优化建模与LINGO第06章 经济与金融中的优化问题

优化建模优化建模与LINDO/LINGO软件第6章经济与金融中的优化问题优化建模内容提要1.经济均衡问题及其应用2.投资组合问题3.市场营销问题优化建模1.经济均衡问题及其应用优化建模单一生产商、单一消费者的情形－例6.1:市场清算价格市场上有一个生产商（甲）和一个消费者（乙）。对某种产品，他们在不同价格下的供应能力和需求能力为:生产商（甲）消费者（乙）单价（万元/吨）供应能力（吨）单价（元/吨）需求能力（吨）1292244.543636482.258市场的清算价格应该是多少?优化建模甲以1、2、3、4万元的单价售出的产品数量分别是A1，A２，A３，A４（吨）供需平衡：A1+A２+A３+A４=x1+x2+x3+x4供应限制：A1，A２，A３，A４≤2决策变量目标函数约束条件建立线性规划模型(LP)乙以9、4.5、3、2.25万元的单价购买的产品数量分别是x1，x2，x3，x4（吨）非负限制：A1,A２,A３,A４,x1,x2,x3,x4≥0消费限制：x1，x2，x3，x4≤29x1+4.5x2+3x3+2.5x4-A1-2A２-3A３-4A４优化建模模型求解用LINDO求解，最优解:A1=A2=x1=x2=2,A3=A4=x3=x4=0思考:供需平衡约束的对偶价格含义如果右端项增加一个很小的量，引起的经销商的损失就是这个小量的3倍。清算价格:3万元供需平衡约束目前的右端项为0，影子价格为-3。结果解释优化建模模型扩展假设甲的供应能力随价格的变化情况分为K段，即价格位于区间[pk,pk+1)时，供应量最多为ck(k=1,2,…,K;0p1p2…pK+1=∞;0=c0c1c2…cK)，我们把这个函数关系称为供应函数（这里它是一个阶梯函数）假设乙的消费能力随价格的变化情况分为L段，即价格位于区间(qk+1,qk]时，消费量最多为dk,(k=1,2,…,L;q1…qLqL+1=0;0=d0d1d2…dL)，我们把这个函数关系称为需求函数（这里它也是一个阶梯函数）优化建模建立线性规划模型(LP)设甲以pk的价格售出的产品数量为Ak(k=1,2,…,K)，乙以qk的价格购入的产品数量为Xk((k=1,2,…,L）。记c0=d0=0,...,M,,kddX,...,L,,kccAXAtsApXqkkkkkkLkkKkkKkkLkkk2102100..Max111111优化建模两个生产商、两个消费者的情形－例6.2:市场清算价格市场上有两个生产商（甲和丙）和两个消费者（乙和丁）。他们在不同价格下的供应能力和需求能力为:生产商（甲）生产商（丙）消费者（乙）消费者（丁）单价（万元/吨）供应能力（吨）单价（万元/吨）供应能力（吨）单价（元/吨）需求能力（吨）单价（元/吨）需求能力（吨）12219215124444.548336683656488122.258310优化建模甲销售到丁的运输成本是1.5（万元）/吨丙销售到乙的运输成本是2（万元）/吨甲、乙之间，丙、丁之间没有运输成本市场的清算价格应该是多少？甲和丙分别生产多少？乙和丁分别购买多少？目标关键是考虑这些运输成本认为甲乙是一个市场（地区或国家），而丙丁是另一个市场（地区或国家）。关税成本的存在，两个市场的清算价可能是不同的。问题分析优化建模甲以1、2、3、4万元的单价售出的产品数量分别是A1，A２，A３，A４（吨）决策变量目标函数乙以9、4.5、3、2.25万元的单价购买的产品数量分别是x1，x2，x3，x4（吨）9x1+4.5x2+3x3+2.5x4+15y1+8y2+5y3+3y4-2BX-1.5AY-A1-2A２-3A３-4A４-2B1-4B２-6B３-8B４丙以2、4、6、8万元的单价售出的产品数量分别是B1，B２，B３，B４（吨）丁以15、8、5、3万元的单价购买的产品数量分别是y1，y2，y3，y4（吨）虚拟经销商的总利润最大建立线性规划模型(LP)优化