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·新课标第5讲一次方程（组）及其应用第5讲一次方程（组）及其应用│考点随堂练│1．等式的性质性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，所得的结果仍是等式．即如果a＝b，那么a±c＝b±c.考点1等式的性质第5讲一次方程（组）及其应用考点随堂练性质2：等式的两边都乘(或除以)同一个不为0的数(或式子)，所得的结果仍是等式．即如果a＝b，那么ac＝bc或ac＝bc(c≠0).第5讲一次方程（组）及其应用考点随堂练►热身考点1等式的概念及性质21．如图6－1①，在第一个天平上，砝码A的质量等于砝码B加上砝码C的质量；如图6－1②，在第二个天平上，砝码A加上砝码B的质量等于3个砝码C的质量．请你判断：1个砝码A与________个砝码C的质量相等．图6－1[解析]依题意有两个等式相加得2A＋B＝B＋4C，A＝2C.A=B+C,A+B=3C,第5讲一次方程（组）及其应用考点随堂练考点2方程及相关概念未知数相等方程的概念含有________的等式叫做方程方程的解使方程左右两边的值________的未知数的值叫做方程的解，一元方程的解，也叫它的根解方程求方程解的过程叫做解方程第5讲一次方程（组）及其应用考点随堂练例(2013·咸宁)已知x＝2y＝1是二元一次方程组mx＋ny＝7nx－my＝1的解，则m＋3n的立方根为_______．【点拨】把x＝2y＝1代入mx＋ny＝7，nx－my＝1，得2m＋n＝7，①2n－m＝1.②①＋②，得m＋3n＝8，∴m＋3n的立方根为2.【答案】2►热身考点2方程及相关概念第5讲一次方程（组）及其应用考点随堂练1．一元一次方程在整式方程中，只含有一个未知数(元)，并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．一元一次方程的标准形式是ax＋b＝0(a≠0).2．解一元一次方程的一般步骤(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.考点3一元一次方程最小公倍数改变符号系数解一元一次方程的一般步骤1.去分母在方程两边都乘以各分母的___________，注意别漏乘2.去括号注意括号前的系数与符号,前面是负号时括号里各项符号要变号，同时不要漏乘每一项。3.移项把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边，注意移项要__________4.合并同类项把方程化成ax＝b(a≠0)的形式5.系数化1方程两边同除以x的________，得x＝a的形式第5讲一次方程（组）及其应用考点随堂练考点3一元一次方程第5讲一次方程（组）及其应用考点随堂练►热身考点3一元一次方程2．解方程：x－x－12＝13－x＋26.【答案】x＝－34第5讲一次方程（组）及其应用考点随堂练考点4二元一次方程组1．二元一次方程组(1)二元一次方程的一般形式：ax＋by＝c(a，b，c是常数，且a≠0，b≠0)．(2)两个含有相同未知数的二元一次方程合在一起，构成二元一次方程组．相等2．解二元一次方程组的基本思路：消元．3．二元一次方程组的解法：(1)代入消元法；(2)加减消元法；(3)图象法．4.二元一次方程组的解应写成的形式byax第5讲一次方程（组）及其应用考点随堂练代入法定义在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法防错提醒在用代入法求解时，能正确用其中一个未知数去表示________________加减法两个二元一次方程中时，将两个方程的两边分别相加或相减，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法另一个未知数考点4二元一次方程组同一未知数的系数相反或相等第5讲一次方程（组）及其应用考点随堂练温馨提示当方程组中一个方程的某个未知数的系数的绝对值为1时，用代入消元法较为简单；当方程组中两个方程的某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系时，用加减消元法较为简单.考点4二元一次方程组第5讲一次方程（组）及其应用考点随堂练►热身考点4二元一次方程组的解法1．解方程组31,328.xyxy解：①×2＋②×3，得11x＝22，解得x＝2.将x＝2代入①，得2＋3y＝－1，解得y＝－1.所以方程组的解是②31,328.xyxy①2,1.xy2.(2013·广东)解方程组：x＝y＋1，①2x＋y＝8.②第5讲一次方程（组）及其应用考点随堂练1．三元一次方程组：方程组中含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．2．解三元一次方程组的一般步骤：三元一次方程组――→消元二元一次方程组――→消元一元一次方程．考点5三元一次方程组（选学）第5讲一次方程（组）及其应用考点随堂练考点6列一次方程(组)解应用题列方程(组)解应用题的一般步骤1.审审清题意，分清题中的已知量、未知量2.设设未知数，设其中某个未知量为x，并注意单位．对于含有两个未知数的问题，需要设两个未知数3.列根据题意寻找等量关系列方程4.解解方程(组)5.验检验方程(组)的解是否符合题意6.答写出答案(包括单位)列一次方程(组)解应用题的关键是：确定等量关系．第5讲一次方程（组）及其应用考点随堂练行程问题基本量之间的关系路程＝_____________相遇问题全路程＝甲走的路程＋乙走的路程追及问题若甲为快者，则被追路程＝甲走的路程－乙走的路程流水问题V顺＝V静＋V水，V逆＝V静－V水工程问题基本量之间的关系工作效率＝________其他常用关系量(1)甲、乙合做的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效率；(2)通常把工作总量看作________速度×时间工作总量工作时间“1”常见几种方程类型及等量关系考点6列一次方程(组)解应用题第5讲一次方程（组）及其应用考点随堂练(1)数字问题(包括日历中的数字规律)①设个位数字为c，十位数字为b，百位数字为a，则这个三位数是100a＋10b＋c；②日历中前后两日差1，上下两日差7.