第7章 晶体光学

第4章晶体光学§7.1介电张量一、各项异性介质的介电张量1、各向异性，是指介质的光学性质在不同的方向上有不同的值，或者两两不相等，或者至少有两个彼此不相等。晶体就是一种均匀的、透明的，但却是各向异性的介质。2、张量的基础知识零阶张量(标量)：如果一个物理量在坐标移动时数值不变，则称为标量(T,m,…)张量的基础知识一阶张量(矢量)：如果一个物理量由三个数表示，而且在坐标移动时如同坐标一样变换，则此物理量称为矢量…二阶张量(tensor)：如果一个物理量由九个数表示，而且变换关系为则称此量为二阶张量。3、晶体的介电张量物质方程组和介质的性质有紧密的联系。物质方程组中的电导率、介电常数、磁导率都反映了介质的性质，对不同介质，有不同的σ,ε,μ。在各向同性介质中，σ,ε,μ为确定量，不随空间取向变化。在各向异性介质中，σ,ε,μ可能随空间取向变化，各个场矢量之间，特别是电位移矢量D和电场强度矢量E之间，有更复杂的关系。4、四个假设介质是均匀的；介质是非导体，或者是绝缘体，因此有σ=0，j=0；介质是磁各向同性的，即μ是各向同性的，说明B和H仍然有相同的方向；介质在电学性质上是各向异性的，即介电常数ε是各向异性的。5、各项异性介质中D和E关系D的各个直角分量和E的各个直角分量之间呈线性关系，即：也可以用矩阵来表示0000xxxxxyyxzzyyxxyyyyzziijjjzzxxzyyzzzDEEEDEEEDEDEEE0xxxxxyxzyyxyyyzyzxzyzzzzDEDEDE二、介电张量的对称型1、推导：2、对称张量由上面的推导，可得：即对称张量：能量守恒定律要求介电张量对称，九个分量中只有六个独立，即主轴坐标系考虑xyz空间中的一个二次曲面当常数值为2ωe/ε0，式左是电能密度表达式，电能总为正，真空介电常数也总为正，故上式为一正二次型方程，代表一个椭球。坐标轴选择得和椭球的主轴方向一致的坐标系称为主坐标系，主坐标系中三个坐标轴相应的方向称为主介电轴（主轴）。所以在主轴坐标系中有：D和E的矩阵方程为：电能密度表达式可以表示为：其中，εx，εy，εz称为主节电常数。三主折射率为：222xxyyzzxyz常数0000000xxxyyyzzzDEDEDE222012exxyyzzEEE222xxyyzznnn§7.2单色平面波在晶体中的传播一、相速度和光线速度1、晶体中光波的结构（1）单色平面波的复数形式：（2）波法线方向：指等相面的法线方向，它与等相面或波阵面相垂直。（3）把复数形式带入麦氏方程说明：（4）光波结构H垂直于D，E，k0，s0，并且D，E，k0，s0共面；K垂直于D，s垂直于E；k,s=D,E一般来说，晶体中s0和k0方向不同，即光波能量传播方向和等相位面传播方向不同。这是晶体光学中的一个重要结论。2、能量密度根据能量密度定义有：总电磁能量密度00emnSknccSs若各向同性3、相速度和光线速度相速度是vp是光波等相位面的传播速度，其表示式为光线速度vr是能量的传播速度，其方向为坡印亭矢量的方向，大小等于坡印亭矢量数值除以能量密度，即vp和vr的关系：单色平面波的相速度是其光线速度在波阵面法线方向上的投影00ppcvvkkn00rrSvvss00cosprrvvskv二、菲涅耳公式1、波法线菲涅耳公式在各向异性介质中即(k0·E)并不一定为零，作为公因子前面部分可以略去，得：关于下式的讨论这是一个的二次方程，给定波法线方向，一般有两个不相等的实根。这预示双折射现象的存在，即在晶体中对应于光波的一个传播方向，可以有两种不同的折射率（双折射）或两种不同的光波相速度。