《信号与系统》课程讲义2-

§2.3卷积、算子一、卷积及其性质1．定义与物理意义①历史：19世纪，欧拉，泊松，杜阿美尔②卷积与反卷积互逆h(t)√e(t)√r(t)?h(t)?e(t)√r(t)√h(t)√e(t)?r(t)√i)卷积：系统分析ii)反卷积1：系统辨识iii)反卷积2：信号检测§2.3卷积、算子1212()()()()()ftftftfftd③定义：()()()(()()()())()()ettetetdrteeththtd④物理意义：将信号分解成冲激信号之和，借助系统的冲激响应h(t)，求出系统对任意激励信号的零状态响应，即：§2.3卷积、算子2.①代数性质tftftftftftftf31213211213,ftftftftii)分配律：定律成立条件：均存在卷积性质12122121()()()()()()()()tftftfftdfftdftft证明：)()()()(1221tftftftfi)交换律：§2.3卷积、算子h1(t)h2(t)+r(t)e(t)h(t)121212()rtethtethtethththththt物理含义：并联系统的冲激响应=各子系统冲激响应之和§2.3卷积、算子tftftftftftf321321iii)结合律：1223,ftftftft定律成立条件：均存在123123123123123()()()()()()()()()ftftftffdftdffftddffxftxdxdftftft证明：令x§2.3卷积、算子h1(t)h2(t)r(t)e(t)h(t)121212rteththtethththththt物理含义：串联系统的冲激响应=子系统冲激响应卷积§2.3卷积、算子[例1]：证明1111tttteutetteutettee1111()0ttttteuteeeetteute11tteutette证明：不存在tttteuteeuedeud考察定律成立条件§2.3卷积、算子②微分积分性质1212ddftftfftddtdt221112dftdftdftfdftftdtdtdt证明：tfdttdfdttdftftftfdtd212121i)微分性质：121221tttffdftfdftfdii)积分性质：12121212ttttffdffddffddftfd证明：§2.3卷积、算子§2.3卷积、算子1212()tdftfdffdt例：iii)推广：12stftft()12iijjstftft则设i,j取正整数时为导数的阶次，取负整数时为重积分的次数§2.3卷积、算子0000i)ii)iii)iv)v)vi)tkkkkfttftftttfttfttftftutfdfttftftttftt(),()tut③的卷积性质()()()fttftdftdfttdft函数本身延迟微分积分性质推广§2.3卷积、算子④数值法（积分复杂时采用此法）3．卷积求法③利用卷积性质②直接法①图解法，设hhtiii)信号移位：ehtiv)信号相乘：hhii)信号反褶：ehtdv)求积分：ti)变量替换：()()etht§2.3卷积、算子111,222etututhttutut()zsrt[例2]：求()ettt1201021()ht1§2.3卷积、算子解：①方法一，图解法()e12()h010211i)t021()hii)()()hh02t1()httiii)()()hht§2.3卷积、算子iv)相乘；v)求积分1/2,()0zstrt122111/21,()24416zsttttrttd11213313/2,()2416zsttrttd221133/23,()2424zsttttrttd3,()0zstrt()e1212tt()ht考察重叠部分确定积分限§2.3卷积、算子220144161211233()416342403123323zsttttttttrttt§2.3卷积、算子解：②方法二，直接法112112112122zsrtethtehtututduuhtdhtdtdt-2t-1/211121()22etututhttutut§2.3卷积、算子解：②方法二，直接法11()(2)()(1)2211()()221()(1)211(2)()221(2)(1)2zsrthtethetduuututduutduutduutduutd1121()22etututhttutut第3项§2.3卷积、算子11(2)()22uutd考虑第3项：(2)u1()2ut21/2t0第3项结果：1/2213()22tdut1.使用闸门函数确定积分限：左边界下限，右边界上限2.积分结果有效存在时间的确定：两阶跃函数的时间相加§2.3卷积、算子1121()22etututhttututtethtethd111222tttuud11112222ttttudud0211112222ttttdutdut22111142244tttuttut22221111131141114342242244tuttuttuttut解：③方法三：利用卷积性质求卷积§2.3卷积、算子1211,12fttututftututtftf21[例3]：求t0211()ft12()ftt1021§2.3卷积、算子121211200120122(1)()(1)[(1)(2)]01011112112221312323220303ttftftftfftdftdututdttttdtdtttttt解：用直接法t-2t-101121112fttututftutut§2.3卷积、算子h1(t)h2(t)+e(t)h(t)h3(t)h1(t)+r(t)1231,1,htuthttthtt[例4]：已知求h(t)§2.3卷积、算子121311132123221121hththththththththththththttututututtt解：1231,1,htuthttthtt§2.3卷积、算子1,()tdpddtp1011101110111011()()()nnnnmmmmnnnnmmmmCprtCprtCprtCrtEpetEpetEpetEetCpCpCpCrtEpEpEpEetDprtNpet二、算子1．算子符号、用算子符号描述高阶微分方程②微分方程的算子描述①定义：微分或积分用算子符号表示,简化作用§2.3卷积、算子()()(),()(()())NpHpNprtDpepDt输入-输出法描述系统数学模型③系统传输算子：§2.3卷积、算子2．算子符号基本规则①可因式分解，不能公因子相消,pxpyxypxpyxycii)22232322325656ddppxxxdtdtdddxxxxdtdtdtddxxxPPxdtdt23256ppppi)§2.3卷积、算子②算子乘除顺序不可随意颠倒1tdpxxdxpdt即先除后乘可以相消i)1()()tdxpxdxtxpd即先乘后除不能相消ii)11ppppiii)§2.3卷积、算子3．用算子符号建立微分方程①已知电路图RivRv+ii)电阻v=Ri1,divLivdtdtLii)电感v=LpiLv+i1,dviCvidtdtC1viCpiii)电容Cv+i§2.3卷积、算子[例5]：用算子描述i(t)与e(t)的关系1211110llRititetCpC