勒让德多项式及性质

第三篇：特殊函数第二章勒让德多项式主要内容：勒让德多项式（轴对称问题）及性质连带勒让德函数（转动对称问题）球函数（一般问题）在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程0sin1)(sinsin1)(12222222ururrurrr222dd2(1)0ddRRrrllRrr在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程和球谐函数方程22211sin(1)0sinsinYYllY122222(,)()(),''0(1)0()(2)()(2),()cossin()cossin,0,1,2,3,...(,)(cossin)(),()(1)YCCCmAmBmAmBmmYAmBmdx继续分离变数，令得到关于的方程：时，球函数其中需从连带勒让德方程解出:2222220000110112[(1)]0cos10(1)2(1)0(),,()()()kkkdmxllxdxdxxddmlxxlldxdxayxlyaxayxayxayxl，时，成为阶勒让德方程：为偶数时用常点邻域令，为奇数时的级数解法同样若记arccosx()()yxx则上述方程也可写为下列形式的l阶勒让德方程2dd[(1)](1)0ddyxllyxx0()cossin(),,()()()()(),z(,)()~mAmBmAurRrARrururruruYA轴对称球函数现在注意：时，常数（）（）与无关，只与，有关。意味着当，一定时，可任意改变，不变。即在以，构成的锥体上各点的值相同。问题关于极轴（轴）对称。球函数称为轴对称球函数。xyzr100111(1),0,1,2,3...,()()()xxyllllyxayxayxl前面已学：勒让德方程在有自然边界条件：有限，从而构成本征值问题，本征值是在为整数条件下，勒让德方程的两个线性独立特解之一退化为次多项式。20021112()()~()()21()()~().()(,)()()()kkllllkayxxyxlkayxxlPxPxYAAyxPx为偶数:为奇数:将它们分别乘上适当的常数，叫做阶勒让德多项式，记作轴对称情况下的球函数。[]§2·1勒让德多项式•勒让德方程的求解•勒让德多项式•勒让德多项式的性质、母函数和递推公式•勒让德多项式的应用2(24)!(1)2!2(2)!(4)!llll20202422(2)!,()2(!)(2)(1)()(1)......,,(1)(1)(2)!(2)(21)2(21)2(!llkllklkkklnllllllxlaPxaxlkkaaklklaaaaalllllaalll＋(2)勒让德多项式通常约定：用适当的常数乘以本征函数使最高次幂项的系数为:（相邻两项相差2次）利用系数递推公式：推算出其他系数：2(1)(2)(21)(22)!)2(21)2(1)!(1)(2)!llllllllllll1(22)!(22)!(1)2(1)!(2)!2(1)!(2)!llllllll242(2)(3)(2)(3)(22)(23)(24)!(1)4(23)22!(23)2(1)(2)(3)(4)!(2)!llllllllllaalllllll362(26)!(22)!(1),...(1)3!2(3)!(6)!!2()!(2)!nllnllllnaallnlnln[/2][/2]22200[/2]20(22)!()(1)!2()!(2)!(22)!()(1),!2()!(2)!lllnnlnllnlnnlklkllklnyPxaxxnlnlnnklkPxxlklklk勒让德多项式:将指标按降幂排列的次多项式。一、勒让德方程的解：我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解()lPx为[]220(22)!P()(1)2!()!(2)!lklkllklkxxklklk式中,22[](0,1,2,)12,212llnlnlln上式具有多项式的形式，故称P()lx为l阶勒让德多项式．勒让德多项式也称为第一类勒让德函数．二、勒让德多项式（注意到cos)x1、前几个勒让德多项式:0P()1x1P()cosxx2211P()(31)(3cos21)24xx3311P()(53)(5cos33cos)28xxx42411P()(35303)(35cos420cos29)864xxx53511P()(637015)(63cos535cos330cos)8128xxxx642611P()(2313151055)(231cos6126cos4105cos250)16512xxxx勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真)得到图11.12、勒让德多项式的微分表示21dP()(1)2!dlllllxxlx上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues）表示式．3、勒让德多项式的积分表示根据柯西积分公式的高阶导数，并取正方向积分有()1!