赵树嫄微积分第四版第六章-定积分

第六章1中国人民大学出版社赵树嫄《微积分》第四版第一节定积分概念的引例由连续曲线y=f(x)(f(x)0),直线x=a,x=b(ab)及x轴所围成的平面图形的面积)(xfybyoxa?A实例：求曲边梯形的面积2abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积。（四个小矩形）（九个小矩形）3观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．播放4,1210bxxxxxann个分点，曲边梯形如图所示，内插入若干在区间],[ba;],[],[11iiiiixxxxxnba长度为，个小区间分成把区间，上任取一点在每个小区间iiixx],[1iiixfA)(为高的小矩形面积为为底，以)(],[1iiifxx分割近似abxyoiix1x1ix1nx5iniixfA)(1曲边梯形面积的近似值为iniixfA)(lim10时，趋近于零即小区间的最大长度当分割无限加细)0(},,max{,21nxxx曲边梯形面积为求和取极限（1）分割（2）求和（3）极限6第二节定积分的定义设函数)(xf在],[ba上有界，记},,,max{21nxxx，在],[ba中任意插入若干个分点，bxxxxxann1210把区间],[ba分成n个小区间，各小区间的长度依次为1iiixxx，),,2,1(ni,在各小区间上任取一点作和iinixfS)(1，定义若极限iinixf)(lim10存在，，]),[(1iiiixx我们称这个极限为函数)(xf在区间],[ba上的定积分，记为.d)(baxxf7baxxfd)(被积函数积分变量：积分区间],[ba积分上限积分下限8说明：baxxfd)(battfd)(bauufd)(1.baxxfd)(是一个数值,它只与被积函数)(xf与积分区间],[ba有关,而与积分变量用什么字母无关,如2.有界是可积的必要条件,无界函数一定不可积；3.可积的充分条件：闭区间],[ba上连续的函数必在],[ba是可积的；],[ba上有有限个间断点的有界函数在],[ba也可积.94.规定：（1）当ba时，0d)(baxxf；（2）当ab时，abbaxxfxxfd)(d)(.5.由定义不难得到：.d1abxbaiinibaxfxxf)(limd)(1010定积分的几何意义：,0)(xfbaSxxfd)(曲边梯形的面积,0)(xfbaSxxfd)(曲边梯形面积的相反数)(xfybyoxa)(xfybyoxa1154321d)(AAAAAxxfba若要求阴影部分的面积,则为.d|)(|baxxfabyx1A2A3A4A5A)(xf12例1利用定义计算定积分.d102xx解每个小区间的长度均为n1，取右端点nii，(ni,,2,1)iininxfS)(1nnini1)(21niin1231，6)12)(1(13nnnnxxd102nnSlim.31,1n,0,n即将]1,0[n等分，分点为nixi，(ni,,2,1)xyo112xy)12)(11(61limnnn13例2用定积分表示极限解.)12111(lim222222nnnnn)(222)(11)2(11)1(11limnnnnnnnn原式ninnin12)(111lim.1d102xx14第三节定积分的基本性质在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小。性质1bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)]()([（此性质可以推广到有限多个函数和的情况）性质2babaxxfkxxkfd)(d)((k为常数)性质1,2合称线性性。15说明：不论a,b,c的相对位置如何，上式总成立.例如,,cbacbbacaxxfxxfxxfd)(d)(d)(cbcabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(则性质3区间可加性bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(.d)(d)(bccaxxfxxf证略16则0d)(xxfba.证nbaSxxf0limd)(性质4(保号性质)如果在区间],[ba上0)(xf，.0，0)(if，0)(1niiinxfS由极限的保号性可知,进一步，设)(xf在],[ba上连续，0)(xf，且)(xf不恒为零，则有.0d)(xxfba证略17推论1若],[),()(baxxgxf,.d)(d)(babaxxgxxf则证.)()()(即可令xgxfxh进一步，若)()(xgxf，且)(xf和)(xg不恒等，则有.d)(d)(babaxxgxxf18推论2babaxxfxxfd|)(||d)(|)(ba证,|)(|)(|)(|xfxfxf,d|)(|d)(d|)(|xxfxxfxxfbababa即.d|)(||d)(|babaxxfxxf19性质5（估值定理）设M及m分别是)(xf在区间],[ba上的最大值及最小值，则.)(d)()(abMxxfabmba证,)(d1dabmxmxmbaba由性质2，有再由性质4推论1，得.)(d)()(abMxxfabmba,)(d1dabMxMxMbabaabxyomM20因为)(xf在],[ba上连续,则)(xf在],[ba上有最大值M和最小值m，性质6（定积分中值定理）设)(xf在],[ba上连续,则存在],[ba,使.))((d)(abfxxfba证，Mxxfabmbad)(1，)(d)()(abMxxfabmba估值定理由闭区间上连续函数的介值定理知，,d)(1)(baxxfabf使,],[ba.))