三大抽样分布(1)概率论与数理统计习题 概率论与数理统计)

三大抽样分布).(~,,)1,0(,,,22222221221nnXXXNXXXnn记为分布的服从自由度为＝则称统计量的样本是来自总体设.:222212变量的个数中右端包含独立指自由度nXXX统计量的分布称为抽样分布.分布21.随机数演示分布函数与密度函数演示分布的概率密度为)(2n.00,e)2(21)(2122其他yynyfynn证明,2,21)1(2分布分布即为因为Ga),1,0(~NXi又因为),1(~22iX由定义.,,2,1,2,21~2niXi即.)(2图分布的概率密度曲线如n,,,,21相互独立因为nXXX,,,,22221也相互独立所以nXXX伽玛分布的可加性知根据niiX122.2,2~nGa分布的性质2性质1).(~,,),(~),(~2122221222122221221nnnn则立独并且设)(2分布的可加性(此性质可以推广到多个随机变量的情形.)).(~,),,2,1(),(~21212222mmiiiiinnnmin则独立相互并且设性质2.2)(,)(),(~2222nDnEn则若证明),1,0(~NXi因为,1)()(2iiXDXE所以2242)]([)()(iiiXEXEXD,123.,,2,1niniiXEE122)(故niiXE12)(,nniiXDD122)(niiXD12)(.2n)(2分布的数学期望和方差分布的分位数2.1)()(1d)()}({,10,221)(2122-1分位数分布的为的点称满足条件对于给定的正数nnyyfnPn.1,,的分位数的值得可以通过查表求对于不同的n)(21n,1deπ21}{1)1,0(),1,0(1221-1xuXPuNNXux满足分位数的服从标准正态分布设.,1可通过查表完成的值求u95.005.01uu附表2-1975.0025.01uu根据正态分布的对称性知.1uu,645.1,96.1附表2-2例1975.095.0uu分位数满足的设1)(),(~22nnZ,1d);()}({)(22121nynynZP.,)(21可通过查表完成的值求n)8()8(2975.02025.01)10()10(2025.02975.01)25()25(29.021.01附表3只详列到n=40为止.,535.17,247.3.382.34例2)25()8()10(29.02975.02025.0.1.)12(21)(,12121分位数是标准正态分布的其中充分大时当ununn例如2295.0295.0)99645.1(21)99(21)50(u.221.67利用上面公式,费舍尔资料而查详表可得.505.67)50(295.0.1,45分位数的近似值时可以求得n费舍尔(R.A.Fisher)证明:）（求50,05.0,502-1n).(~,/,,),(~),1,0(~2ntttnnYXtYXnYNX记为分布的服从自由度为则称随机变量独立且设t分布又称学生氏(Student)分布.学生氏资料tntnnnthn,12π21)(212分布的概率密度函数为)(nt分布t2.随机数演示分布函数与密度函数演示图分布的概率密度曲线如t.0对称的显然图形是关于t当n充分大时,其图形类似于标准正态变量概率密度的图形.,eπ21)(lim22tnth因为,)1,0(分布分布近似于足够大时所以当Ntn.)1,0(,分布相差很大分布与但对于较小的Ntn.1)()(1d)()}({,10,1)(11分位数分布的为的点称满足条件对于给定的ntnttthnttPnt.-1分位数的值得可以通过查表求由分布的对称性知)()(1ntnt.)(,4511untn时当分布的分位数t)(1nt)10()10(95.005.0-1tt,8125.1)15()15(95.005.0-1tt531.71例3）（）（）（求已知15,15,10,05.0,10-1-1tttn)15(-)15(-)15(5.9005.0-105.0ttt531.71-解：)10()15()15(95.095.005.0ttt例4设r.v.X与Y相互独立，X~N(0,16),Y~N(0,9),X1,X2,…,X9与Y1,Y2,…,Y16分别是取自X与Y的简单随机样本,求统计量1292221216XXXZYYY所服从的分布。解)169,0(~921NXXX)1,0(~)(431921NXXX16,,2,1,)1,0(~31iNYi)16(~3122161iiY16314311612921iiYXXX)16(~t2162221921YYYXXX从而).,(~,),(//,,),(~),(~2121212212nnFFFnnnVnUFVUnVnU记为布分的服从自由度为随机变量则称独立且设分布F3.