(2)体积变化问题(3)打折销售问题①利润＝售价－成本；②利润率＝利润成本×100%.第5讲一次方程（组）及其应用考点随堂练(4)储蓄问题①利息＝本金×利率×期数；②本息和＝本金＋利息＝本金×(1＋利率×期数)．第5讲一次方程（组）及其应用考点随堂练►热身考点5利用一次方程（组）解决生活实际问题例某旅行社拟在暑假期间面向学生推出“林州红旗渠一日游”活动，收费标准如下：人数m0m≤100100m≤200m200收费标准(元/人)908575甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动．已知甲校报名参加的学生人数多于100人，乙校报名参加的学生人数少于100人．经核算，若两校分别组团共需花费20800元，若两校联合组团只需花费18000元．(1)两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人吗？为什么？(2)两所学校报名参加旅游的学生各有多少人？第5讲一次方程（组）及其应用考点随堂练解：(1)设两校人数之和为a.若a＞200，则a＝18000÷75＝240.若100＜a≤200，则a＝18000÷85＝2111317，不合题意．所以这两所学校报名参加旅游的学生人数之和等于240人，超过200人．(2)设甲学校报名参加旅游的学生有x人，乙学校报名参加旅游的学生有y人，则①当100＜x≤200时，得解得②当x＞200时，得解得此解不合题意，舍去．∴甲学校报名参加旅游的学生有160人，乙学校报名参加旅游的学生有80人．240,859020800.xyxy160,80.xy240,759020800.xyxy153,32186.3xy变式题某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购．投资者可以在以下两种购铺方案中作出选择：方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可获得的租金为商铺标价的10%.方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后，每年可获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．第5讲一次方程（组）及其应用考点随堂练(1)请问，投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么？注：投资收益率＝投资收益实际投资额×100%(2)对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？第5讲一次方程（组）及其应用考点随堂练解：(1)设商铺标价为x万元，则按方案一购买，则可获投资收益(120%－1)·x＋x·10%×5＝0.7x，投资收益率为0.7xx×100%＝70%.按方案二购买，则可获投资收益(120%－0.85)·x＋x×10%×(1－10%)×3＝0.62x.∴投资收益率为0.62x0.85x×100%≈72.9%.∴投资者选择方案二所获得的投资收益率更高．(2)由题意得0.7x－0.62x＝5，解得x＝62.5(万元)．∴甲投资了62.5万元，乙投资了53.125万元．第5讲一次方程（组）及其应用考点随堂练考点6方程(组)的综合应用例(2013·资阳)在关于x，y的二元一次方程组x＋2y＝a2x－y＝1中，(1)若a＝3，求方程组的解；(2)若S＝a(3x＋y)，当a为何值时，S有最值？第5讲一次方程（组）及其应用考点随堂练解：(1)方程组x＋2y＝a，①2x－y＝1，②①＋2×②，得5x＝a＋2.当a＝3时，x＝1.把x＝1代入②，解得y＝1.所以若a＝3，方程组的解为x＝1，y＝1.第5讲一次方程（组）及其应用考点随堂练(2)解方程组x＋2y＝a，①2x－y＝1，②解法一：①＋2×②，得x＝a＋25.③把③代入②，得y＝2a－15.∵S＝a(3x＋y)＝a(3×a＋25＋2a－15)＝a2＋a＝(a＋12)2－14.∴当a＝－12时，S有最小值．解法二：①＋②，得3x＋y＝a＋1，∴S＝a(a＋1)＝a2＋a＝(a＋12)2－14，∴a＝－12时，S有最小值．第5讲一次方程（组）及其应用考点随堂练1．二元一次方程x－2y＝1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是(B)A.x＝0y＝－12B.x＝1y＝1C.x＝1y＝0D.x＝－1y＝－12．关于x，y的方程组3x－y＝mx＋my＝n的解是x＝1，y＝1，则|m－n|的值是(D)A．5B．3C．2D．1解析：解法一：把x＝1y＝1代入3x－y＝m，x＋my＝n，得3－1＝m，1＋m＝n，解得m＝2，n＝3，所以|m－n|＝|－1|＝1.故选D；解法二：把x＝1y＝1代入x＋my＝n，得m－n＝－1，所以|m－n|＝1.故选D.3．关于x的一元一次方程2x－k3－x－3k2＝1的解是x＝－1，则k的值是(B)A.27B．1C．－1311D．04．方程y－y－12＝2－y＋23去分母后，结果正确的是(C)A．6y－y－1＝2－2(y＋2)B．6y－y－1＝12－2(y＋2)C．6y－3(y－1)＝12－2(y＋2)D．6y－3(y－1)＝2－2(y＋2)5．小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她去学校共用了16分钟．假设小颖上坡路的平均速度是3千米/时，下坡路的平均速度是5千米/时．若设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，则根据题意可列方程组为()A.3x＋5y＝1200x＋y＝16B.360x＋560y＝1.2x＋y＝16C.3x＋5y＝1.2x＋y＝16D.360x＋560y＝1200x＋y＝16解析：1200米＝1.2千米，3千米/时＝360千米/分，5千米