进一步分析表明，这两个光波都是线偏振光，且它们的D矢量互相垂直。2n2、光线菲涅耳公式对光线来讲，也有相应的光线菲涅耳公式，光线菲涅耳公式是将光线折射率(或光线速度)与光线方向联系起来的关系式。对偶性规则光线的菲涅耳方程§7.3单轴晶体和双轴晶体的光学性质一、晶体的光学分类1、晶体的光学分类（1）晶体分类依据：按照晶体学中的几何结构分类，也可按照其光学性质分类；（2）几何结构分类（七大类）：立方晶系，六方晶系，四方晶系，三方晶系，正交晶系，单斜晶系和三斜晶系；（3）光学性质分类：各向同性，单轴和双轴晶体2、各类晶体的特点（1）立方晶系的特点光学各向同性晶体，D和E的方向相同，波法线椭球退化成圆球。（2）六方，四方和三方晶系的特点属于单轴晶体，有两个主介电常数相等，可分为正单轴和负单轴晶体，波法线椭球退化成以z轴为旋转轴的旋转椭球。（3）正交，单斜和三斜晶系的特点属于双轴晶体，三个主介电常数不相同，波法线椭球是一般椭球。3、光轴所谓光轴是指这样的方向，当过椭球中心而和该方向垂直的平面与波法线椭球相截时，所截得的交线是一个圆，当光波在晶体中沿着这个特殊方向传播时不发生双折射。单轴有一个光轴方向，双轴两个，各向同性有无数个光轴方向。光轴不是某一条特殊直线，而是一个方向。二、光在各向同性介质中的传播1、波法线的菲涅耳方程因为：所以：沿任意方向传播的光波折射率都等于主折射率n0，或者说，光波折射率与传播方向无关。22000nnnnn2、光波电场结构推导结论E与k0垂直，E平行于D，s0平行于k0。在各向同性介质或立方系晶体中，沿任意方向传播的光波，允许有两个传播速度相同的线性不相关的偏振态(二偏振方向正交)，相应的振动方向不受限制，并不局限于某一特定的方向上。三、光在单轴晶体中的传播1、主折射率（1）折射率no，ne是主折射率，寻常光的折射率等于no，非寻常光的折射率则不一定等于ne，正/负单轴晶体22xyzxyozeoennnnnnn且：正负（2）坐标轴选择波法线方向位于yz平面内，解为：对于一个给定k0，单轴晶体中可有两个不同的折射率。（见表7-2）o（寻常）光：折射率与波法线方向k0无关,；e（非寻常）光：折射率随着k0与Z轴的夹角è而变化。2222/sincosoeooennmnnnn2、光波的偏振方向（1）寻常光波的偏振方向把n=n′=no带入（7-49）式，得：对于o光，D矢量平行于E矢量，两者同时垂直于yz平面，即波法线与光轴组成的平面22222222220cossincos0sincossin0oxoyozoyeznnEnnEnEnEnnE（2）非寻常光波得偏振方向把n=n″带入（7-49）式可见，e光矢量和D矢量的方向一般不一致，因此，e光波法线方向与光线方向一般不一致。o，e光的矢量方向（右图）2222222222220cossincos0sincossin0sincossincosoxoyzyezzyoezynnEnnEnEnEnnEEEnnDD（3）离散角定义：把波法线方向与光线之间的夹角称为离散角。对于单轴晶体，o光的离散角恒等于0，而e光的离散角可以由下式决定：22222tantantantan1t1tan1tnanatanoeoennnn结论：（1）θ=0°或90°，波法线方向平行或垂直于光轴时，α=0，k0与s0，E与D方向重合。（2）对于正单轴晶体，α0，e光的光线较其波法线更靠近光轴，对于负单轴晶体，α0，e光的光线较其波法线远离光轴；（3）当k0与光轴间夹角有tanθ=ne/no时，有最大离散角。四、光在双轴晶体中的传播1、特点，三个主折射率不相等，即εx≠εy≠εz，所以nx≠ny≠nz。2、双轴晶体，通常取εxεyεz。