建模供需平衡：AX+AY=A1+A２+A３+A４BX+BY=B1+B２+B３+B４AX+BX=x1+x2+x3+x4AY+BY=y1+y2+y3+y4约束条件BYBXAXAY甲的产量：A1，A2，A3，A4丙的产量：B1，B2，B3，B4乙的销量：x1，x2，x3，x4丁的产量：y1，y2，y3，y4供应限制消费限制非负限制决策变量之间关系优化建模结果解释最优解为A1=A2=A3=x1=x2=2,B1=1，B2=3，y1=1，y2=3，y3=3，AX=BY=4，A4=B3=B4=x3=x4=y4=BY=0.AY=2，也即甲将向丁销售2吨产品，丙不会向乙销售如何才能确定清算价格呢？针对甲的供需平衡条件，目前的右端项为0，影子价格为-3.5，意思就是说如果右端项增加一个很小的量，引起的经销商的损失就是这个小量的3.5倍。可见，此时甲的销售单价就是3万元，这就是甲面对的清算价格！生产商丙面对的清算价格为5。则乙面对的清算价格就是是3.5，丁面对的清算价格就是5，因为甲乙位于同一个市场，而丙丁也位于同一个市场。这两个市场的清算价之差正好等于从甲、乙到丙、丁的运输成本（1.5）。优化建模拍卖与投标问题-例6.3:艺术品拍卖问题招标项目类型12345招标项目的数量12334投标价格投标人192863投标人267915投标人378634投标人454321假设每个投标人对每类艺术品最多只能购买1件每个投标人购买的艺术品的总数不能超过3件问哪些艺术品能够卖出去？卖给谁？每类物品的清算价应该是多少？优化建模假设有一个中间商希望最大化自己的例润问题分析与假设设有N类物品需要拍卖，第j类物品的数量为Sj（j=1,2，…,N）；有M个投标者，投标者i（i=1，2，…,M）对第j类物品的投标价格为bij（假设非负）。投标者i对每类物品最多购买一件，且总件数不能超过ci。实际中可以通过对所有投标的报价进行排序来解决优化建模目标：确定第j类物品的清算价格pj，它应当满足下列假设条件：•成交的第j类物品的数量不超过Sj（j=1，2，…,N）；•对第j类物品的报价低于pj的投标人将不能获得第j类物品；•如果成交的第j类物品的数量少于Sj（j=1，2，…,N），可以认为pj=0（除非拍卖方另外指定一个最低的保护价）；•对第j类物品的报价高于pj的投标人有权获得第j类物品，但如果他有权获得的物品超过3件，那么假设他总是希望使自己的满意度最大（满意度可以用他的报价与市场清算价之差来衡量）。优化建模线性规划模型(LP)用0-1变量xij表示是否分配一件第j类物品给投标者i，即xij=1表示分配，而xij=0表示不分配。目标函数虚拟的中间商的总利润最大,即MiNjijijxb11max约束条件(1)每类物品的数量限制,...,N,,jSxjMiij211(2)每个投标人所能分到的物品的数量限制,...,M,,icxjNjij211优化建模MODEL:TITLE拍卖与投标;SETS:!S,C,B,X的含义就是上面建模时给出的定义;AUCTION:S;BIDDER:C;LINK(BIDDER,AUCTION):B,X;ENDSETSDATA:!通过文本文件输入数据;AUCTION=@FILE(AUCTION.TXT);BIDDER=@FILE(AUCTION.TXT);S=@FILE(AUCTION.TXT);C=@FILE(AUCTION.TXT);B=@FILE(AUCTION.TXT);ENDDATAMAX=@SUM(LINK:B*X);!目标函数;@FOR(AUCTION(J):!拍卖数量限制[AUC_LIM]@SUM(BIDDER(I):X(I,J))S(J));@FOR(BIDDER(I):!投标数量限制;[BID_LIM]@SUM(AUCTION(J):X(I,J))C(I));@FOR(LINK:@BIN(X));!0-1变量限制;ENDLINGO模型为优化建模最优解为：投标人1得到艺术品1、3、4，投标人2、3都得到艺术品2、3、5，投标人4得到艺术品4、5.