赵树嫄-《微积分(第四版)》第三章-导数与微分

1第三章2第一节导数引例0tt,,)(0时刻的瞬时速度求函数为设变速直线运动的路程ttst,0tt的时刻取一邻近于,0ttt运动时间tsv平均速度ttstts)()(00,0时当t取极限得ttsttst)()(lim000瞬时速度ttsttst)()(lim000v(一)物体作变速直线运动的瞬时速度问题3自由落体221)(tgts,求速度函数)(tv.解所以tstvt0lim)()21(lim0tgtgt.tg例1221tgttg2221)(21gtttgstgtgts214(二)切线问题切线—割线的极限位置5(二)切线问题切线—割线的极限位置6(二)切线问题切线—割线的极限位置7(二)切线问题切线—割线的极限位置8(二)切线问题切线—割线的极限位置9(二)切线问题切线—割线的极限位置10(二)切线问题切线—割线的极限位置11(二)切线问题切线—割线的极限位置12(二)切线问题切线—割线的极限位置13(二)切线问题切线—割线的极限位置14T0xxoxy)(xfyCNM).,(),,(00yxNyxM设00tanxxyy,)()(00xxxfxf,,0xxMNC沿曲线tank00)()(lim0xxxfxfxx00)()(lim0xxxfxfxx割线MN的斜率为切线MT的斜率为15求抛物线2xy在1x处的切线方程.解,)1(21xy.012yx即例21xy因此切线方程为221)1(xy,22xx,2xxy切线斜率为xykx0lim)2(lim0xx,216第二节导数概念(一)导数的定义,)()(00内有定义的某邻域在点设函数xUxxfy定义xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000如果对于自变量x在点0x的增量x))((00xUxx和相应的函数值的增量)()(00xfxxfy,xy当0x时有极限，比值则称函数)(xf在点0x可导，称此极限为函数)(xf在点0x处的导数，并记作)(0xf,即17000)()(lim)(0xxxfxfxfxxxxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000记xxx0,则0x等价于0xx,形式1形式2)(0xf，0ddxxxy也可记为，0xxy等。0d)(dxxxxf18这样，曲线的切线的斜率可以说成是曲线上点的纵坐标对该点的横坐标的变化率，在实际应用中，常把导数0ddxxxy称为变量y对变量x在0x点的变化率,变化的快慢。它表示函数值的变化相对于自变量的变化率有广泛的实际意义，例如，加速度就是速度对于时间的变化率，角速度就是旋转的角度对于时间的变化率，线密度就是物质线段的质量对线段长度的变化率，功率就是所作的功对于时间的变化率，等等.速度可以说成是行走的路程对于时间的变化率。19导函数如果函数)(xfy在开区间I中的每一点都可导，则称函数)(xf在区间I上可导.这时,对每一个Ix,xxfxxfxfx)()(lim)(0)()(Ixxf可以看成是定义在I上的一个新的函数，称它为原来的函数)(xf的导函数(或简称导数),也可以说成y对x的导数，并记作y或xydd.20用定义求导数的基本步骤：;)()()1(xfxxfy求增量;)()()2(xxfxxfxy算比值.lim)3(0xyyx求极限21例3解求线性函数bxay的导数。)(])([bxabxxay,xa,axy.lim0axyyx22例4解21)1(xx求函数xy1的导数。xxxy11)(xxxx)(1xxxxyxyyx0lim)(1lim0xxxx21x23例5解xx21)(求函数xy的导数。,xxxyxxxxxy)(xxxxx,1xxxxyyx0limxxxx1lim0.21x24例6解233)(xx求函数3xy的导数。33)(xxxy,)()(33322xxxxxxxxxxxxy322)()(33,)(3322xxxxxyyx0lim])(33[lim220xxxxx.32x类似可证1)(nnxnx（n为正整数），以后证明，1)(xx(α为任意非零实数)。25,0,00,1sin)(xxxxxf011/π－1/πxy所以)(xf在0x处连续；极限不存在,但,1sinlim0xxxxxx1sinlim00)0()(lim0xfxfx所以)(xf在0x处不可导。)(lim0xfx例7用定义讨论函数在0x处的连续性与可导性。解xxx1sinlim00,)0(f26(二)导数的几何意义oxy)(xfyT0xM切线方程为法线方程为))((000xxxfyy)()(1000xxxfyy在几何上，函数)(xfy在点0x处的导数)(0xf表示曲线)(xfy在点))(,(00xfxM处的切线的斜率，即tan)(0xf，其中为切线的倾角。27求曲线xy1在点)1,1(处的切线方程和法线方程。