3、双轴晶体的两个光轴都在x0z平面内，与z轴的夹角为：β45°正双轴晶体，β45°为负双轴晶体。4、折射率公式2222tanzxyxzynnnnnn5、当θ1=θ2=θ有：以下三图为：1.双轴晶体光轴的取向，2.光轴与k0方向的关系，3.与给定的波法线方向k0相应的D，E和s0§7.4晶体光学性质的图形表示一、折射率椭球1、折射率椭球方程2、折射率椭球的性质a.任意一条矢径的方向表示光波D矢量的一个方向；r=nd2222221xyzxyznnnb.平面与椭球的截面为椭圆。由原点o作平行于k0的直线op，再过o作一平面与op垂直，该平面与椭球的截面为一椭圆。椭圆的长轴，短轴方向即对应于k0的两个允许存在的光波D矢量方向，其长度分别等于两个光波的折射率。3、物理意义表征了对应某一波长的晶体主折射率在椭球空间各个方向上全部取值分布的几何图形。椭球的三个半轴长分别等于三个主介电常数的平方根，其方向分别与介电主轴方向一致。也称为（r,d）曲面。只要给定晶体，知道晶体的主介电张量，就可以做出相应的折射率椭球，并且确定波法线矢量k0等物理量方向。4、各种晶体的折射率椭球单轴晶体双轴晶体正负二、折射率曲面和波矢曲面1、折射率曲面：以晶体内某一固定点为原点，在同一波法线方向k0上画出两个长度分别等于折射率(n′,n″)的矢径r=nk0，当k0取所有的方向时，矢径端点所形成的双壳层曲面就叫折射率曲面，记做（k,n）方程意义这是一个平方的二次方程，因此表示的是双壳曲面。矢径直接表征了波法线的方向和相应的折射率，双壳曲面则直观地给出相应于给定波法线方向的两个折射率。2、立方晶系折射率方程为：显然，这个折射率曲面是一个半径为no的球面在所有的方向k0上，折射率都等于no，为各向同性3、单轴晶体折射率方程为：正单轴晶体负单轴晶体4、双轴晶体截面方程三个主轴截面上的截线如右图所示下图为折射率曲面在三个主轴截面上的截线。§7.5平面波在晶体表面的反射和折射一、光在晶体界面上的双反射和双折射1、双折射现象：一束单色光从空气入射到晶体表面(例如方解石晶体)上时，会产生两束同频率的折射光，这就是双折射现象；2、双反射现象：当一束光从晶体内部(例如方解石晶体)射向界面上时，会产生两束的反射光，这就是双反射现象3、与各向同性介质的相同点a.界面上波矢的切向分量是相等的：所以反射，折射光的法线都在入射面内。b.晶体的反射，折射公式为：与各向同性介质的反射，折射公式相同00ritikkrkkr4、与各向同性介质的区别尽管波法线在入射面内，但光线有可能不在入射面内；光的折射率因传播方向，电场振动方向而异，一般在空-晶-空过程中，反射角不等于入射角；满足反射，折射公式的nr，θr以及nt，θt都有两个可能的值。对e光，nr和nt都是θ=k，z的函数。正入射时，两个波法线方向虽一致但两折射光线的方向并不一定一致；若折射波波法线光轴方向传播时，折射方向将有无穷多个，存在锥光折射现象。二、光在晶体界面上的全反射1、全反射：是指入射光能量全部反射回入射侧而不能进入折射一侧。右图所示是一块方解石棱镜，光轴与棱镜表面垂直。当一束自然光正入射到此棱镜时，在棱镜斜面上将发生双反射现象。2、光从晶体射向空气介质的全反射现象。利用倒法线面作图法判断反射光方向。3、光从各向同性射向晶体时各向同性介质必定不是空气，否则不能满足全反射条件；对于单轴晶体来说，o光仍然可以用折射定律来确定全反射临界角；对于单轴晶体的e光来说，在光轴垂直于入射面这一特殊情况下，e光的光线方向和波法线方向是一致的，因此可以在这种情况下使用折射定律。当单轴晶体光轴垂直于入射面时，sinsinocoiecein