风险型决策树问题

§3-6风险型决策树问题第三章物流运筹的网络模型本节重点1、掌握风险型决策树问题的数学期望值算法；2、会利用软件WINQSB求解决策树问题。§3-6风险型决策树问题一、决策问题及其分类)(min)W(U)(),(U0UEvvijjiw1．决策问题：人们在企业管理、市场经营乃至日常生活和工作中，经常会遇到各种举棋不定的情形。也即，在当事人面前每当出现多种可供选择的不同方案，而他只能从中选择一种方案来实现他最满意的某个目标之时，实际上他就面临着一个决策问题。2．决策问题的分类：（1）确定型决策是指当事人作出一项选择时，只有一种结局。确定型决策我们在前面已经讨论过，例如线性规划问题等。不确定型决策与风险型决策的区别在于每个结果出现的可能性大小是否已知。而对于每个结果出现的可能性大小未知的不确定型决策，我们可以通过收集资料利用统计的方法加以估计。本节我们只讨论风险型决策问题的决策树求解方法。（2）不确定型决策：（3）风险型决策：指当事人作出每一种选择时，都可能有若干个结局，但是每个结局出现的可能性大小(即概率)是已知的。当事人作出每一种选择时，都可能有若干个结局，但是每个结局出现的可能性大小是未知的。风险型决策一般包含以下条件：（1）存在着决策者希望达到的目标（如收益最大或损失最小）；（2）存在着两个或两个以上的方案可供选择；（3）存在着两个或两个以上不以决策者主观意志为转移的自然状态（如不同的天气对市场的影响）；（4）可以计算出不同方案在不同自然状态下的损益值；（5）在可能出现的不同自然状态中，决策者不能肯定未来将出现哪种状态，但能确定每种状态出现的概率。二、决策树决策树又称决策图，是以方框和圆圈及节点，并由直线连接而形成的一种像树枝形状的结构图。即，将备选方案、可能出现的自然状态、结果、各种益损值和概率值等分别用一些特殊的顶点与边以及权值来表示，并按其因果关系排列而成的树形图。如下图所示：决策树所用图解符号及结构：（1）决策点：它是以方框表示的节点。一般决策点位于决策树的最左端，即决策树的起点位置，但如果所作的决策属于多阶决策，则决策树图形的中间可以有多个决策点方框，以决策树“根”部的决策点为最终决策方案。（2）方案枝：它是由决策点起自左而右画出的若干条直线，每条直线表示一个备选方案。方案枝表示解决问题的途径，通常是两枝或两枝以上。（3）状态节点：在每个方案枝的末端画上一个“○”并注上代号叫做状态节点。状态节点是决策分枝的终点，也是表示一个备选方案可能遇到的自然状态的起点。其上方的数字表示该方案的期望损益值。（4）概率枝：从状态节点引出的若干条直线叫概率枝，每条直线代表一种自然状态及其可能出现的概率（每条分枝上面注明自然状态及其概率）。（5）结果点：它是画在概率枝的末端的一个三角节点（△）。在结果点处列出不同的方案在不同的自然状态及其概率条件下的收益值或损失值。步骤决策树形图是人们对某个决策问题未来可能发生的状态与方案的可能结果所作出的预测在图纸上的分析。因此画决策树形图的过程就是拟定各种可行方案的过程，也是进行状态分析和估算方案结果值的过程。画决策树形图时，应按照图的结构规范由左向右逐步绘制、逐步分析。其步骤如下：（1）根据实际决策问题，以初始决策点为树根出发，从左至右分别选择决策点、方案枝、状态节点、概率枝等画出决策树。（2）从右至左逐步计算各个状态节点的期望收益值或期望损失值，并将其数值标在各点上方。（3）在决策点将各状态节点上的期望值加以比较，选取期望收益值最大的方案。对落选的方案要进行“剪枝”，即在效益差的方案枝上画上“∥”或者“×”符号。最后留下一条效益最好的方案。决策树形图可分为单阶段决策树和多阶段决策树。单阶段决策树是指决策问题只需进行一次决策活动，便可以选出理想的方案。单阶段决策树一般只有一个决策节点。多阶段决策是指在一个决策问题中包含着两个或两个以上层次的决策，即在一个决策问题的决策方案中又包含着另一个或几个决策问题。只有当低一层次的决策方案确定之后，高一层次的决策方案才能确定。因此，处理多阶决策问题必须通过依次的计算、分析和比较，直到整个问题的决策方案确定为止。例3-6-1一个车队早晨出车时要决定是否带雨布。决策方案有两个：一是带雨布，一是不带雨布；状态也有两个：一是下雨，一是不下雨；每种方案和每种状态组合后的各种结果的益损值如表所示。问：车队应该做怎样的决策?是带雨布好还是不带雨布好?（1）画决策树例3-6-1（1）画决策树（2）计算状态点的期望值：B点的期望值：E(B)=0×0.3+(-3)×0.7=-2.1C点的期望值：E(C)=(-6)×0.3+0×0.7=-1.8（3）决策并剪枝：比较B和C的期望值的大小，由于E(B)E(C)，说明不带雨布的可能损失比带雨布的可能损失少，所以选择最优之不带雨布的方案，并在决策树上删去顶点B及其相关的边，即剪枝。例3-6-2某公司生产某种产品，一直只在本地区销售，而且销售的前景很好。现在公司打算通过向全国销售来增加利润。经过市场调查，了解到全国和本地区对此产品高需求的概率都是0.5，中等需求的概率都是0.25，低需求的概率都是0.25。两种销售在各种需求影响下的利润如表所示。问：是继续在本地区销售获利大，还是扩大到全国销售获利大?（1）画决策树例3-6-2（1）画决策树Al点的期望值E(Al)=6×0.50+4×0.25+2.5×0.25=4.625（万元）。