优化探究-教师用书 第2章-第7节函数的图象

第七节函数的图象会运用函数图象理解和研究函数的性质．授课提示：对应学生用书第28页[知识梳理]1．描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：首先：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；最后：描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换y＝f(x)――――――――――→a＞0，右移a个单位a0，左移|a|个单位y＝f(x－a)；y＝f(x)――――――――――→b＞0，上移b个单位b＜0，下移|b|个单位y＝f(x)＋b.(2)伸缩变换y＝f(x)＝y＝f(ωx)；y＝f(x)―――――――――――――→A＞1，伸为原来的A倍0＜A＜1，缩为原来的A倍y＝Af(x)．(3)对称变换y＝f(x)―――――→关于x轴对称y＝－f(x)；y＝f(x)―――――→关于y轴对称y＝f(－x)；y＝f(x)――→关于原点对称y＝－f(－x)．(4)翻折变换y＝f(x)―――――――――――――→去掉y轴左边图，保留y轴右边图将y轴右边的图象翻折到左边去y＝f(|x|)；y＝f(x)―――――――→留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f(x)|.[自主诊断]1．函数y＝1－1x－1的图象是()解析：将y＝－1x的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y＝1－1x－1的图象．答案：B2．函数f(x)＝ax＋bx≤0，logcx＋19x＞0的图象如图所示，则a＋b＋c＝()A.43B．73C．4D．133解析：将点(0,2)代入y＝logc(x＋19)，得2＝logc19，解得c＝13.再将点(0,2)和(－1,0)分别代入y＝ax＋b，解得a＝2，b＝2，∴a＋b＋c＝133，选D.答案：D3．已知a＞0，且a≠1，函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图象可能是()解析：根据直线y＝x＋a在y轴上的截距的大小与1的关系，结合指数函数、对数函数的单调性可知答案为选项C.答案：C4．将曲线C先向左平移13个单位，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数解析式为y＝f(x＋13)，则曲线C的解析式为________．解析：逆向变化即可，先把函数y＝f(x＋13)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得y＝f(2x＋13)的图象，再向右平移13个单位，得y＝f[2(x－13)＋13]＝f(2x－13)的图象．答案：y＝f(2x－13)根据上面所做题目，请填写诊断评价诊错题题号错因(在相应错因中画√)知识性方法性运算性审题性断评价※用自己的方式诊断记录减少失误从此不再出错授课提示：对应学生用书第29页考点一作图1．分别画出下列函数的图象：(1)y＝|lg(x－1)|；(2)y＝2x＋1－1；(3)y＝x2－|x|－2.解析：(1)首先作出y＝lgx的图象C1，然后将C1向右平移1个单位，得到y＝lg(x－1)的图象C2，再把C2在x轴下方的图象作关于x轴对称的图象，即为所求图象C3：y＝|lg(x－1)|.如图1所示(实线部分)．(2)y＝2x＋1－1的图象可由y＝2x的图象向左平移1个单位，得y＝2x＋1的图象，再向下平移一个单位得到，如图2所示．(3)y＝x2－|x|－2＝x2－x－2x≥0，x2＋x－2x＜0，其图象如图3所示．函数图象作法的2个关键点(1)常见的几种函数图象如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋mx(m＞0)的函数是图象变换的基础．(2)掌握平移交换、伸缩变换、对称变换等常用方法技巧，可以帮助我们简化作图过程．[即时应用]1．分别画出下列函数的图象：(1)y＝|x2－4x＋3|；(2)y＝2x＋1x＋1；(3)y＝10|lgx|.解析：(1)先画函数y＝x2－4x＋3的图象，再将其x轴下方的图象翻折到x轴上方，如图1.(2)y＝2x＋1x＋1＝2x＋1－1x＋1＝2－1x＋1.可由函数y＝－1x向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图2.(3)y＝10|lgx|＝x，x≥1，1x，0＜x＜1，如图3.考点二函数图象的辨识2．(1)(2016·高考浙江卷)函数y＝sinx2的图象是()解析：根据函数的奇偶性及特值法进行判断．∵y＝sin(－x)2＝sinx2，∴函数为偶函数，可排除A项和C项；当x＝π2时，sinx2＝sinπ24≠1，排除B项，故选D.答案：D(2)如图，动点P在正方体ABCD­A1B1C1D1的体对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体的表面相交于M，N.设BP＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是()解析：设正方体的棱长为1，显然，当P移动到体对角线BD1的中点O时，函数y＝MN＝AC＝2取得唯一的最大值，所以排除A、C；当P在BO上时，分别过M、N、P作底面的垂线，垂足分别为M1、N1、P1，则y＝MN＝M1N1＝2BP1＝2xcos∠D1BD＝263x，是一次函数，所以排除D.故选B.答案：B函数图象辨识的5个要点(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；(2)从函数的值域，判断图象的上下位置；(3)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．[即时应用]2．(1)(2017·日照一中模拟)函数f(x)＝(1－cosx)·sinx在[－π，π]的图象大致为()(2)(2017·杭州模拟)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是()A．f(x)＝x2－2ln|x|B．f(x)＝x2－ln|x|C．f(x)＝|x|－2ln|x|D．