第4章第4讲 正、余弦定理及解三角形(2019高考帮・数文)

2019版《高考帮》配套PPT课件第四讲正、余弦定理及解三角形【高考帮·文科数学】第四章：三角函数、解三角形考情精解读A考点帮•知识全通关目录CONTENTS考纲要求命题规律命题分析预测考点1正、余弦定理及其应用考点2解三角形的实际应用考法1利用正、余弦定理解三角形考法2判断三角形的形状考法3与面积、范围有关的问题考法4解三角形的实际应用B考法帮•题型全突破C方法帮•素养大提升易错代数式化简或三角运算不当致误误文科数学第四章：三角函数、解三角形考情精解读考纲要求命题规律命题分析预测文科数学第四章：三角函数、解三角形1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.考纲要求核心考点考题取样考查内容（对应考法）1.利用正、余弦定理解三角形2017全国Ⅰ,T112017全国Ⅱ,T162017全国Ⅲ,T152016全国Ⅰ,T42016全国Ⅱ,T152013全国Ⅰ,T10利用正弦定理、余弦定理解三角形(考法1)2015全国Ⅰ,T17(Ⅱ)2014全国Ⅱ,T17(Ⅱ)2013全国Ⅱ,T4求三角形或四边形的面积(考法3)2.解三角形的实际应用2015湖北,T152014全国Ⅰ,T16解三角形的实际应用(考法4)命题规律1.分析预测从近五年的考查情况来看,本讲是高考的重点和热点,主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用,有时也与三角恒等变换等进行综合命题,既有选择题、填空题,又有解答题,分值5~12分.2.学科素养本讲主要考查考生的数学运算能力.命题分析预测A考点帮•知识全通关考点1正、余弦定理及其应用考点2解三角形的实际应用文科数学第四章：三角函数、解三角形1.正弦、余弦定理在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC的外接圆半径,则考点1正、余弦定理及其应用（重点）定理正弦定理余弦定理内容𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶=2R.a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC.变形(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(2)sinA=𝑎2𝑅,sinB=𝑏2𝑅,sinC=𝑐2𝑅;(3)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;(4)asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA;(5)𝑎+𝑏+𝑐𝑠in𝐴+sin𝐵+sin𝐶=𝑎sin𝐴=2R.cosA=𝑏2+𝑐2−𝑎22𝑏𝑐;cosB=𝑐2+𝑎2−𝑏22𝑎𝑐;cosC=𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎𝑏.解决的问题(1)已知两角和任一边,求另一角和其他两条边;(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角.(1)已知三边,求各角;(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角;(3)已知两边和其中一边的对角,求其他角和边.注意：在△ABC中,已知a,b和A,利用正弦定理解三角形时,会出现解的个数不确定的情况,情况如下:文科数学第四章：三角函数、解三角形A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsinAbsinAaba≥bab解的个数一解两解一解一解2.三角形中的常见结论在△ABC中,常有下列结论:(1)A+B+C=π.(2)大边对大角,大角对大边,如ab⇔AB⇔sinAsinB.(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.(4)有关三角形内角的三角函数关系式:sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC;sin𝐴+𝐵2=cos𝐶2;cos𝐴+𝐵2=sin𝐶2.(5)在△ABC中,内角A,B,C成等差数列⇔B=π3,A+C=2π3.(6)在斜△ABC中,tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC.文科数学第四章：三角函数、解三角形3.三角形的面积公式(1)已知三角形一边及该边上的高:S=12ah(h表示边a上的高);(2)已知三角形的两边及其夹角:S=12absinC=12acsinB=12bcsinA;(3)已知三角形的三边:S=𝑝(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐)(p=12(a+b+c));(4)已知三角形的三边及内切圆半径:S=12r(a+b+c)(r表示三角形内切圆半径).文科数学第四章：三角函数、解三角形解三角形在测量中的应用解三角形的实际应用有:测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.说明有关测量中的常用术语如下：考点2解三角形的实际应用（重点）术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的叫作仰角,目标视线在水平视线下方的叫作俯角.方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫作方位角.方位角的范围是(0°,360°).术语名称术语意义图形表示方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北(南)偏东(西)α.北偏东α南偏西α坡角坡面与水平面的夹角设坡角为α,坡度为i,则i=ℎ𝑙=tanα.坡度坡面的垂直高度h和水平宽度l的比文科数学第四章：三角函数、解三角形规律总结文科数学第四章：三角函数、解三角形B考法帮•题型全突破考法1利用正、余弦定理解三角形考法2判断三角形的形状考法3与面积、范围有关的问题考法4解三角形的实际应用文科数学第四章：三角函数、解三角形考法1利用正、余弦定理解三角形考法指导解三角形的基本类型及解法基本类型一般解法已知两角及其中一角的对边,如A,B,a①由A+B+C=180°,求出C;②根据正弦定理,得𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵及𝑎sin𝐴=𝑐sin𝐶,求b,c.