例8解切线斜率1)1(yk，,12xy所以切线方程为,)1(1xy即02yx；法线方程为)1(111xy，即0yx。28求双曲线xy1的平行于直线L：054yx的切线的方程.练习：解201xk,41所求切线方程为)2(4121xy044yx即设切点为)1,(00xx，,20x所求切点为)21,2(和)21,2(，或)2(4121xy或.044yxL的斜率29(三)左、右导数2、右导数：1、左导数：;)()(lim)()(lim)(0000000xxfxxfxxxfxfxfxxx;)()(lim)()(lim)(0000000xxfxxfxxxfxfxfxxx函数)(xf在点0x处可导左导数)(0xf和右导数)(0xf都存在且相等.★30例9.0||)(处的可导性在讨论函数xxxf解)0(f0)0()(lim0xfxfx,1.1),0()0(ff.0||点不可导在函数xxy||xyxyoxxx||lim0xxx0lim)0(f0)0()(lim0xfxfxxxx||lim0xxx0lim31设0,0,00,)(32xxxxxxf,求)0(f.所以0)0(f.例10解0)0()(lim)0(0xfxffxxxx20lim,00)0()(lim)0(0xfxffxxxx30lim,0xyo32(四)可导与连续的关系定理函数在可导点处必连续.证.)(0连续在点所以函数xxf由于)(xfy在0xx处可导,所以yx0limxyx0lim存在且为)(0xf,xxyx0limxxyxx00limlim0)(0xf,0,)()(00xfxxfy33例如,,0,0,)(2xxxxxf,1)0(,0)0(ff注意：该定理的逆定理不成立：连续未必可导。xyxyo||)(xxf.0处不可导在xxy2xyxyO1、设函数)(xfy在0x处连续，但)()(00xfxf，则称0x为函数)(xf的尖点。函数在尖点不可导。34.0处不可导在x(或称导数无穷大)注意：此时存在铅直切线。例如，3xy在0x处连续,但,)()(limlim0000xxfxxfxyxx0)0()(lim0xfxfxxxx30lim,2、设函数)(xfy在0x处连续，但称函数)(xf在点0x处有无穷导数(不可导)。35,0,00,1sin)(xxxxxf例如,011/π－1/πxy所以)(xf在0x处连续.极限不存在,但,1sinlim0xxxxxx1sinlim00)0()(lim0xfxfx3、设函数)(xfy在0x处连续，但0x处的左右导数都不存在(指摆动不定)，则0x处不可导。所以)(xf在0x处不可导.,)0(01sinlim)(lim00fxxxfxx设1,1,)(23xbxaxxxf,求适当的a,b,使)(xf在1x处可导.1lim)(lim311xxfxx,因为)(xf在1x处可导，从而连续，所以因为)(xf在1x处可导,所以a23，21,23ba.babxaxfxx)(lim)(lim211,例11解，3)1(lim21xxx11lim)1(31xxfx11lim)1(21xbxafx1lim21xaxax，a2,1ba,1ab)1(lim1xax37第三节导数的基本公式与运算法则(一)常数的导数，为常数设)()(CCxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hCCh0lim.0.0)(C即hh0lim0则(二)幂函数的导数，为正整数设)(nxynhxhxynnh)(lim0][lim12210nnnnhhhxCxn,1nxn.)(1nnxnx即以后证明：)0()(1xx)(x特别，12121x,21x)1(x11)1(x.12xxx21)(21)1(xxhxhhxChxCxnnnnnnnh222110lim则(三)代数和的导数设)(xuu,)(xvv可导,则vu也可导,且有证vuvu)(注：公式可推广到有限多个函数的代数和。.)()(xvxu)(vuxxvxuxxvxxux)]()([)]()([lim0xxvxxvxxuxxuxx)()(lim)()(lim0040例1求下列函数的导数：xxxxysin452323.cos45492xxxy(四)乘积的导数设)(xuu,)(xvv可导,则vu也可导,且有证vuvuuv)(因为)(xv可导,必连续,故)()(lim0xvxxvx,于是)()()()(xvxuxxvxxuy)]()()()([xxvxuxxvxxu)]()()()([xvxuxxvxu,)()(vxuxxvuxvxuxxvxuxyxxxx0000lim)()(limlimlim.)()()()(xvxuxvxu42vuvuuv)(1、ucuc)(；推论wuvwvuvwuuvw)(证wuvwuvuvw)()()(wuvwvuvu)(.wuvwvuvwu2、可推广到有限多个函数的乘积，如一般地，有nnnnuuuuuuuuuuuu21212121)(43例2求下列函数的导数：)23)(21(.123xxxy)23(223xxy)