第四章 数字相关和卷积运算及3章习题解答

(3.2)判断随机相位正弦波在均值意义下是否各态遍历。，,A是固定值，Ф是随机变量，分布为均匀分布：，其它为零。解答：)sin()(0tAtx020,21)(p0dt)t(Asin2T1limmTT0Tx0d)(p)t(Asindx)x(xp)x(E200AA-该随机过程的时间平均为：该随机过程的总体平均为：因此该过程在均值意义下是各态遍历的。(3.3)讨论相互独立、互不相关、相互正交的区别和联系。解答：)y(p)x(p)y,x(p0)y,x(cov0)xy(E随机变量统计独立的条件为：互不相关的条件为：正交的条件为：对于一般的随机变量：统计独立则互不相关；当其中有任意一个变量的均值为零，则互不相关和正交可以互相推导。对于高斯随机变量，统计独立和互不相关可以相互推导；当其中有任意一个变量的均值为零，则三者都能互相推导。(3.4)输入序列xn的一阶概率密度函数是。证明：；如，x1、x2都是具有上述分布的随机序列，求E(y)。解答：)(2)(2nxnxuexpn5.0)(nxE2142xxynnnndx)x(px)x(E0n-2xndx2exn0-2xnndex-0n2x-2xndxe0exnn0n2x-dxen02x-nde5.00)e(5.0n2xE（y）=E(2x1+4x2)=E(2x1)+E(4x2)=3=0.53-5：已知平稳随机过程x的自相关函数如下，求其功率谱密度及均方，并根据所得结果说明该随机过程是否含有直流分量或周期性分量。cos3cos4e)(Rx16cos25e)(R04x（ⅰ）（ⅱ）cos3cos4e)(Rx（ⅰ）de)(R)(Pjxx])(11)(11[8)]3()3([22514)0(R)x(Ex20]12[8)0(P2x因为所以含有直流分量；因为周期信号的自相关函数也是周期性的，而R中包含有一个周期性的成分，因此该随机过程含有周期性分量。16cos25e)(R04x（ⅱ）de)(R)(Pjxx])(161)(161[50)(322020411625)0(R)x(Ex20]162[5032)0(P20x因为所以含有直流分量；因为周期信号的自相关函数也是周期性的，而R中没有包含周期性的成分，因此该随机过程不含有周期性分量。3-6：设x（t）是平稳过程，，证明y（t）的功率谱是：)Tt(x)t(x)t(y)Tcos1)((2P)(Pxyde)(R)(Pjyy解答：))t(y)t(y(E)(Ry))]Tt(x)t(x())Tt(x)t(x[(E)]Tt(x)Tt(x)Tt(x)t(x)t(x)Tt(x)t(x)t(x[E)(R)T(R)T(R)(Rxxxx其中de)(R)(Pjyyde)]T(R)T(R)([2Rjxxx)(2Pxde)]T(R)T([Rjxx]2ee1)[(2PTjTjx)Tcos1)((2Px得证。3-7：一个随机信号x1的自相关函数是，另一个随机信号x2的自相关函数为，在下列条件下，分别求信号相加后x=x1+x2的自相关函数。（ⅰ）x1，x2相互独立；（ⅱ）x1，x2来自同一信号源，只是幅度差一个常数因子K（K不为1）：x2=Kx1。eA)(R11eA)(R22)(Rx（ⅰ）x1，x2相互独立；))t(x)t(x(E)(Rx))]t(x)t(x())t(x)t(x[(E2121)]t(x)t(x)t(x)t(x)t(x)t(x)t(x)t(x[E22211211)(R)]t(x[E)]t(x[E)]t(x[E)]t(x[E)(R221211)(limR1)]t(x[E))t(x(E))t(x(E)](t(t)xlimE[x1211110)]t(x[E120)]t(x[E22)(R)(R)(R21x)eAA(21同理（ⅱ）x1，x2来自同一信号源，只是幅度差一个常数因子K（K不为1）：x2=Kx1。)(Rx)(R)]t(x)t(x[E)]t(x)t(x[E)(R221211)(R)]t(Kx)t(x[E)]t(Kx)t(x[E)(R211111)(R)(2KR)(R211)eA2KAA(211由前面计算可得第四章数字相关和卷积运算（CorrelationandConvolution）第一节线性相关第二节循环相关第三节相干函数第四节线卷第五节循卷第六节相关函数和功率谱估计第七节相关技术的应用４.１线性相关（LinearCorrelation）1.定义:设有离散信号和，其线性相关函数为：(4-1))(nx)(nynxymnynxmr)()()()()()(nynxmrxy等于零表示两序列正交或者相互独立。线性相关运算的简洁表示为：(4-2)对应式(4-1)，令k＝m＋n，则n＝k－m，得：(4-3)kxykymkxmr)()()()(mrxy)(mryxnyxmnxnymr)()()()()()()()()(mrmkykxkxmkymrxykkyx令k＝m＋n，则n＝k－m，得：(4-5)和却是完全不同的：(4-4)2.