()()d2πi()llClffzz容易证明微分表示也可表示为环路积分形式2111(1)P()d2πi2()llllCxxxC为z平面上围绕xz并取正方向．这叫作勒让德多项式的施列夫利积分表示式．点的任一闭合回路，还可以进一步表为下述拉普拉斯积分．π201P()(i1cos)dπllxxx§2·2勒让德多项式的性质21P(0)0nP(1)1lP(1)(1)llP()1lx)11(x2(2)!(21)!!P(0)(1)(1)2!2!(2)!!nnnnnnnnnn奇偶性：根据勒让德多项式的定义式，作代换(),xx容易得到P()(1)P()lllxx即当l为偶数时，勒让德多项式P()lx为偶函数，为奇数时为奇函数lP()lx式中记号(2)!!(2)(22)(24)642nnnn而(21)!!(21)(23)(25)531nnnn因此，(2)!(2)!!(21)!!nnn一、勒让德多项式的正交关系)(0)()(11lkdxxPxPlk)(0sin)(cos)(cos0lkdPPlk两式称为正交性．dxxPNll1122)]([)(xPl1222lNl122lNl代入的微分式得：模为：二、勒让德多项式的模：三、广义傅立叶级数)(xPl2,1,0l由前面的分析可以看出，勒让德多项式为本征函数族，（可以作为广义傅立叶级数的基。)(xf]1,1[)(f],0[0)()(lllxPfxf0)(cos)(lllPff若函数定义在区间上，或定义在区间上，则或）是正交的、完备的。lfdxxPxfldxxPxfNlll11112)()(212)()(1lfdPfllsin)(cos)(2120其中系数：或例题一：以勒让德多项式为基本函数族，将函数3)(xxf在区间（-1，+1）上进行广义傅立叶展开。lfdxxPxll113)(2120f08121114113xdxx1f5310323115113xdxxx2f0)2123(251123dxxx3f最高幂）(52)2325(271133dxxxx)(52)(53)()(3103xPxPxPfxxflll另一解法：)(52)(5352)232325(3133xPxPxxxxnxxf)(lnlnlnlnlnnllndxxPxlflnl偶数，且奇数!)!1()!(!)!1(!)12(0)(21211推广：432)(3xxxf0,1,3n3,1,0l0f5211f543f)(54)(521)(44323103xPxPxPxx例题2、以勒让德多项式为基本函数族，将函数在区间（-1，+1）上进行广义傅立叶展开。4四、解方程：要选取对称轴为球坐标的极轴，无关。与为常数，时，uAmmm00rr2cos0rru01)(cos)1(),(llllllprBrAru00rur0lB0)(cos),(llllprAru例题3、在球的内部,求解u=0,使得满足边界条件解：m=0通解为：有限值通解为)(32)(31cos)(cos202200xpxpxprAllll310A202132rA0lA)2.0(l)(cos13231),(2220prrru0rcos0u例题4：半径为的半球，其球面上温度为，底面绝热，试求这个半球里的稳定温度分布。选取球心为极点，Z轴为极轴，Z轴为对称轴，与u无关。ZXYO不是直角坐标或xxuuxuuuuxrr0200cos002000对定解问题解析延拓到整个球形区域x=0上满足第二类边界条件，是关于Z轴对称的。所以边界条件应进行偶延拓。2cos20cos000uuurr0110000xxuxxuurr或01)(cos)1(),(llllllPrBrAru00lrBu有界0)(cos),(llllPrAru通解为：对于球的内部：代入边界条件得：xuxPrAllll000)(xu0)()(00xPfxuxflll展开为广义傅立叶级数。lfdPuldxxPxflll11011)(212)()(212012nf012!)!22)(12(!)!12)(14()1(unnnnfnn0021uf可以导出：0021uA012nA01202!)!22)(12(!)!12)(14()1(unnnnrAnnn)(!)!22)(12(!)!12)(14()1(21),(22020100xPrrunnnnurunnnnn比较系数得：0E0r0E与u例题5、在匀强电场中，放入一均匀介质球（原来不带电），场强为，球的半径为，介电常数为，试求解介质球内外的场强。解：选取球心为极点，极点，平行于即：Z轴为对称轴，由于介质球的极化，球面上产生了束缚电荷。的直线为Z轴。无关。uEEuu场强在球面上不连续。在球面上无意义。所以，球内外电势要通过衔接条件连接。内u)(000rruur有限值内内)(cos0llllPrAu内外u)(cos000rrrEuur外外1、设球内电势为：，满足：2、设球外电势为：，满足：)(coscos)(cos110001rPErEPrCrrrllllll时，比较系数得：)(cos1)(cos)1,0(01010001lllllPrDrPECulCEC外00rrrruu外内D000000rrrrruruuED外内3、衔接条件：①