大高考2017版高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数第五节对数与对数函数课件理

第五节对数与对数函数知识点一对数及其运算1.对数的定义如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的常用关系式①对数恒等式：alogaN＝＝(a0且a≠1，N0)；换底公式：logab＝logcblogca(b0，a、c均大于0且不等于1).N3.对数的运算法则②logab＝1logba，推广logab·logbc·logcd＝(d0，a、b、c均大于0且不等于1).logad如果a0，且a≠1，M0，N0，那么①loga(M·N)＝；②logaMN＝；③logaMn＝(n∈R)；④logamMn＝(n∈R，m≠0).logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaMloganMm►一个重要应用：指数式与对数式互化.(1)若2x＝3，则x＝________.解析由2x＝3，得x＝log23.答案log23(2)若12log3x＝2，则x＝________.解析由12log3x＝2得log3x＝2，所以x＝32，又x＞0，解得x＝81.答案81►两个常用结论：对数恒等式，换底公式.解析原式＝3log39＝9＝3.答案3(4)log29·log34＝________.解析原式＝lg9lg2·lg4lg3＝2lg3lg2·2lg2lg3＝4.答案4(3)312log39＝________.►两个易混公式：logaMN，logaMn.(5)[loga(MN)＝logaM＋logaN易混用为loga(MN)＝logaM·logaN]若logm2＋logm5＝2，则m＝________.解析logm2＋logm5＝logm(2×5)＝logm10＝2，∴m2＝10，∴m＝10.答案10(6)[logaMn＝nlogaM易忽视M＞0条件]log5－127－2＝________.解析原式＝log5－133－2＝log5(－3)6＝log536＝6log53.答案6log53知识点二对数函数的图象与性质1.图象与性质a10a1图象性质定义域：值域：过定点，即x＝时，y＝当x1时，当0x1时，当x1时，当0x1时，在(0，＋∞)上是在(0，＋∞)上是(0，＋∞)R(1，0)10y0y0y0y0增函数减函数2.反函数的概念指数函数y＝ax(a0且a≠1)与对数函数y＝logax(a0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线对称.y＝x►两个易错点：定义域，单调性应用.(7)[当对数底数含自变量时，易把底数取值范围忽略]函数y＝logxx－12的定义域为________.解析由题意得x－12＞0，x＞0且x≠1，解得x＞12且x≠1.所以函数定义域为x|x＞12且x≠1.答案x|x＞12且x≠1(8)[解对数不等式时，易忽略函数单调性]不等式12x≥3的解集为________.解析由12x≥3，知log1212x≤log123，即x≤log123.答案(－∞，log123]►一个函数关系：互为反函数.(9)若函数y＝f(x)是函数y＝3x的反函数，则f12＝________.解析由反函数定义知f(x)＝log3x，所以f12＝log312＝－log32.答案－log32对数式的化简与求值解题方法对数运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.【例1】(1)(2016·山东枣庄一中月考)化简2log25＋lg5lg2＋lg22－lg2的结果为________.(2)(2016·河南南阳一中模拟)若实数a，b，m满足2a＝5b＝m，且2a＋1b＝2，则m的值为________.解析(1)2log25＝2log252＝25，lg5·lg2＋lg22－lg2＝lg2(lg5＋lg2)－lg2＝0，即原式＝25.(2)因为2a＝5b＝m，所以a＝log2m，b＝log5m，又2a＋1b＝2，所以2log2m＋1log5m＝2，即2logm2＋logm5＝2，解得m＝20.答案(1)25(2)20[点评]在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式.突破对数函数的图象及其应用求解方法对数函数图象的特点(1)对数函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，1a，－1，函数图象只在第一、四象限.(2)在直线x＝1的右侧，当a1时，底数越大，图象越靠近x轴；当0a1时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”.利用对数函数的图象可求解的两类热点问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对称型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.【例2】(1)函数f(x)＝2lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为()A.3B.2C.1D.0(2)(2015·山东菏泽二模)已知函数f(x)＝3x（x≤1），log13x（x＞1）则y＝f(2－x)的大致图象是()解析(1)在同一直角坐标系下画出函数f(x)＝2lnx与函数g(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1的图象，如图所示.∵f(2)＝2ln2g(2)＝1，∴f(x)与g(x)的图象的交点个数为2，故选B.答案(1)B(2)A(2)∵函数f(x)＝3x（x≤1），log13x（x＞1），则y＝f(2－x)＝32－x（x≥1），log13（2－x）（x＜1）.故函数f(2－x)是以x＝1为界的分段函数，故选A.[点评]第(1)问的关键是画出f(x)与g(x)的图象，根据特殊点对应的函数值，判断两图象的位置关系，从而判断交点个数；第(2)问的关键是求出f(2－x)的解析式，确定图象分界点.突破对数函数的性质及应用的解题方略比较对数式的大小的常见情形及方法(1)当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；(2)当底数不同、真数相同时，可转化为同底(利用换底公式)或利用函数的图象，数形结合解决；(3)当底数不同、真数不同时，可利用中间值(如“0”或“1”)进行比较.利用对数函数的性质研究对数型函数性质，要注意以下四点：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.【例3】(1)(2015·北京东城二模)设a＝log4π，b＝log14π，c＝π4，则a，b，c的大小关系是()A.a＞c＞bB.b＞c＞aC.c＞b＞aD.c＞a＞b(2)(2015·山东青岛二模)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(－x)，当x∈0，12时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(x)在区间1，32内是()A.减函数且f(x)＞0B.减函数且f(x)＜0C.增函数且f(x)＞0D.增函数且f(x)＜0答案(1)D(2)B解析(1)∵0＜a＝log4π＜1，b＝log14π＝－log4π＜0，c＝π4＞1，∴c＞a＞b，故选D.(2)设x∈1，32，则x－1∈0，12.此时f(x)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)＝－log2(x－1＋1)＝－log2x，故选B.[点评]第(1)问关键是利用对数函数的性质确定各对数值的符号.第(2)问关键求出x∈1，32时的解析式，其中，条件f(x＋1)＝(－x)的利用是难点.数形结合思想在解决恒成立问题中的应用策略数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数助形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.【示例】当0＜x≤12时，4x＜logax，则a的取值范围是()A.0，22B.22，1C.(1，2)D.(2，2)解析由0＜x≤12且logax＞4x＞0知0＜a＜1.在同一坐标系中画出函数y＝4x0＜x≤12和y＝logax0＜a＜1，0＜x≤12的图象，如图所示，由图象知，要使当0＜x≤12时，4x＜logax，只需loga12＞412，即loga12＞logaa2，∴a2＞12，又0＜a＜1，∴22＜a＜1.答案B[方法点评](1)应用数形结合的思想方法解决此类问题的关键是正确画出相关函数在给定区间上的图象，使之符合要求，然后根据图象列出不等式(组)进行求解.(2)应用数形结合的思想方法求参数的值或范围时要注意参数的几何意义对函数图象的影响，变动函数的图象，观察参数值的变化以求其范围.