分布的概率密度为),(21nnF.,0,0,1222)(2212112221212111其他ynynnnynnnnynnnn图分布的概率密度曲线如F根据定义可知,).,(~1),,(~1221nnFFnnFF则若分位数满足分布的设-1),(21nnF.,),(21-1可通过查表完成的值求nnF)8,7(025.0-1F)30,14(05.0-1F,-1d)()},({),(-21-121-1nnFyynnFFP,53.4.04.2例5)8,7()30,14(75.905.90FF解：:-1分位数具有如下性质分布的F.),(1),(12-121nnFnnF证明)},({21nnFFP所以),(1121nnFFP),(11121nnFFP),,(~21nnFF因为,1),(1121nnFFP故),,(~112nnFF因为,1),(1121nnFFP所以比较后得.),(1),(12121nnFnnF即)9,21(50.0F例)12,9(195.0F8.21.357.0.1分位数的一些用来求分布表中未列出.),(1),(21121nnFnnF例6设是来自的样本，试求的分布（P277T9）21,xx),0(2N22121xxxxY解：由已知可知)2,0(~),2,0(~221221NxxVNxxU又由P162例3.3.9知U与V是相互独立的，且)1,0(~22),1,0(~222121NxxVNxxU)1(~)2/(),1(~)2/(2222VU即有由F分布的定义得)1,1(~1/2/1/2/22FUU)1,1(~22121FxxxxY上式左边化简即得4.正态总体的样本均值与样本方差的分布定理一则有是样本均值的样本是来自正态总体设,,),(,,,221XNXXXn.),(2有以下两个重要定理的样本均值和样本方差正态总体N)(~)()2(2212nXnii)1,0(~/)./,(~)1(2NnXnNX即定理二.(2));1(~)1((1),,,),(,,,22222221独立与则有方差分别是样本均值和样本的样本是总体设SXnSnSXNXXXn).1(~/,,,),(,,,2221ntnSXSXNXXXn则有方差分别是样本均值和样本样本的是总体设证明),1,0(~/NnX因为),1(~)1(222nSn且两者独立,由t分布的定义知)1()1(/22nSnnX).1(~nt推论1则有差分别是这两个样本的方值分别是这两个样本的均设且这两个样本互相独立的样本总体具有相同方差的两正态分别是与设,)(11,)(11,1,1,,),(,),(,,,,,,2121211222212121121122212121niiniiniiniinnYYnSXXnSYnYXnXNNYYYXXX推论2,(2));1,1(~//(1)222212122212221时当nnFSS.,2)1()1(),2(~11)()(2212222112212121其中证明(1)由定理二),1(~)1(1221211nSn),1(~)1(2222222nSn,,2221独立由假设SS分布的定义知则由F1),,1(~)1()1()1()1(21222222211211nnFnSnnSn.)1,1(~//2122212221nnFSS即221221,~nnNYX因为212111)()(nnYXU所以),1,0(~N(2)),1(~)1(122211nSn由),1(~)1(222222nSn分布的可加性知故由且它们相互独立2,2211)1(SnV2222)1(Sn),2(~212nn.,分布的定义按相互独立与由于tVU)2/(21nnVU212111)()(nnSYXw).2(~21nnt的概率不小于90%,则样本容量至少取多少?例7设~(72,100)XN,为使样本均值大于70解设样本容量为n,则)100,72(~nNX故)70(1)70(XPXPn1072701n2.0令9.02.0n得29.12.0n即6025.41n所以取42n例8从正态总体),(~2NX中，抽取了n=20的样本1220(,,,)XXX(1)求22012276.120137.0iiXXP(2)求22012276.120137.0iiXP解(1))1(~)1(222nSn)19(~11922012222iiXXS即22012276.120137.0iiXXP故2.3514.720122iiXXP4.712.3512012220122iiiiXXPXXP98.001.099.0查表(2))20(~22012iiX22012276.120137.0iiXP故2.354.72012iiXP4.72.3520122012iiiiXPXP97.0005.0975.0课堂练习：设是来自N(,2)12(,,,)nXXX的简单随机样本,是样本均值X,)(111221niiXXnS,)(11222n