2020年高考数学一轮复习专题2.12导数的切线方程练习(含解析)

第十二讲导数的切线方程1.导数的几何意义：切线的斜率2.求斜率的方法（1）公式：/12012tan()yykfxxx0为直线的倾斜角，范围[0,),x是切点的横坐标（2）当直线l1、l2的斜率都存在时：1212llkk，12120llkk3.切线方程的求法（1）求出直线的斜率（2）求出直线上的一点或切点（3）利用点斜式00()yykxx写出直线方程。考向一斜率（或倾斜角）与切点互求【例1】（1）曲线y＝13x3在x＝1处切线的倾斜角为。（2）设函数()lnfxxx，若0()2fx，则0x______________．【答案】（1）π4.（2）e【解析】（1）∵y′＝x2，∴y′|x＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tanα＝1，∵0≤απ，∴α＝π4.（3）由题意得()ln1fxx，又00()ln12fxx，解得0ex．【套路总结】1.已知切点求切线的斜率解题思路（1）求导：求出导函数（2）将切点的横坐标代入导函数计算即可2.求切点的坐标的解题思路(1)设出切点坐标(2)利用导数或斜率公式求出斜率(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【套路秘籍】---千里之行始于足下【举一反三】1.已知在曲线2yx上过点00(),Pxy的切线为l．（1）若切线l平行于直线45yx，求点P的坐标；（2）若切线l垂直于直线2650xy，求点P的坐标；（3）若切线l的倾斜角为135，求点P的坐标．【答案】（1）(2,4)；（2）39(,)24；（3）11(,)24．【解析】（1）两条直线平行斜率相等，2x0=4,x0=2,代入曲线y0=4,切点P（2,4）（2）直线直线垂直，斜率相乘等于-1.0000139392x=-1,x=-,将x代入曲线y=,故P（-，）32424（3）因为切线l的倾斜角为135，所以其斜率为1．即021x，得012x，014y，故11(,)24P．考向二在某点处求切线方程【例2】设函数f(x)＝xlnx，则点(1,0)处的切线方程是________．【解析】因为f′(x)＝lnx＋1，所以f′(1)＝1，所以切线方程为x－y－1＝0.【答案】x－y－1＝0【举一反三】1.函数f(x)＝excosx在点(0，f(0))处的切线方程为。【答案】x－y＋1＝0【解析】∵f′(x)＝excosx＋ex(－sinx)＝ex(cosx－sinx)，∴f′(0)＝e0(cos0－sin0)＝1．又∵f(0)＝1，∴f(x)在点(0,1)处的切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0．2.曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为___.【套路总结】已知切点(x0,y0)求切线方程1.表述：在某点处的切线方程，该点为切点。2.求切线方程的基本思路（1）求导：利用求导公式进行求导f’(x)（2）求k:将切点的横坐标x0代入f’(x0)=k（3）求线：利用点斜式y-y0=f’(x0)(x-x0)注意：如果切点的横坐标已知，求纵坐标，可以将切点的横坐标代入原函数（曲线）求纵坐标。记得切点即在切线方程上也在原函数上。【答案】5x＋y＋2＝0【解析】由y＝－5ex＋3得，y′＝－5ex，所以切线的斜率k＝y′|x＝0＝－5，所以切线方程为y＋2＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.考向三过某点处求切线方程【例3】已知函数3fxx，则过（1,1）的切线方程为__________．【答案】313244yxyx或【解析】由函数3fxx，则23fxx，当点1,1为切点时，则13f，即切线的斜率3k，所以切线的方程为131yx，即32yx，当点1,1不是切点时，设切点3,Pmm，则32131mkmm，即2210mm，解得12m或1m（舍去），所以34k所以切线的方程为3114yx，即3144yx.