赵树嫄-《微积分(第四版)》第九章-微分方程与差分方程简介

1第九章2第一节微分方程的一般概念在工程技术，力学与物理学等自然科学以及经济学与管理学等各个领域中，经常需要确定变量间的函数关系.在很多情况下，必须建立不仅包含这些函数本身，而且还包含着这些函数的导数或微分的方程或方程组才有可能确定这些函数关系，这样的方程就是微分方程.在本章中将要介绍微分方程的一些基本概念，还要学习最重要的几类一阶微分方程与二阶常系数线性微分方程的解法以及它们的简单应用.3定义含有自变量，自变量的未知函数以及未知函数的若干阶导数或微分的函数方程称为微分方程.定义出现在微分方程中的未知函数的最高阶导数或微分的阶数，称为微分方程的阶.未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.在本书中只讨论常微分方程，如下例：,xyy,0dd)(2xxtxt,e32xyyy一阶二阶一阶012xxtxyxydd4定义使方程成为恒等式的函数称微分方程的解。微分方程的解的分类：(1)通解：微分方程的解中含有任意常数,且独立任意常数的个数与微分方程的阶数相同。(2)特解：不含任意常数的解。,yy例;exCy通解,0yyxCxCycossin21通解定解条件：用来确定任意常数的条件。,0yyxxCCyee21通解5初始条件：规定微分方程中的未知函数及其若干阶导数在某一点处的取值。过定点的积分曲线;00),(yyyxfyxx一阶:二阶:0000,),,(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线。初值问题：求微分方程满足初始条件的解的问题。6xyoxxxfd2)(,2Cx,2C得.22xy所求曲线方程为，代入将3,1yx解例设曲线通过点(1,3),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。设曲线方程为),(xfy根据题意知xy2(1,3)函数)(xf的原函数的图形称为)(xf的积分曲线族.7第二节一阶微分方程引例微分方程,)(xfy两边积分即可。,2xyxxyd2.313Cx?22yxy,dd22yxxy分离变量，改写成,dd22xxyy两边积分，,3113Cxy通解为.333Cxy(一)可分离变量的一阶微分方程8(一)可分离变量的一阶微分方程xxfyygd)(d)(xxfyygd)(d)(设函数)(yG和)(xF是依次为)(yg和)(xf的某个原函数,CxFyG)()(为微分方程的通解。两边积分,为可分离变量的方程。称则第二节一阶微分方程9求方程22ddxyxy的通解.解分离变量，xxyyd2d2，积分Cxy21,所以通解为Cxy21.例10求方程xyxy2dd的通解.解分离变量,xxyyd2d,积分Cxy2||ln,或写为2eexCy,记CCe1,则通解为2e1xCy.可简写为：分离变量,xxyyd2d,积分Cxylnln2,则通解为2exCy.例11积分Cxylnlnln,则通解为Cyx.求方程xyxydd的通解.解分离变量,xxyydd,练习12求方程0d)ee(d)ee(yxyyxxyx的通解.解分离变量：0d1eed1eexyxxyy,两边积分:Cxyln)1eln()1eln(,即所求通解为Cyx)1e)(1e(.例13求方程2cos2cosddyxyxxy的通解.2cos2cosddyxyxxy,2sin2sin2yx,d2sin2sin2dxxyy|2cot2csc|lnyy为所求通解.解Cx2cos2例Cxxxxxx|cotcsc|lndcscsind14求方程)1(122xxyyy满足2)1(y的特解.解例xxxyyyd)1(1d122分离变量，两边积分)1ln(212y222d)1(121xxx222d)111(21xxxCxxln211ln2122通解为,11222xxCy将2)1(y代入得10C，所求特解为.1101222xxy数学建模15(二)齐次方程)(ddxyfxy的微分方程称为齐次方程。形如例如22ddxxyyxy可化为;1)(dd2xyxyxy0d)2(d)(22yxyxxyxy可化为xyxyxyxy2dd22.)(21)()(2xyxyxy16,xyu作变量代换,uxy即代入原式得,ddddxuxuxy),(ddufxuxu两边积分即得通解.注意：须将u代回。,d)(dxxuufu分离变量得齐次方程)(ddxyfxy的一般解法：17例求方程xyxyxytan3dd的通解.解作变量代换xyu,代入原方程得uuxuxutan3dd,,uxy,ddddxuxuxy此题不能分离变量,是齐次方程,分离变量得xxuud3tand,积分得Cxulnln3)ln(sin,.sin3xCxy即得原方程通解为18例1)1(y的特解.解作变量代换xyu,代入原方程得1dd2uuxuxu,求方程xyxyxyxydddd22满足初始条件即11dd2uuuuuxux,,uxy,ddddxuxuxy22ddxxyyxy原方程变形为,1)(2xyxy19积分得：Cxuulnlnln,或写成Cxuuln)ln(,再将xyu代入,得通解为yCxye；分离变量得xxuudd)11(,再由初始条件1)1(y,得eC,于是得所求特解为1exyy.