结果，第4、5类艺术品各剩下1件没有成交。如何才能确定清算价格呢？约束“AUC_LIM”是针对每类艺术品的数量限制的，对应的影子价格就是其清算价格：即5类艺术品的清算价格分别是5、5、3、0、0。第4、5类艺术品有剩余，所以清算价格为0推广:大学生的选课问题优化建模交通流均衡问题－例6.4:公路网汽车分布居民区工作区BCDA每天上班时间有6千辆小汽车要从居民区A前往工作区D道路ABACBCBDCD行驶时间（分钟）流量≤220521252202流量≤330531353303流量≤440541454405条道路上每辆汽车的平均行驶时间和汽车流量之间的关系见下表这些汽车将如何在每条道路上分布？优化建模问题分析交通流的规律:每辆汽车都将选择使自己从A到D运行时间最少的路线必然的结果:无论走哪条路线从A到D，最终花费的时间应该是一样的，因为花费时间较长的那条线路上的部分汽车总会改变自己的路线，以缩短自己的行驶时间汽车在每条道路上的分布将达到均衡状态决策变量共有20个决策变量Y(j)和X(i,j)，(i=2，3，4；j=AB，AC，BC，BD，CD）如Y（AB）表示道路AB上的总的流量，进一步分解成三部分：•道路AB上的流量不超过2时的流量，用X（2，AB）表示；•AB上的流量超过2但不超过3时，超过2的流量部分用X（3，AB）表示；•AB上的流量超过3但不超过4时，超过3的流量部分用X（4，AB）表示。线性规划模型(LP)优化建模目标函数约束条件总的堵塞时间最小用T(i，j)表示流量X(i，j)对应的堵塞时间432,,ijX(i,j)T(i,j)*为道路并不是总堵塞时间T(i，j)关于i是单调增加的，即不断增加的车流只会使以前的堵塞加剧而不可能使以前的堵塞减缓。故关于决策变量X(i，j)而言，与希望优化的目标的单调性一致•每条道路上的总流量Y等于该道路上的分流量X的和•道路交汇处A、B、C、D(称为节点)的流量守恒（即流入量等于流出量）•决策变量的上限限制，如X(2，AB)≤2，X(3，AB)≤1，X（4，AB）≤1等优化建模LINGO模型如下：MODEL:TITLE交通流均衡;SETS:ROAD/AB,AC,BC,BD,CD/:Y;CAR/2,3,4/;LINK(CAR,ROAD):T,X;ENDSETSDATA:!行驶时间;T=20,52,12,52,2030,53,13,53,3040,54,14,54,40;ENDDATA[OBJ]MIN=@SUM(LINK:T*X);!目标函数;优化建模!四个节点的流量守恒条件;[NODE_A]Y(@INDEX(AB))+Y(@INDEX(AC))=6;[NODE_B]Y(@INDEX(AB))=Y(@INDEX(BC))+Y(@INDEX(BD));[NODE_C]Y(@INDEX(AC))+Y(@INDEX(BC))=Y(@INDEX(CD));[NODE_D]Y(@INDEX(BD))+Y(@INDEX(CD))=6;!每条道路上的总流量Y等于该道路上的分流量X的和;@FOR(ROAD(I):[ROAD_LIM]@SUM(CAR(J):X(J,I))=Y(I));!每条道路的分流量X的上下界设定;@FOR(LINK(I,J)|I#EQ#1:@BND(0,X(I,J),2));@FOR(LINK(I,J)|I#GT#1:@BND(0,X(I,J),1));END优化建模均衡时道路AB、AC、BC、BD、CD的流量分别是4、2、2、2、4（千辆车）。注意这时得到的目标函数452并不是真正的总运行和堵塞时间真正运行时间是：每辆车通过AB、AC、BC、BD、CD道路分别需要40、52、12、52、40分钟，也就是三条路线ABD、ACD、ABCD上都需要92分钟，所以这也说明交通流确实达到了均衡。于是，均衡时真正的总运行时间应该是6*92=552（千辆