【举一反三】【套路总结】未知切点求切线方程1.表述：过某点且与函数（曲线）相切的切线方程2.求切线方程的基本思路（1）判断：判断点是否在曲线上---将点代入曲线①曲线等式成立即点在曲线上，那该点可能是切点可能不是切点，分类讨论；一类该点是切点，参考以上一的求法求切线方程，一类不是切点，请参考下面的方法求切点。②曲线等式不成立，即该点不是切点（2）该点(x1,y1)不是切点但在切线上时，求切线方程的思路①设点：设切点(x0，y0)②求x0：利用斜率的关系求切点横坐标k＝f′(x0)=y1−y0y1−x0和y0=f(x0)（即将切点代入原函数）联立解x0③求k:利用k＝f′(x0)④求线：利用点斜式y-y0=f’(x0)(x-x0)或利用点斜式y-y1=f’(x0)(x-x1)1．已知曲线𝑓(𝑓)=1𝑓，则过点(−1,3)，且与曲线𝑓=𝑓(𝑓)相切的直线方程为。【答案】𝑓=−𝑓+2或𝑓=−9𝑓−6【解析】设切点为(𝑓0,𝑓0),切线斜率𝑓=𝑓′(𝑓0)=−1𝑓02，则切线方程是𝑓−𝑓0=−1𝑓02(𝑓−𝑓0)，又过点(−1,3)，所以3−𝑓0=−1𝑓02(−1−𝑓0)，①又𝑓0=1𝑓0，②由①②解得，{𝑓0=1𝑓0=1或{𝑓0=−13𝑓0=−3，代入切线方程化简可得：切线方程为𝑓+𝑓−2=0或9𝑓+𝑓+6=0.2．过点𝑓(−4,0)作曲线𝑓=𝑓𝑓𝑓的切线，则切线方程为_______________________.【答案】𝑓+𝑓2𝑓+4=0【解析】点𝑓(−4,0)不为切点，可设出切点𝑓(𝑓,𝑓)，则𝑓=𝑓𝑓𝑓，①又𝑓′=𝑓𝑓+𝑓𝑓𝑓，则切线斜率为𝑓=(1+𝑓)𝑓𝑓=𝑓=𝑓𝑓+4，②由①②得，𝑓=−2,𝑓=−2𝑓−2,𝑓=−𝑓−2，故切线方程为𝑓−0=−𝑓−2(𝑓+4)，即𝑓+𝑓2𝑓+4=0，故答案为𝑓+𝑓2𝑓+4=0.3．过坐标原点(0, 0)作曲线𝑓=𝑓𝑓的切线,则切线方程为________.【答案】𝑓=𝑓𝑓【解析】因为𝑓=𝑓𝑓，所以𝑓′=𝑓𝑓,设切点坐标为(𝑓,𝑓𝑓)，则切线斜率为𝑓𝑓，切线方程为𝑓−𝑓𝑓=𝑓𝑓(𝑓−𝑓)，把原点坐标代入切线方程可得𝑓=1，所以过坐标原点(0, 0)作曲线𝑓=𝑓𝑓的切线,则切线方程为𝑓=𝑓𝑓,故答案为𝑓=𝑓𝑓.考向四求参数【例4】已知函数f(x)＝bx＋lnx，其中b∈R，若过原点且斜率为k的直线与曲线y＝f(x)相切，则k－b的值为．【答案】1e【解析】设切点坐标为(x0，bx0＋lnx0)，因为f′(x)＝b＋1x，所以k＝b＋1x0，则切线方程为y－(bx0＋lnx0)＝b＋1x0(x－x0)．因为切线过坐标原点，所以－(bx0＋lnx0)＝b＋1x0(0－x0)，即lnx0＝1，所以x0＝e，所以k－b＝1x0＝1e.【举一反三】1.已知f(x)＝lnx，g(x)＝12x2＋mx＋72(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m＝.【答案】－2【解析】∵f′(x)＝1x，∴直线l的斜率k＝f′(1)＝1.又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝12x20＋mx0＋72，m0，∴m＝－2.2.已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为。【答案】2【解析】设切点为(x0，y0)，y′＝1x＋a，所以有y0＝x0＋1，1x0＋a＝1，y0＝ln（x0＋a），解得x0＝－1，y0＝0，a＝2.3.设曲线y＝2－cosxsinx在点π2，2处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，则a＝____________.