即11dd2uuuuuxux,或yxCue,20练习求方程0)()(yxyyx的通解.解11xyxy,作变量代换xyu,,uxy,ddddxuxuxy是齐次方程,xyxyxydd原方程变形为代入原方程得11dduuxuxu,分离变量得xxuuudd112,21积分得Cxuuln||ln)1ln(21arctan2,或写成uCuxarctan2e1,再将xyu代入,得通解为分离变量得xxuuudd112,.earctan22xyCyx22(三)一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式:)()(ddxQyxPxy,0)(xQ当上述方程称为齐次的.上述方程称为非齐次的.,0)(xQ当例如,dd2xyxy,sindd2ttxtx,32xyyy,1cosyy线性的,非齐次非线性的.23.0)(ddyxPxy,d)(dxxPyy,d)(dxxPyy,lnd)(lnCxxPy齐次方程的通解为.ed)(xxPCy1、线性齐次方程一阶线性微分方程的解法：使用分离变量法这里记号xxPd)(表示)(xP的某个确定的原函数.242、线性非齐次方程)()(ddxQyxPxy常数变易法：作变换xxPxuyd)(e)(,e)]([)(e)(d)(d)(xxPxxPxPxuxuy代入原方程得和将yy),(e)(d)(xQxuxxP,de)()(d)(CxxQxuxxP积分得所以原方程的通解为:]de)([ed)(d)(CxxQyxxPxxP25.sin1的通解求方程xxyxy,1)(xxP,sin)(xxxQ)desin(ed1d1Cxxxyxxxx)desin(elnlnCxxxxx)dsin(1Cxxx.)cos(1Cxx解]de)([ed)(d)(CxxQyxxPxxP例通解为26求方程2e22ddxxxyxy满足1)0(y的特解.解由初始条件1)0(y,1C,即所求特解为)1(e22xyx.例)d2(e2Cxxx,)(e22Cxx)dee2(ed2d22Cxxyxxxxx通解为]de)([ed)(d)(CxxQyxxPxxP27解方程改写为所以所求解为,1ln1xyxxy一阶线性方程，将1)e(y代入，C211，得21C，0d)ln(dlnxxyyxx，且1e)(y。)de1(elndlndCxxyxxxxxx)ln21(ln12Cxx)dln(ln1Cxxxx.)ln1(ln21xxy例,lnln21xCx28解这是一阶线性微分方程，通解为求3)1(12xyxy的通解。]de)1([ed123d12Cxxyxxxx练习]de)([ed)(d)(CxxQyxxPxxP]d)1(1)1([)1(232Cxxxx]d)1([)1(2Cxxx.)1()1(2124xCx])1(21[)1(22Cxx29求方程0d)(d3yyxxy的通解.解方程含有3y,故不是关于未知函数y线性方程,可把y视为自变量,把方程改写为此即一阶线性方程,解得通解为例,dd2yyxyx)de(ed12d1Cyyxyyyy)d(12Cyyyy.43yyC30数学建模--价格调整模型设某商品的价格主要取决于市场供求关系，或者说供给量S与需求量D只与该商品的价格p有关。设,bpaS,pD其中,,,ba均为常数，且0,0b。当DS时，bape，称为均衡价格。一般，若供过于求)(DS，价格将下跌；若供不应求)(DS，价格将上涨。所以，视价格p为时间的函数)(tpp。31设价格)(tpp的变化率tpdd与超额需求量SD成正比，即设,)(ddSDktp其中k为正的常数，用来反映价格的调整速度。)(ddpptpe，其中0)(kb，通解为tCptpe)(e，假定初始价格0)0(pp，代入得e0ppC。于是上述价格调整模型的解为tppptpe)()(e0e由0知，e)(limptpt，即表明价格最终将趋向于均衡价格。32第三节几种二阶微分方程(一)最简单的二阶微分方程解例.exxy解法：两边积分两次即可。,)(xfy形如积分一次得xxyxde,e)1(1Cxx再积分一次，得通解为xCxyxd]e)1[(1.e)2(21CxCxx33(二)),(yxfy型,不显含y解法：令)(xpy，化为),(pxfp.一阶微分方程求方程0)21(yyx的通解.解令yp,则方程化为分离变量,得xxppd121d,积分得1ln)12ln(21lnCxp,或211)12(xCyp,再积分,得原方程的通解为2211)12(CxCy.例,dd)21(pxpx34。的通解求方程xxyxye1解练习令)(xpy，方程化为)dee(ed1d1Cxxpxxxxx,e1xxpxp这是一阶线性微分方程，通解为)d1e(Cxxxxx,)e(1Cxx.2e)1(221CxCxyx所以原方程通解为,)e(1Cxyx即35(三)原方程化为),(ddpyfypp.),(yyfy型,不显含x解法：令)(ypy，则xpyddxyypdddd，yppdd把y视为自变量36求方程02yyy的通解.解令xypdd,即0)dd(pypyp.分离变量,0ddyypp,解得yCp,即yCxydd,分离变量xCyydd,则yppydd例，0dd2pyppy.212CxCy若0ddpypy,代入原方程,得积分得通解为3