已知两边和它们的夹角,如a,b,C①根据余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,求出边c;②根据cosA=𝑏2+𝑐2−𝑎22𝑏𝑐,求出A;③根据B=180°-(A+C),求出B.求出第三边后,也可用正弦定理求角,这样往往可以使计算简便,应用正弦定理求角时,为了避开讨论(因为正弦函数在区间(0,π)上是不单调的),应先求较小边所对的角,它必是锐角.基本类型一般解法已知三边可以连续用余弦定理求出两角,常常是分别求较小两边所对的角,再由A+B+C=180°,求出第三个角;由余弦定理求出一个角后,也可以根据正弦定理求出第二个角,但仍然是先求较小边所对的角.已知两边及其中一边所对的角,如a,b,A①根据正弦定理,经讨论求B;②求出B后,由A+B+C=180°,求C;③再根据正弦定理𝑎sin𝐴=𝑐sin𝐶,求出边c.也可以根据余弦定理,列出以边c为元的一元二次方程c2-(2bcosA)c+(b2-a2)=0,根据一元二次方程的解法,求边c,然后应用正弦定理或余弦定理,求出其他元素.文科数学第四章：三角函数、解三角形示例1[2017北京，15，13分]在△ABC中,∠A=60°,c=37a.(Ⅰ)求sinC的值;(Ⅱ)若a=7,求△ABC的面积.思路分析(Ⅰ)根据正弦定理𝑎sin𝐴=𝑐sin𝐶求sinC的值;(Ⅱ)根据条件可知a=7,c=3,由(Ⅰ)的结果求cosC,再利用sinB=sin(A+C)求出sinB,最后利用三角形的面积S=12acsinB求出△ABC的面积.文科数学第四章：三角函数、解三角形解析(Ⅰ)在△ABC中,∠A=60°,c=37a,由正弦定理得sinC=𝑐sin𝐴𝑎=37×32=3314.(Ⅱ)解法一因为a=7,所以c=37×7=3.由(Ⅰ)知sinC=3314,又c=37aa,且A=60°,所以CA,即C60°.故cosC=1−sin2𝐶=1−(3314)2=1314.文科数学第四章：三角函数、解三角形由A+B+C=180°可得B=180°-A-C,所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=sin60°×1314+cos60°×3314=437.所以△ABC的面积S=12acsinB=12×7×3×437=63.解法二因为a=7,所以c=37×7=3,由余弦定理得72=b2+32-2b×3×12,解得b=8或b=-5(舍去).所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×8×3×32=63.文科数学第四章：三角函数、解三角形拓展变式1(1)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=2C,2bcosC-2ccosB=a,则角A的大小为A.π2B.π3C.π4D.π6(2)在△ABC中,a、b、c分别是内角A、B、C的对边.若bsinA=3csinB,a=3,cosB=23,则b=A.14B.6C.14D.6文科数学第四章：三角函数、解三角形答案(1)A(2)D解析(1)由正弦定理得2sinBcosC-2sinCcosB=sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,sinBcosC=3sinCcosB,sin2CcosC=3sinCcos2C,2cos2C=3(cos2C-sin2C),tan2C=13,∵B=2C,∴C为锐角,∴tanC=33,C=π6,B=π3,A=π2,故选A.(2)bsinA=3csinB⇒ab=3bc⇒a=3c⇒c=1,∴b2=a2+c2-2accosB=9+1-2×3×1×23=6,b=6,故选D.文科数学第四章：三角函数、解三角形考法2判断三角形的形状考法指导判断三角形的形状,主要有如下两种方法:(1)角化边.利用正弦、余弦定理把已知条件转化为边的关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,如:①若a=b,则三角形为等腰三角形;②若c2=a2+b2,则三角形为以角C为直角的直角三角形;③若c2a2+b2,则三角形为以角C为钝角的钝角三角形;④若c2a2+b2,则只能得到三角形中角C为锐角,如果同时有a2c2+b2,b2a2+c2都成立,此三角形为锐角三角形;⑤有时可能得到两个结论a=b,且c2=a2+b2,此时三角形为等腰直角三角形.化简过程中不能随便约分,要把关系找充分,从而正确判断三角形的形状.(2)边化角.利用正弦、余弦定理把已知条件转化为内角三角函数间的关系,通过三角恒等变换,得出内角的关系,常见的关系有:①sin2A=sin2B,即A=B或A+B=π2,三角形为等腰三角形或直角三角形;②A+B=π2,三角形为以角C为直角的直角三角形;③A=B=C,三角形为等边三角形.在这里要注意应用A+B+C=π这个结论,从而判断出三角形的形状.文科数学第四章：三角函数、解三角形示例2在△ABC中,设a,b,c分别是角A,B,C所对边的边长,且直线bx+ycosA+cosB=0与ax+ycosB+cosA=0平行,则△ABC一定是A.锐角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰或直角三角形思路分析两直线平行可得到一个边角关系,即bcosB-acosA=0,然后可化边或化角判断三角形的形状.文科数学第四章：三角函数、解三角形解析解法一(边化角)由两直线平行可知bcosB-acosA=0,由正弦定理可知sinBcosB-sinAcosA=0,即12sin2B-12sin2A=0,故2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=π2.若A=B,则a=b,cosA=cosB,两直线重合,不符合题意,故A+B=π2,即△ABC是直角三角形.文科数学第四章：三角函数、解三角形解法二(角化边)由两直线平行可知bcosB-acosA=0,由余弦定理,得a·𝑏2+𝑐2−𝑎22𝑏𝑐=b·𝑎2+𝑐2−𝑏22𝑎𝑐,所以a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),所以c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),所以(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,所以a=b或a2+b2=c2.若a=b,则两直线重合,不符合题意,故a2+b2=c2,即△ABC是直角三角形.答案C文科数学第四章：三角函数、解三角形突破攻略三角形形状的判断要从角或边长