((d)(abfxxfba即21在区间],[ba上至少存在一个点，积分中值定理的几何解释：xyoab)(f使得以区间],[ba为以曲线)(xfy底边，为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为)(f的一个矩形的面积。一般称baxxfabd)(1为连续函数)(xf在],[ba上的平均值。.))((d)(abfxxfba22解例1比较积分10dxx与10d)1ln(xx的大小.,)1ln()(xxxf令,01111)(xxxxf则，0x于是)(xf单调增加,，0)0()(fxf，)1ln(xx.0x于是.d)1ln(d1010xxxx23证例2设1)(2xxxf，则222)1(1)(xxxf,0,21x所以,52)2(minff即f(x)单调减少，,21)1(maxff即,21)(52xf于是21d152212xxx。证明下列不等式：21d152212xxx.24第四节微积分基本定理用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍计算定积分的新方法.定理1设函数)(xf在],[ba上连续,构造变上限积分函数,d)()(xattfxΦ一、微积分基本定理],[baxya0xxy=f(x)Φ(x)25用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍计算定积分的新方法.定理1设函数)(xf在],[ba上连续,构造变上限积分函数,d)()(xattfxΦ一、微积分基本定理],[baxya0xxy=f(x)Φ(x)第四节微积分基本定理26用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍计算定积分的新方法.定理1设函数)(xf在],[ba上连续,构造变上限积分函数,d)()(xattfxΦ一、微积分基本定理],[baxya0xxy=f(x)Φ(x)第四节微积分基本定理27用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍计算定积分的新方法.定理1设函数)(xf在],[ba上连续,构造变上限积分函数,d)()(xattfxΦ一、微积分基本定理],[baxya0xxy=f(x)Φ(x)第四节微积分基本定理28ya0xxy=f(x)Φ(x)用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍计算定积分的新方法.定理1设函数)(xf在],[ba上连续,构造变上限积分函数,d)()(xattfxΦ一、微积分基本定理],[bax第四节微积分基本定理29ya0xxy=f(x)Φ(x)用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍计算定积分的新方法.定理1设函数)(xf在],[ba上连续,构造变上限积分函数,d)()(xattfxΦ一、微积分基本定理],[bax则)(x在],[ba上可导,且.)(d)(dd)(xfttfxxxa第四节微积分基本定理30证,),(baxxxΦxxΦxΦx)()(lim)(0.)(d)(dd)(xfttfxxΦxaxttfttfxaxxaxd)(d)(lim0,d)(lim0xttfxxxxxttfttfttfxaxxxxaxd)(d)(d)(lim0,),(,baxxx使得取31abxyoxx)(xx,d)(lim)(0xttfxΦxxxx由积分中值定理得之间与在xxx，时0x)(lim0fx.)()(xfxΦ即证得,)(lim)(0xxfxΦx)(xf在],[ba上连续,,x)(limfx，)(xf32原函数存在定理如果)(xf在],[ba上连续，则变上限积分函数该定理告诉我们，连续函数一定有原函数。ttfxΦxad)()(就是)(xf在],[ba上的一个原函数。)(d)(dd)(xfttfxxΦxa33，)(d)(ddxfttfxxabxttfxd)(dd)(d)(ddxattfx.)()]([xxf变限积分函数的求导：xbttfxd)(dd，)(xf设)(x在],[ba上可导,则，设xattfxΦd)()(证，则)]([d)()(xΦttfxa)(d)(ddxattfx所以)()]([xxΦ.)()]([xxf34更一般地，设)(x，)(x在],[ba上可导,则)()(d)(ddxxttfx.)()]([)()]([xxfxxf由)()(d)(xxttf)()(d)(d)(xaaxttfttf即可得结论。352d)(ddxattfx.2)(2xxf例1求下列变限积分函数的导数.,dsin)(1xttxf;sin)(xxf,d1)(22xttxf;1)(2xxf32d)(ddxxttfx.2)(3)(223xxfxxf,de)(sin12xttxf;cose)(2sinxxfx36设)(xf为连续函数,,d)()(ln1xxttfxF则)(xF.)1(1)(ln12xfxxfx例2)(lnxfx1)1(xf)1(2x37例3求下列极限。2021d)(arctanlim)1(xttxx分析：这是型未定式，应用洛必达法则.221)(arctanlimxxxx原式.42解38例3求下列极限.xxttxxsindcoslim)2(202000分析：这是型未定式，20202dcoslimxttxx原式.1解等价无穷小替换xxxx2cos2lim4040coslimxx39例3求下列极限.21cos0del