2012年河南省“专升本”高等数学试卷及答案

第1页共15页河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试《高等数学》试卷题号一二三四五六总分核分人分数一.单项选择题（每题2分，共计50分）在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内.不选、错选或多选者，该题无分.1.集合}5,4,3{的所有子集共有（）A.5B.6C.7D.8解：子集个数Dn8223。2.函数xxxf3)1arcsin()(的定义域为（）A.]3,0[B.]2,0[C.]3,2[D.]3,1[解：Bxxx2003111。3.当0x时，与x不等价的无穷小量是()A.x2B.xsinC.1xeD.)1ln(x解：根据常用等价关系知，只有x2与x比较不是等价的。应选A。4.当0x是函数xxf1arctan)(的（）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点解：21arctanlim0xx；Cxx21arctanlim0。5.设)(xf在1x处可导，且1)1(f，则hhfhfh)1()21(lim0的值为（）A.-1B.-2C.-3D.-4解：Cfhfhfhhfhfhh3)1(3)1()21(2[lim)1()21(lim00。6.若函数)(xf在区间),(ba内有0)(,0)(xfxf，则在区间),(ba内，)(xf图形（）A．单调递减且为凸的B．单调递增且为凸的C．单调递减且为凹的D．单调递增且为凹的解：0)(xf单调增加；0)(xf凸的。应选B。7.曲线31xy的拐点是（）A.)1,0(B.)0,1(C.)0,0(D.)1,1(解：006xxy)1,0(，应选A。8.曲线2232)(xxxf的水平渐近线是（）A.32yB.32yC.31yD.31y解：Cyxxx313132lim22。9.4002tanlimxtdtxx（）A.0B.21C.2D.1解：Bxxxxxdxxxx214tan2limtanlim3204002。10.若函数)(xf是)(xg的原函数，则下列等式正确的是（）A.Cxgdxxf)()(B.Cxfdxxg)()(得分评卷人第2页共15页C.Cxfdxxg)()(D.Cxgdxxf)()(解：根据不定积分与原函数的关系知，Cxfdxxg)()(。应选B。11.dxx)31cos(（）A.Cx)31sin(31B.Cx)31sin(31C.Cx)31sin(D.Cx)31sin(3解：ACxxdxdxx)31sin(31)31()31cos(31)31cos(。12.设xdttty0)3)(1(，则)0(y（）A.-3B.-1C.1D.3解：)3)(1(xxyDy3)0(。13.下列广义积分收敛的是（）A.1xdxB.1xdxC.1xxdxD.10xxdx解：由p积分和q积分的收敛性知，1xxdx收敛，应选C。14.对不定积分dxxx22cossin1，下列计算结果错误是（）A.CxxcottanB.Cxxtan1tanC.CxxtancotD.Cx2cot解：分析结果，就能知道选择C。15.函数2xy在区间]3,1[的平均值为（）A.326B.313C.8D.4解：badxxfab)(1Bxdxx313621313312。16.过Oz轴及点)4,2,3(的平面方程为（）A.023yxB.02zyC.032yxD.02zx解：经过Oz轴的平面可设为0ByAx，把点)4,2,3(代入得032yx应选C。也可以把点)4,2,3(代入所给的方程验证，且不含z。17.双曲线014322yzx绕z轴旋转所成的曲面方程为（）A.143222zyxB.143222zyxC.143)(22zyxD.14)(322zyx解：把14322zx中2x换成22yx得143222zyx，应选A。18.xyxyyx93lim00（）A.61B.61C.0D.极限不存在解：Bxyxyxyxyxyxyyxyxyx61931lim)93(lim93lim000000。19.若yxz，则)1,(eyz（）A.e1B.1C.eD.0第3页共15页解：Ceeexxyzeyelnln)1,()1,(。20.方程132xzyz所确定的隐函数为),(yxfz，则xz（）A.xzyz322B.yxzz232C.xzyz32D.yxzz23解：令132xzyzF2332;xzzyFzFzxzxFFxzxzyz322，应选A。21.设C为抛物线2xy上从)0,0(到)1,1(的一段弧，则Cdyxxydx22（）A.-1B.0C.1D.2解：C：xxyxx,2从0变到1，1032142CdxxdyxxydxC。22.下列正项级数收敛的是（）A.2131nnB.2ln1nnnC.22)(ln1nnnD.21nnnn解：对级数2ln1nnn、22)(ln1nnn需要利用积分判别法，超出大纲范围。级数2)(ln1npnn有结论：当1p时收敛，当1p时发散。