f(x)＝|x|－ln|x|解析：(1)因为f(－x)＝[1－cos(－x)]sin(－x)＝－(1－cosx)·sinx＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除B；当x∈(0，π)时，1－cosx＞0，sinx＞0，所以f(x)＞0，排除A；又函数f(x)的导函数f′(x)＝sin2x－cos2x＋cosx，所以f′(0)＝0，排除D，故选C.(2)由函数图象可得，函数f(x)为偶函数，且x＞0时，函数f(x)的单调性为先减后增，最小值为正，极小值点小于1，分别对选项中各个函数求导，并求其导函数等于0的正根，可分别得1，22，2,1，由此可得仅函数f(x)＝x2－ln|x|符合条件．答案：(1)C(2)B考点三函数图象的应用函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：(1)确定方程根的个数．(2)求参数的取值范围．(3)求不等式的解集．(4)研究函数的性质．命题点1确定方程根的个数3．(2017·文登一中模拟)已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lgx|的图象的交点共有()A．10个B．9个C．8个D．7个解析：根据f(x)的性质及f(x)在[－1,1]上的解析式可作图如下：可验证当x＝10时，y＝|lg10|＝1；当x＞10时，|lgx|＞1.因此结合图象及数据特点知y＝f(x)与y＝|lgx|的图象交点共有10个．答案：A命题点2求参数的范围4．若当x∈(1,2)时，函数y＝(x－1)2的图象始终在函数y＝logax的图象的下方，求实数a的取值范围．解析：如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝(x－1)2和y＝logax的图象，由于当x∈(1,2)时，函数y＝(x－1)2的图象恒在函数y＝logax的图象的下方，则a＞1loga2≥1，解得1＜a≤2.命题点3求不等式的解集5．(2017·成都模拟)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数且f(1)＝0，求不等式fx－f－xx＜0的解集．解析：f(x)为奇函数，所以不等式fx－f－xx＜0化为fxx＜0，即xf(x)＜0，f(x)的大致图象如图所示．所以xf(x)＜0的解集为(－1,0)∪(0,1)．命题点4研究函数的性质6．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝121－x，则：①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x∈(3,4)时，f(x)＝12x－3.其中所有正确命题的序号是________．解析：由已知条件：f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确；当－1≤x≤0时，0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)＝121＋x，函数y＝f(x)的图象如图所示：当3x4时，－1x－40，f(x)＝f(x－4)＝12x－3，因此②④正确，③不正确．答案：①②④1．研究函数性质时一般要借助于函数图象，体现了数形结合思想．2．有些不等式问题常转化为两函数图象的上、下关系来解决．3．方程解的问题常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题来解决．授课提示：对应学生用书第31页函数的图象主要考查图象的识别与应用，多以选择、填空题为主，难度中档．1．(2016·高考全国Ⅰ卷)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为()解析：利用导数研究函数y＝2x2－e|x|在[0,2]上的图象，利用排除法求解．∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函数，又f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除A，B.设g(x)＝2x2－ex，则g′(x)＝4x－ex.又g′(0)0，g′(2)0，∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.答案：D2．(2016·高考全国Ⅱ卷)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝x＋1x与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则∑mi＝1(xi＋yi)＝()A．0B．mC．2mD．4m解析：先判断两个函数图象的对称性，再根据对称性求和．因为f(－x)＝2－f(x)，所以f(－x)＋f(x)＝2.因为－x＋x2＝0，f－x＋fx2＝1，所以函数y＝f(x)的图象关于点(0,1)对称．函数y＝x＋1x＝1＋1x，故其图象也关于点(0,1)对称．所以函数y＝x＋1x与y＝f(x)图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以∑mi＝1xi＝0，∑mi＝1yi＝2×m2＝m，所以∑mi＝1(xi＋yi)＝m.答案：B3．(2015·高考全国Ⅰ卷)设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝()A．－1B．1C．2D．4解析：设(x，y)是函数y＝f(x)图象上任意一点，它关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)，由y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，可知(－y，－x)在y＝2x＋a的图象上，即－x＝2－y＋a，解得y＝－log2(－x)＋a，所以f(－2)＋f(－4)＝－log22＋a－log24＋a＝1，解得a＝2，选C.答案：C4．(2015·高考全国Ⅱ卷)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点．点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为()解析：由于f(0)＝2，fπ4＝1＋5，fπ2＝22fπ4，故排除选项C、D；当点P在BC上时，f(x)＝BP＋AP＝tanx＋4＋tan2x