勒让德(legendre)多项式及其性质

数学物理课件第1页共6页勒让德（legendre）多项式及其性质一．勒让德多项式勒让德多项式是由勒让德方程的通解推导出来的，所以我们首先引入勒让德方程，以及勒让德方程的幂级数解，勒让德方程的表达式如下：2'''(1)2(1)0xyxynny其中n为非负实数（1.1）它的幂级数解如下：12yyy（1.2）其中：2241200(1)(2)(1)(3)[1]2!4!kkknnnnnnyaxaxx（1.3）213522110(1)(2)(1)(3)(2)(4)[]3!5!kkknnnnnnyaxaxxx（1.4）由达朗贝尔判别法可知，当0n不为整数时，这两个级数的收敛半径为1，在（1.3）式和（1.4）式中，0a与1a可以任意取值，它们起着任意常数的作用，显然，在区间（－1，1）内1y和2y都是方程（1.1）的解，所以（1.2）是（1.1）的通解。上面（1.3）和（1.4）幂级数当||1x时级数收敛，此外级数是发散的。并且，我们发现，当n取非负整数时，1y和2y中有一个便退化为n次多项式，它就是方程（1.1）在闭区间[-1,1]上的有界解。此时，适当的选定这个多项式的最高次幂系数na，所得的多项式称为n阶勒让德多项式或第一类勒让德函数，记作nPx，下面我们来推导勒让德多项式nPx的表达式。①当n为正偶数时1y退化为n次多项式。为求得nPx的表达式，在1y中我们通过na来表示其它各项的系数。为此，将系数递推关系式改写成下列形式：2(2)(1)()(1)kkkkaaknkn（1.5）在（1.5）式中取2kn，得：数学物理课件第2页共6页2(1)2(21)nnnnaan（1.6）习惯上取na为2(2)2(!)nnnan（1.7）于是有：2(1)2(21)(22)!2(21)2(1)!(1)(2!)nnnnnnnannnnnn(22)!2(1)!(2)!nnnn（1.8）在（1.5）式中取4kn，并利用2na之值得：42(2)(3)4(23)nnnnaan2(2)(3)(22)!(1)4(23)2(1)!(2)!nnnnnnn2(24)!(1)2(2!)(2)!(4)!nnnn（1.9）一般地，我们有222!12!()!(2)!mnmnnmamnmnm（0,1,,2nm）（1.10）我们将这些系数带入（1.3）中，并把此时的1y记作()nPx，可得：220(22)!()(1)2!()!(2)!nmnmnnmnmpxxmnmnm（1.11）这就是当n为正偶数时勒让德多项式。②当n为正奇数时2y退化为n次多项式，我们把2y记作()nPx，同理可得：1220(22)!()(1)2!()!(2)!nmnmnnmnmpxxmnmnm（1.12）数学物理课件第3页共6页把（1.11）和（1.12）写成统一的形式，得[]220(22)!()(1)2!()!(2)!nmnmnnmnmpxxmnmnm（1.13）其中[]2n表示2n的整数部分由上述讨论可知，当n为非负整数时，1y和2y中有一个是n阶勒让德多项式，而另一个是无穷级数，记作()nQx，称为第二类勒让德函数，此时方程（1.1）通解为：12()()nnycPxcQx（1.14）特别当0,1,2,3,4,5n时，由（1.11）和（1.12）式得：0()1Px1()Pxx221()(31)2Pxx331()(53)2Pxxx4241()(35303)8Pxxx5351()(637015)8Pxxxx它们的图形如下：数学物理课件第4页共6页二．勒让德多项式的性质首先介绍一下勒让德多项式的母函数：试将函数122(,)(12)xzxzz（1.15）展开成z的幂级数0(,)nnnxzAz（1.16）可以证明(,)xz级数展开式中nz的系数恰好是勒让德多项式，最终得到1220(,)(12)()nnnxzxzzPxz（1.17）因此称(,)xz为勒让德多项式的母函数。1．()(1)()nnnPxPx（1.18）将式（1.17）中的x以x代入，z以z代入，立即得到此结果。此式说明()nPx的奇偶性由n而定，当n为偶数时，()nPx为偶函数，当n为奇数时，()nPx为奇函数。2．(1)1,(1)(1)nnnPP（1.19）将1x代入式（1.17），得到10(1)(1)nnnzPz而10(1)nnzz所以(1)1nP由上式和（1.18）立即得到(1)(1)(1)nnnPP3．勒让德多项式的递推公式：11(1)()(21)()()0nnnnPxnxPxnPx（1.20）'''11()()2()()nnnnPxPxxPxPx（1.21）数学物理课件第5页共6页''1()()(1)()nnnPxxPxnPx（1.22）''1()()()nnnxPxPxnPx（1.23）''11()()(21)()nnnPxPxnPx（1.24）现在我们来证明（1.20）及其它的导数公式，将母函数(,)xz分别对,xz微分，得到3222(12)12zzxzzxxzz3222()(12)12xzxzxzzzxzz得到下列两个恒等式2(12)0xzzzx（1.25）2(12)()0xzzzxz（1.26）又从式（1.25）和（1.26）得到()0zzxzx（1.27）将（1.17）两端分别对,xz微分，得到'0()nnnPxzx（1.28）11()nnnnPxzz（1.29）然后将它们带入（1.27），得到''111()[()()]nnnnnnnxPxznPxPxz于是得到()nPx与导数之间的关系式''1()()()nnnxPxPxnPx其它的导数公式这里不在一一证明。将式（1.17）和（1.29）代入式（1.26）中，得到数学物理课件第6页共6页110[(1)()(21)()()]0nnnnnPxnxPxnPx上面级数的各项系数都等于零，因此，最终得到11(1)()(21)()()0nnnnPxnxPxnPx这就是递推公式，由0()Px，1()Px可以推出2()Px，由1()Px，2()Px可以推出3()Px，…..4．勒让德多项式的正交性：勒让德多项式在[-1,1]上正交，即112()()21nmPxPxdxn当nm时（1.30）11()()0nmPxPxdx当nm时（1.31）勒让德多项式正交性的证明比较繁琐，这里不再证明。