相关的意义x=randn(100,2);%uncorrelateddatax(:,3)=x(:,1)+x(:,2);%introducecorrelationplot(x);legend('1','2','3')r12=xcorr(x(:,1),x(:,2));r13=xcorr(x(:,1),x(:,3));plot(-99:99,r12,-99:99,r13,'r');legend('r12','r13')•【例4-2】设和是有限长的序列，序列长度为N点，长度为M点，除区间之外皆为零，除区间之外皆为零，证明它们的线性相关函数的长度为M＋N－1点，并且除区间之外皆为零。证明：按照题意，对于)(nx)(ny)(nx)(ny)(nx21NnN)(ny43NnN)(mrxy1423NNmNNnxymnynxmr)()()(的非零区间为)(nx21NnN12NnN)(mny43NmnN1423NNmNN)(nx)(mny)(mrxy在此区间之外，和的非零值互不重叠，故的值皆为零。将上面两个不等式相加，可得的非零区间为对上式同时乘－1则有•上式得到的长度为L=点，由题意知N＝，M＝因此)(mrxy1)(2314NNNN112NN134NN1)(2314NNNN134NN112NN)(mrxyL＝＝＋－1＝M＋N－1，也就是线性相关函数的长度为M＋N－1。3.计算与计算卷积相似:•公式法•表格法•图形法参看例题4-1•程序法:000)1(0)1()2()1()2()1()2()1()0()1()0(0)0(000)1()1()0(NyNyNyNyyyyyyyyyNxxx10)()()(Nnxymnynxmr•设序列x,y长度为N点，除区间0~N-1之外皆为零，用矩阵的形式来表达线性相关：•计算得到一个2N－1点长的行向量，也就是对应，m＝－(N－1)，…，（N－1）。如果x和y的长度不同，则把短的序列进行补零，使得两者点长相同，然后计算.４.２循环相关（CircularCorrelation）•1.定义:10)())(()()(NnNNxynRmnynxmr最后得到的循环相关序列的长度就是N点，m取[0，1，2，…，N-1]。•循环相关运算的简洁表示为：⊙)()(nxmrxy)(ny2.意义•循环相关与离散功率谱是一对DFT变换对.•如果信号是周期的则用循环相关估计更为准确.clear;N=500;n=0:N-1;s=0.8*sin(pi/5*n);Rs=xcorr(s);rss=circlecorr(s,s);rs=[rssrss];plot(-499:499,Rs,-499:499,rs(1:999),'r')3.计算与计算卷积相似:•公式法•表格法•图形法参看例题4-3•程序法:•设序列x,y长度为N点，除区间0~N-1之外皆为零，用矩阵的形式来表达循环相关：•计算得到一个N点长的行向量，也就是对应，m=0，1…，（N－1）。如果x和y的长度不同，则把短的序列进行补零，使得两者点长相同，然后计算.)2()0()1()0()2()1()1()1()0()1()1()0(NyyNyyyyNyyyNxxx10)())(()()(NnNNxynRmnynxmr•Matlab中的循环左移的函数circlel（）：functionv=circlel(y)N=length(y);v=zeros(N,N);fori=1:Nforj=1:Nv(i,j)=y(j);endL=y(1);fork=1:N-1y(k)=y(k+1);endy(N)=L;end计算过程：V＝circlel（y）；r＝x*V；４.３相干函数（CoherentFunction）•设有两个离散信号和，为了比较这两个信号的相似程度，可以用常数乘上其中一个信号，使得两者之间误差能量最小，可以用最小二乘法来估计。令误差能量为，则有：)(nx)(nyannaynx22)()(＝20)()()(22nnynaynxdad1.时域相干函数使得误差能量最小，则有：•因而得到a以及最小误差能量：nnnynynxa)()()(2nnnnynynxnx)()()()(2222minnnnnnynxnynxnxe)()()()(1)(22222min2min以x的能量为基准，得到相对最小误差能量：•称为归一化相关系数，或者叫相干系数。•在一个序列移动的情况下，相干系数就变成相干函数，它是m的函数，用表示：nnnxynynxnynx)()()()(2222xy)(mxynnnxynynxmnynxm)()()()()(2222令21)0()0()0(yyxxxyxyrrr21)0()0()()(yyxxxyxyrrmrmnnnxynynxmnynxm)()()()()(2222•【例4-4】和是有限长的序列，＝[1，0.1，－1，0.1]，＝[0.1，1，0.1，－1]，求线性互相干函数和线性互相干系数。•解：由例4-1知＝[0.01，0，–0.98，0，2.01，0，－1]，我们还需要求)(nx)(ny)(mrxy30)()()0(nxxnxnxr30)()()0(nyynynyr＝1×1＋0.1×0