【答案】1【解析】y′＝（2－cosx）′sin x－（2－cosx）（sinx）′sin2x＝1－2cosxsin2x，则曲线y＝2－cosxsinx在点π2，2处的切线的斜率为k1＝1.因为直线x＋ay＋1＝0的斜率k2＝－1a，又该切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，所以k1k2＝－1，解得a＝1.4，已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是．【答案】x－y－2＝0【解析】由题图可知，f′(2)＝1，过P(2,0)，∴切线方程为y＝x－2，即x－y－2＝0.1.已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝_______.【答案】【解析】∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1．又f(1)＝a＋2，∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1．2.已知f(x)＝x2，则曲线y＝f(x)过点P(－1,0)的切线方程是．【答案】y＝0或4x＋y＋4＝0【解析】设切点坐标为(x0，x20)，∵f′(x)＝2x，∴切线方程为y－0＝2x0(x＋1)，∴x20＝2x0(x0＋1)，解得x0＝0或x0＝－2，∴所求切线方程为y＝0或y＝－4(x＋1)，即y＝0或4x＋y＋4＝0.3.已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是__【答案】y＝－2x－1【解析】令x0，则－x0，f(－x)＝lnx－3x，又f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝lnx－3x(x0)，则f′(x)＝1x－3(x0)，∴f′(1)＝－2，∴在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1．4.若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝____.【答案】1－ln2【解析】直线y＝kx＋b与曲线y＝lnx＋2，y＝ln(x＋1)均相切，设切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝lnx＋2得y′＝1x，由y＝ln(x＋1)得y′＝1x＋1，∴k＝1x1＝1x2＋1，∴x1＝1k，x2＝1k－1，∴y1＝－lnk＋2，y2＝－lnk，即A1k，－lnk＋2，B1k－1，－lnk，∵A，B在直线y＝kx＋b上，∴2－lnk＝k·1k＋b，－lnk＝k·1k－1＋b⇒b＝1－ln2，k＝2.5．已知函数𝑓(𝑓)=ln𝑓−𝑓2，则𝑓(𝑓)在x=1处的切线方程为_________【答案】𝑓+𝑓=0.【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行【解析】𝑓(𝑓)=ln𝑓−𝑓2，𝑓′(𝑓)=1𝑓−2𝑓⇒𝑓′(1)=−1,而𝑓(1)=−1,所以切线方程为𝑓−(−1)=−(𝑓−1)⇒𝑓=−𝑓⇒𝑓+𝑓=0.6．已知某曲线的方程为𝑓=𝑓2+2，则过点𝑓(2,−3)且与该曲线相切的直线方程为______．【答案】2𝑓+𝑓−1=0或10𝑓−𝑓−23=0【解析】设直线与曲线切于点（x0，y0）（x0≠2），则k=𝑓0+3𝑓0−2，∵y0=x02+2，且∵k=y′|𝑓=𝑓0=2x0，∴𝑓0+3𝑓0−2=2x0，∴x02﹣4x0﹣5=0，∵x0=-1，或x0=5，∴k=2x0=-2或10，故直线l的方程2𝑓+𝑓−1=0或10𝑓−𝑓−23=0.故答案为：2𝑓+𝑓−1=0或10𝑓−𝑓−23=0．7．已知𝑓∈𝑓，函数𝑓(𝑓)=𝑓⋅𝑓𝑓−𝑓ln𝑓的图象在点(1,𝑓(1))处的切线为𝑓，则𝑓在𝑓轴上的截距为______.【答案】1【解析】因为函数