义不同．(2)单位不同：弧度制以“弧度”为单位，角度制以“度”为单位．联系(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值．(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化.第一章1.11.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4下列命题中，正确的命题是________．①1°的角是周角的1360，1rad的角是周角的12π；②1rad的角等于1度的角；③180°的角一定等于πrad的角；④“度”和“弧度”是度量角的两种单位．[答案]①③④第一章1.11.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[分析]从两种度量制的定义上，把握解题角度，从弧度制和角度制的定义出发解题．[解析]对于④，“弧”与“弧度”是度量角的两种不同单位，故④正确；对于①，因为1°＝360°360，1＝2π2π，所以①正确；对于③，由弧度制规定知πrad＝180°，故③正确．第一章1.11.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4在半径不等的圆中，1弧度的圆心角所对的()A．弦长相等B．弧长相等C．弦长等于所在圆的半径D．弧长等于所在圆的半径[答案]D第一章1.11.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4命题方向2弧度制与角度制的互化设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3.(1)将α1、α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；(2)将β1、β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所有角．第一章1.11.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4(1)α1，α2―――――→角度与弧度的互化α1，α2的弧度数―――――→将角进行分解分别表示为β＋2kπ的形式，其中β∈[0，2π―→结果(2)β1，β2――→弧度与角度的互化β1，β2的角度数――→将角进行分解分别表示为β＋k·360°的形式，其中β∈{β1，β2}――→讨论k的取值结果第一章1.11.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[解析](1)∵180°＝πrad，∴－570°＝－570π180＝－19π6，而－570°＝－2×360°＋150°，∴α1＝－19π6＝－2×2π＋5π6，α2＝750°＝750π180＝25π6＝2×2π＋π6.∴α1在第二象限，α2在第一象限．第一章1.11.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4(2)β1＝3π5＝35×180°＝108°，设θ＝k·360°＋β1(k∈Z)，由－720°≤θ0°，得－720°≤k·360°＋108°0°，∴k＝－2或－1，∴－720°～0°之间与β1有相同终边的角是：－612°和－252°，β2＝－π3＝－60°，设γ＝k·360°－60°(k∈Z)，则由－720°≤k·360°－60°0°，从而k＝－1或k＝0，因此在－720°～0°之间与β2有相同终边的另一个角为－420°.第一章1.11.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4将下列各角化成2kπ＋α(k∈Z)且0≤α2π的形式，并指出它们是第几象限角(1)－1725°；(2)64π3.[分析]先把－1725°化成k·360°＋α(k∈Z)的形式，再用弧度制表示．第一章1.