ch8 马尔科夫预测方法

第八章马尔科夫预测方法8.1马尔科夫过程的基本概念8.2遍历性定理及其应用8.3马尔科夫预测的应用实例：食堂就餐问题解答解答好消息：食堂改善伙食了！看看一般性的规律吧8.1马尔科夫过程的基本概念如果一个随机过程x（t）在t0的状态已知时，x（tt0）所处的状态与在t0之前的状态无关，这种特性称为无后效性。无后效性的随机过程称为马尔科夫过程安德烈·马尔可夫（A.Markov），1856年6月14日生于梁赞，1922年7月20日卒于圣彼得堡。1874年入圣彼得堡大学，受P.L.切比雪夫思想影响很深。1878年大学毕业，并以《用连分数求微分方程的积分》一文获金质奖章。两年后，取得硕士学位，并任圣彼得堡大学副教授。1884年取得物理-数学博士学位，1886年任该校教授。1896年被选为圣彼得堡科学院院士。1905年被授予功勋教授称号。马尔科夫学术成就简介马尔可夫是彼得堡数学学派的代表人物。以数论和概率论方面的工作著称。在数论方面，他研究了连分数和二次不定式理论，解决了许多难题。在概率论中，他发展了矩法，扩大了大数律和中心极限定理的应用范围。马尔可夫最重要的工作是提出并研究了一种能用数学分析方法研究自然过程的一般图式——马尔可夫链，同时开创了对一种无后效性的随机过程——马尔可夫过程的研究。马尔可夫进行深入研究后指出：对于一个系统，由一个状态转至另一个状态的转换过程中，存在着转移概率，并且这种转移概率可以依据其紧接的前一种状态推算出来，与该系统的原始状态和此次转移前的马尔可夫过程无关。目前，马尔可夫链理论与方法已经被广泛应用于自然科学、工程技术和公用事业中。复杂一些的问题——洗衣粉的市场销售量某地区的市场上销售A、B、C三种品牌的洗衣粉，市场调查表明：购买A品牌的顾客下月60%仍购买A品牌（状态1），即p11=0.6，但有20%的顾客转购买B品牌洗衣粉（状态2），即p12=0.2，还有20%的顾客转购买C品牌洗衣粉（状态3），即p12=0.2，类似的，还有p21=0.1，p22=0.7，p23=0.2，p31=0.1，p32=0.1，p33=0.8。已知每月共销售100万包洗衣粉，而且上月A、B、C三种品牌依次为30万包、40万包、30万包。试预测本月、下月以及自本月起第六个月三种洗衣粉的市场销售量。用矩阵来解吧！解：将上月销售量写成向量形式，得到初始状态向量u（0）=（0.3，0.4，0.3），转移矩阵为8.01.01.02.07.01.02.02.06.0333231232221131211pppppppppP38.037.025.08.01.01.02.07.01.02.02.06.03.04.03.0)0()1(Puu本月428.0347.0225.0)0()1()2(ppuPuu下月495.0303.0202.06)0()5(6(puPuu）第六月普遍性的结论看看三种品牌洗衣粉销量的长远趋势497.0302.0201.07)0()6(7(puPuu）第七月4982.03013.02005.08)0()7(8(puPuu）第八月5.03.02.0)0()((puPuun）照这样下去。使得：存在于是我们猜想uuPcbau),,,(ccbabcbaacbacbacba08.02.2.01.07.02.001.01.06.8.01.01.02.07.01.02.02.06.05.03.02.0),,(cbau解方程组得8.2遍历性定理与平衡态预测A品牌决定争夺市场A品牌看到市场的严峻性，决定采用竞争手段，如果采用市场宣传，可以转变转移概率，使得购买B、C的部分顾客转而购买A。设新的转移概率为：p21=0.6，p22=0.2，p23=0.2，p31=0.2，p32=0.1，p33=0.7。那么A品牌最终的市场占有量为多少？A占33.3%，B占26.7%，C占40.0%。选择投资策略某市场销售A、B、C三种汽车配件，市场月总销量为10万户，不采用市场竞争时的销售状态如表所示。（1）若按市场自由发展，最终趋势将会如何？（2）B种配件计划采用市场竞争措施，有两种方案可供选择：方案①投资50万元做宣传，可是老客户保留到50%，使得A从B争夺的客户下降至40%；②投资60万元做宣传，可分别从A、C争得20%和10%的客户。若每个用户使用B配件，可为B提供100元利润，试问B应该选用何种方案？转移概率本月ABC上月A0.40.30.3B0.60.30.1C0.60.10.33.02.05.01.03.06.01.05.04.03.01.06.01.05.04.03.03.04.03.01.06.01.03.06.03.03.04.0210ppp25.025.025.0),,(cbau不做市场竞争时237.0316.0447.0),,(1B1cbau时用方案126.0385.0489.0),,(2B2cbau时用方案。万元，应采用方案获利万元，方案获利方案2752161