（2）计算状态点的期望值：A2点的期望值E(A2)=4×0.5+3.8×0.25+3.5×0.25=3.825（万元）。（3）比较A1和A2的期望值的大小，并选出最优方案：到全国销售的方案作为最优方案，可有期望利润4.625（万元）。例3-6-3某开发公司拟为一企业承包新产品的研制与开发任务，但是为了得到合同必须参加投标。已知投标的准备费用为40000元，中标的可能性是40％。如果不中标，准备费用得不到补偿。如果中标，可采用两种方法进行研制开发：方法1成功的可能性为80％，费用为260000元；方法2成功的可能性为50％，费用为160000元。如果研制开发成功，该开发公司可得到600000元，如果合同中标但未研制成功，则开发公司需赔偿100000元。问题是要决策：(1)是否参加投标?(2)若中标了，采用哪种方法研制开发?此乃多阶段的风险型决策问题（1）画决策树例3-6-3（1）画决策树（2）计算第二阶段各状态顶点的期望值：D点的期望值：600000×0.8+(-100000)×0.2=460000E点的期望值：600000×0.5+(-100000)×0.5=250000方法1的期望利润为460000-260000=200000方法2的期望利润为250000-1601100=90000在C点的最优决策是选择方法1利润值200000（3）再计算第一阶段各状态顶点的期望值：B点的期望值：200000×0.4+0×0.6=80000。由于投标的期望利润为80000-40000=40000，比不投标(利润为0)要好，所以在A点的最优决策是选择投标。结论：该开发公司首先应该参加投标，在中标的条件下应该采用方法1进行开发研制，总期望收益为40000元。例4假设有一项工程，施工管理人员需要决定下月是否开工。如果开工后天气好，则可为国家创收4万元，若开工后天气坏，将给国家造成损失1万元，不开工则损失1000元。根据过去的统计资料，下月天气好的概率是0.3,天气坏的概率是0.7。请做出决策。现采用决策树方法进行决策。解：(1)将题意表格化：自然状态概率决策方案开工不开工天气好0.340000-1000天气坏0.7-10000-1000(2)画决策树图形，根据第一步所列的表格，再绘制决策树，()400000.3(10000)0.75000EB()10000.3(1000)0.71000EC()()EBEC(3)计算期望值状态节点B的期望值：状态节点C的期望值：并分别标在状态点B和C的旁边。(4)决策并剪枝：比较B和C的期望值大小，由于说明采取开工方案较好。在决策树上删去C点及其相关的边，即剪枝。例5某连锁店经销商准备在一个新建居民小区兴建一个新的连锁店，经市场行情分析与推测，该店开业的头3年，经营状况好的概率为0.75，营业差的概率为0.25；如果头3年经营状况好，后7年经营状况也好的概率可达0.85；但如果头3年经营状态差后7年经营状态好的概率仅为0.1，差的概率为0.9。兴建连锁店的规模有两个方案：一是建中型商店。二是先建小型商店，若前3年经营效益好，再考虑是否扩建为中型商店。各方案年均收益及投资情况如表下表所示。该连锁店管理层应如何决策？方案投资年收益前3年后7年经营好经营差经营好经营差甲：建中型店乙：建小型店经营好再扩建400150再投210100601021506015010210年投资收益表单位：万元解：决策分析步骤：（1）根据问题绘制决策树，如下图所示。136298754建小型店建中型店销路好0.75销路好0.75销路好0.85销路好0.1销路好0.85销路好0.85销路好0.1销路差0.25销路差0.25销路差0.9销路差0.15销路差0.15销路差0.9销路差0.151501060260215010150103年内7年内扩建不扩建（2）计算各节点及决策点处的期望损益值。从右向左，计算每个节点处的期望损益值，并将计算结果填入图的相应各节点处。节点⑧：（150×0.85+10×0.15）×7-210=693：节点⑨：（60×0.85+2×0.15）×7=359.1对于决策点⑥来说，由于扩建后可得净收益693万元，而不扩建只能得净收益359.1万元.因此，应选择扩建方案，将不扩建方案枝剪掉。所以有：节点⑥：693节点④：（150×0.85+10×0.15）×7=903节点⑤：（150×0.1+10×0.9）×7=168节点⑦：（60×0.1+2×0.9）×7=54.6节点②：（100×0.75+10×0.25）×3+903×0.75+168×0.25-400=551.75节点③：（60×0.75+2×0.25）×3+54.6×0.25+693×0.75-150=519.9（3）剪枝决策。比较两个方案可以看出，建中型商店可获净收益551.75万元，先建小商店，若前3年效益好再扩建，可得净收益519.9万元。因此，应选择建中型商店的方案为最佳方案，对另一方案进行剪枝。通过以上例子可以看出，决策树分析法对于较复杂的多阶段决策十分有效，结合图形进行计算，使分析过程层次清晰。136298754建小型店建中型店销路好0.75销路好0.75销路好0.85销路好0.1销路好0.85销路好0.85销路好0.1销路差0.25销路差0.25销路差0.9销路差0.15销路差0.15销路差0.9销路差0.1515010602602150101501054.6359.1693693168903551.75519.9551.753年内7年内扩建不扩建三、风险型决策树问题在WINQSB下的求解