级数2131nn、21nnnn与级数21nn利用比较判别法的极限形式来确定---发散的，应选C。23.幂级数01)1(31nnnx的收敛区间为（）A.)1,1(B.)3,3(C.)4,2(D.)2,4(解：令tx1，级数化为0131nnnt0331nnt收敛区间为)3,3(，即Dxx)2,4()3,3(1。24.微分xeyyyxcos23特解形式应设为y（）A.xCexcosB.)sincos(21xCxCexC.)sincos(21xCxCxexD.)sincos(212xCxCexx解：i1不是特征方程的特征根，特解应设为)sincos(21xCxCex。应选B。25.设函数)(xfy是微分方程xeyy2的解，且0)(0xf，则)(xf在0x处（）A.取极小值B.取极大值C.不取极值D.取最大值解：有Aexfexfxfxx0)()()(0020200。二、填空题（每题2分，共30分）26.设52)(xxf，则]1)([xff_________.解：1343)52(23)(25)1)((2]1)([xxxfxfxff。27.!2limnnn____________.解：构造级数0!2nnn，利用比值判别法知它是收敛的，根据收敛级数的必要条件0!2limnnn。28.若函数02203)(4xaxxexfx，，在0x处连续，则a____________.得分评卷人第4页共15页解：63)(lim;2)(lim00axfaxfxx。29.已知曲线22xxy上点M处的切线平行于直线15xy，则点M的坐标为________解：)4,2(42512Myxxy。30.设12)(xexf，则)0()2007(f_________解：12)(2)(xnnexf12007)2007(2)0(ef。31.设12132ttytx，则1tdxdy__________解：314tdxdy11tdxdy。32.若函数bxaxxf2)(在1x处取得极值2，则a______，b_____解：0202)(babaxxf；4;22baba。33.dxxfxf)()(_________解：Cxfxfxdfdxxfxf|)(|ln)()()()(。34．1021dxx_________解：4411102圆Sdxx。35.向量kjia43的模||a________解：261169|43|kji。36.已知平面1：0752zyx与平面2：01334mzyx垂直，则m______解：20564},3,4{};5,2,1{21mmmnn。37.设22),(yxxyyxf，则),(yxf________解：xyyxyxxyyxf2)(),(222yxyxf2),(2。38.已知I21220),(yydxyxfdy，交换积分次序后，则I_______解：21,220|),(yxyyyxD210,122|),(0,220|),(xyxyxxyxyx，所以次序交换后为2101220220),(),(xxdyyxfdxdyyxfdx。39.若级数11nnu收敛，则级数1111nnnuu的和为_______解：111322111111111nnnnuuuuuuuuS，而01lim1nnu，所以11limuSSnn。40.微分方程02yyy的通解为________解：有二重特征根1，故通解为xxxeCeCy21（21,CC为任意常数）。三、判断题（每小题2分，共10分）你认为正确的在题后括号内划“√”，反之划“×”.41.若数列nx单调，则nx必收敛.()解：如数列n单调，但发散，应为×。42.若函数)(xf在区间ba,上连续，在),(ba内可导，且)()(bfaf，则一定不存在),(ba，使0)(f.()解：如2xy在3,1满足上述条件，但存在]3,1[0，使得0)(f，应为得分评卷人第5页共15页×。43.1sinsinlimcos1cos1limsinsinlimxxxxxxxxxxx由洛比达法则.()解：第二步不满足00或，是错误的，事实上1sin1sin1limsinsinlimxxxxxxxxxx。应为×。44.2ln23102ln02dxex.()解：因1102xe，由定积分保序性知：2ln232ln102ln02dxex，应为√。45.函数),(yxf在点),(yxP处可微是),(yxf在),(yxP处连续的充分条件.()解：),(yxf在点),(yxP处可微可得),(yxf在点),(yxP处连续，反之不成立，应为应为√。四、计算题（每小题5分，共40分）46．求xxxsin0lim.解：xxxxxxxxxxxxxeeexlnlim~sinlnsinlimlnsin0sin000limlim10lim11lim1lnlim0200eeeexxxxxxxx。47.求函数3211xxxy的导数dxdy.解：两边取自然对数得|1|ln|1|ln31||ln2||lnxxxy，----（1分）两边对x求导得：xxxyy11113121，-------（3分）即)1(31)1(312xxxyy，------（4分）故dxdy