第三讲相似理论解析

相似理论同济大学汽车实验室周鋐同济大学汽车实验室相似理论概述概述相似的概念相似原理相似第一定理（正定理）相似第二定理（逆定理）相似第三定理（∏定理）相似准则的求法方程分析量纲分析同济大学汽车实验室相似理论概述研究自然现象的方法理论分析方法：以数学为主要工具实验方法：1.直接试验法--可对试验对象直接进行试验不受试验条件的限制，如汽车性能试验。2.模型试验法--受到试验条件的限制，不能对试验对象直接进行试验，只能对模型进行试验，用其试验结果来反映实物，如汽车空气动力学试验。模型试验的原则：试验结果能真正反映实物规律。同济大学汽车实验室相似的概念几何相似（空间相似）L'3''3'2''2'1''1Cllllll其中CL为常数。同济大学汽车实验室相似的概念时间相似：对应的时间间隔互成比例t'5''5'2''2'1''1Ctttttt某系统压力和时间的关系图其中Ct为常数同济大学汽车实验室相似的概念运动相似：方向一致，大小成一定比例其中CV为常数。V'i''i'2''2'1''1Cvvvvvv不同直径圆管中流体运动同济大学汽车实验室相似的概念动力相似：对应时刻，对应点所受的力互成比例应力场相似：对应时刻，对应点应力方向一致，大小互成比例温度场相似，电磁场相似……其中Cσ为常数。aCmmamamFF''''''''''''其中Ca为常数。C'2''2'1''1同济大学汽车实验室相似定理相似第一定理：凡彼此相似现象，必定具有数值相同的相似准则。相似第二定理：凡具有同一特性的现象（即被同一关系方程式或完整的关系方程式组所描述的现象）当单值条件彼此相似，且由单值条件所包含的物理量组成的相似准则在数值上相等，则这些现象必须相似。相似第三定理：描述现象的关系方程式可以转变成相似准则之间的关系式。同济大学汽车实验室相似第一定理什么是相似准则？例1：两三角形相似，则其中称相似倍数同一三角形两边之比：或代入得：或：1'1''1LCll2'2''2LCll3'3''3LCll'12'2'1Kll''12''2''1Kll21'2'1'22'11'`'2''1lllllClCllLL12'12''12KKK称各相似三角形间数值都以这一相同的比值21ll为相似准则。相似三角形的相似准则就是同一三角形某两边长之比。321LLLccc同济大学汽车实验室相似第一定理相似第一定理凡彼此相似现象，必定具有数值相同的相似准则。特点：1.相似准则的个数取决于所研究现象的内在规律。2.相似准则是无量纲的（零因次）不变量，可用∏表示。同济大学汽车实验室相似第一定理运动相似的相似准则相似的两系统瞬间速度分别为，由两系统相似：相似倍数进一步改写：''dtdlV，'''',,dtdlVv'''CvvtCtt'''ltvccc'''''''dtCdlCdtdlVCtlv即：'''dtdlVCCCltv由可得：'''dtdlV1CCCltv上式左端称为相似指标，它标志着两个运动系统是否相似。彼此相似的现象，其相似指标等于1。（相似第一定理另一表达）lCll'''同济大学汽车实验室相似第一定理1ltvCCC改写为1'''''''llttVV不变量lVtltVltV'''''''''即称两个运动相似系统间数值相同的综合量为相似准则.lVt力相似的相似准则)N(e也称牛顿准则，不变量mvFt1CmCvCtCF相似指标运动相似的相似准则同济大学汽车实验室相似第一定理2222221zzzzzzxyzzvvvvvvpvvvgxyzzxyz0yxzvvzxyz2222221xxxxxxxyzxvvvvvvpvvvgxyzxxyz2222221yyyyyyxyzyvvvvvvpvvvgxyzyxyz粘性不可压缩流体的稳定等温运动物理现象，以下用四个方程来描述。在气流不超过0.3～0.4倍声速时，气流密度相对变化小，可视为性不可压缩流体。X轴Y轴Z轴式中：－各轴的重力加速度分量－流体动力粘度－流体密度－压力,,xyzgggp同济大学汽车实验室相似第一定理例2：汽车风洞中空气流动、管路中液体流动等不可压缩流体稳定等温运动物理现象的数学描述为以下用四个方程组，根据质量守恒定律，粘性不可压缩流体稳定等温运动现象有三个相似准则：vlRe1（雷诺准则）22vglFr（傅鲁德准则）23vpEu（欧拉准则）同济大学汽车实验室相似第一定理总结1.各相似倍数不能是任意的，它们受相似指标式的制约；2.将相似倍数代入相似指标式得综合量──相似准则；3.无量纲是相似准则的主要属性；4.相似准则的个数取决于现象的物理本质。同济大学汽车实验室相似第二定理相似第二定理凡具有同一特性的现象（即被同一关系方程式或完整的关系方程式组所描述的现象）当单值条件彼此相似，且由单值条件所包含的物理量组成的相似准则在数值上相等，则这些现象必须相似。定理作用：阐明了两个现象相似的充分条件，即模型实验必须遵守的条件和法则。同济大学汽车实验室相似第二定理例3：以粘性不可压缩流体的稳定等温运动现象为例，当满足以下条件时，现象就彼此相似。（一）单值条件相似，包括：(1)几何条件相似（即空间条件所有具体现象都发生在一定的几何空间内）LClldd''''''d─管径l─管长(2)物理条件相似(即所具有具体现象都在具有一定物理性质的介质下进行)gnCgCC''',''','''─密度─粘度─重力加速度同济大学汽车实验室相似第二定理(3)边界条件相似（边界条件即所有具体现象都受到与其直接相邻的周围情况影响）即在入口及出口处的(4)初始条件相似（初始条件即现相的演变与初始状态有关）由于是稳定流动，故不计此条件。（二）由单值条件所包含的物理量所组成的相似准则相等vzzyyxxC'V''V'V''V'V''V不变量2'2''''''''VlgVlgFr不变量πlVlVRe''''''''''''（傅鲁德准则）（雷诺准则）同济大学汽车实验室相似第二定理例4：以运动为例，已知两个运动的相似准则数值相等即：tlVtlV'1LCCCtvllttVV式中为相似指标LtvCCC设：tdldV将对应量（相似倍数）lClltCttvCvv代入tdldv得：'''dtdlvCCClvt即'''dtdlv所以，当时（即相似指标=1）1lvtCCC表明两个运动能用完全相同的方程表示。同济大学汽车实验室相似第二定理1.若两个运动的单值条件完全相同，则两个运动是完全相同的同一运动。2.若两个运动的单值条件相似，则两个运动彼此相似。3.若两个运动的单值条件既不相同也不相似，则得到的仅是服从同一自然规律的两个互不相同也不相似的运动。现象相似相似准则数值相同+单值条件相似同济大学汽车实验室相似第三定理相似第三定理描述现象的关系方程式可以转变成相似准则之间的关系式。准则关系式可表达为：式中1，2，3，为正整数。定理作用：提供了一种由模型实验研究来揭示原型内在规律的方法。只要用适当的方法求出相似准则，再用模型实验数据拟合出，就可获知原型的内在规律。0),,(21nF0),,(21nF同济大学汽车实验室相似第三定理例5：讨论图示系统的动力相似问题kmavx现已知该系统的动力相似准则为：m/kt21x/at22mkvx3由相似第二定理知：模型与原型相似，必须相似准则相等，即1.用相似第二定理获得模型实验应遵守的条件22't'm'k''t''m''k为实物为模型，’'''m'k'v'x''m''k''v''x同济大学汽车实验室相似第三定理（a）若希望：时间相似倍数位移相似倍数则代入上式得：（b）假如原型运动周期太大或太小，希望改变模型的周期。则令时间的相似倍数为代入前式得实际条件：'t''t,1Ct即'x''xCx'k'm''m''k'v''v'a''a'k'm''m1''k2'v''v'a''a2,'t''tCt借助相似第二定理可以得出模型实验必须遵循的条件。同济大学汽车实验室相似第三定理2.应用相似第三、第一定理获得模型实验应遵守的条件将改写成：将每组的实验数据代入相似准则式可求得许多组对应值将其拟合成曲线，获得函数关系0,,F321122f133f''a,''v,''x,''t21''t''m''k''x''t''a22''m''k''v''x32122f1133f31132,与122f133f同济大学汽车实验室相似第三定理•根据第一定理，彼此相似的现象，相似准则必相等，准则函数关系也必相同。由此推广到实物,可得到v-t,a-t其他函数形式。•根据第二定理,可求出模型实验遵守的条件。•根据第三定理，可以求模型实验结果整理成相似准则间的函数式，以便把模型实验结果推广到原型中去。同济大学汽车实验室相似准则的求法1.方程分析a.相似转换法(以简单运动为例)(1)写出现象(微分与方程描述)原型中模型中(2)写出相似倍数的表示式原型与模型方程中对应量之比(3)将相似倍数表示式代入方程组进行相似转换，得出相似指标式因为所以(4)把相似倍数表示式代入相似指标式中，求得相似准则。整理后'dt'dl'v''dt''dl''vVC'v''vtC'T''TlC'l''l'''dtCdlCvCtlv'dt'dlCCCltv1ltvCCC1'l''l't''t'v''v不变量lvtltvltv'''''''''同济大学汽车实验室相似准则的求法1.方程分析b.积分类比法(以简单运动为例)(1)写出现象的基本微分方程组和全部单值条件原型中模型中(2)用方程式中的任何一项除以其他各项原型方程中相应的两项的比值，两者相等(3)将所有的导数用相应量的比值代替,便得出准则对于两相似现象，其中某量l的相似倍数为：则有比较和得：'dt'dl'v''dt''dl''v1'dt'dl'V1''dt''dl''V'''dtdlV''dt''dl''V常数lCll'''dtdlv常数lCllllll'''''''''1212lC'l''llC'dl''dl'l''llim'l''l'dl''dl同济大学汽车实验室相似准则的求法同理两式相除得将式中的导数用积分类比来代替，即可得出相似准则同理动力相似可表达成其结果与相似转换法完全一致。只有当已知描述现象的方程式的具体形式时，才能用这种方法导出形式相似准则。't''t'dt''dt't'l:''t''l'dt'dl:''dt''dl'dt'dl'V''dt''dl''V不变量lvtltvltv'''''''''dtdvmFmvFtmFmFdtdvdtdv''''''''''''同济大学汽车实验室相似准则的求法2.量纲分析法基本知识因次（量纲）──物理量测量单位的种类。如米、厘米、毫米是不同的测量单位，但属长度单位，用符号[L]表示[L]──长度各单位的因次基本量──在国际单位制（SI）中，当研究力学和机械运动现象时，取长度、质量和时间为“基本量”基本因次──基本量相应的因次，如[L]、[M]和[T]导出量──由上述基本量根据该物理量的定义或相应的物理定律导出的量。同济大学汽车实验室相似准则的求法a.量纲分析法的一般步骤(以物体受力运动为例)