第四章-相似原理及量纲分析

工程流体力学第四章相似原理与量纲分析第四章相似原理与量纲分析本章主要介绍流体力学中的相似原理，模型实验方法以及量纲分析法。解决流体力学问题的方法数学分析实验研究模型实验以相似原理为基础解决流体力学问题的方法数学分析实验研究模型实验解决流体力学问题的方法数学分析实验研究模型实验第一节流动的力学相似表征流动过程的物理量描述几何形状的如长度、面积、体积等描述运动状态的如速度、加速度、体积流量等描述动力特征的如质量力、表面力、动量等按性质分几何相似运动相似动力相似流动相似应满足的条件第一节流动的力学相似一.几何相似（空间相似）定义：模型和原型的全部对应线形长度的比值为一定常数。lChhllLL'''（4-1）以上标“＇”表示模型的有关量:长度比例尺（相似比例常数）lC面积比例尺:222''lACllAAC（4-2）体积比例尺:333''lVCllVVC（4-3）图4-1几何相似满足上述条件，流动才能几何相似第一节流动的力学相似第一节流动的力学相似定义：满足几何相似的流场中，对应时刻、对应点流速（加速度）的方向一致，大小的比例相等，即它们的速度场（加速度场）相似。图4-2速度场相似二运动相似（时间相似）加速度比例尺:（4-6）lvtvaCCCCtvtvaaC2'''注：长度比例尺和速度比例尺确定所有运动学量的比例尺。时间比例尺:速度比例尺:312123'''ttttCttt（4-4）tlvCCtltlvvC'''（4-5）第一节流动的力学相似运动粘度比例尺:体积流量比例尺:（4-7）VltlVVqVCCCCtltlqqC2333'''（4-8）vltlvCCCCtltlvvC222'''第一节流动的力学相似第一节流动的力学相似三.动力相似（时间相似）定义：两个运动相似的流场中，对应空间点上、对应瞬时作用在两相似几何微团上的力，作用方向一致、大小互成比例，即它们的动力场相似。图4-3动力场相似（4-10）2233''''vlFCCCtvltvlC又由牛顿定律可知：其中：为流体的密度比例尺。'C第一节流动的力学相似（4-9）IIttppFFFWWFFFFC''''力的比例尺：动力粘度比例尺:功率比例尺:（4-13）CCCCCFvvFPPCvlvFP32'''（4-14）CCCCCCvl'''有了模型与原型的密度比例尺，长度比例尺和速度比例尺，就可由它们确定所有动力学量的比例尺。压强（应力）比例尺:力矩（功，能）比例尺:CCCCCFllFMMCvllFM23'''（4-11）CCCCAFAFppCvAFppp2'''（4-12）第一节流动的力学相似定义：在几何相似的条件下，两种物理现象保证相似的条件或准则。第二节动力相似准则由式(4-10)得:122vlFCCCC（4-15）2222''''vlFvlF（4-16）NevlF22（4-17）当模型与原型的动力相似，则其牛顿数必定相等，即；反之亦然。这就是牛顿相似准则。NeNe'称为牛顿数，它是作用力与惯性力的比值。Ne或:令:一、重力相似准则（弗劳德准则）二、粘性力相似准则（雷诺准则）三、压力相似准则（欧拉准则）四、弹性力相似准则(柯西准则)五、表面张力相似准则（韦伯准则）六、非定常性相似准则（斯特劳哈尔准则）流场中有各种性质的力，但不论是哪种力，只要两个流场动力相似，它们都要服从牛顿相似准则。第二节动力相似准则一、重力相似准则glFCCCVggVWWC3''''将重力比带入式(4-15)得：121glvCCC2121'''glvlgvFrglv21或:令:（4-18）（4-19）（4-20）称为弗劳德数，它是惯性力与重力的比值。Fr当模型与原型的重力相似，则其弗劳德数必定相等，反之亦然。这就是重力相似准则（弗劳德准则）。重力场中，则：1,'gCgg21lvCC（a）二、粘性力相似准则将粘性力之比带入式(4-15)得：或:令:（4-21）（4-22）（4-23）（b）FlvCCCC1CCCClv1vlvCCCvllv''''vllv'''Revlvl称为雷诺数，它是惯性力与粘性力的比值。Re当模型与原型的粘性力相似，则其雷诺数必定相等，反之亦然。这就是粘性力相似准则（雷诺准则）。模型与原型用同一种流体时，，则：1CClvCC1三、压力相似准则或:令:（4-24）（4-25）（4-26）当压强用压差代替：将压力比带入式(4-15)得：2'''lpFCCpAApFFC12vpCCC22'''vpvpEuvp2称为欧拉数，它是总压力与惯性力的比值。Eu当模型与原型的压力相似，则其欧拉数必定相等，反之亦然。这就是压力相似准则（欧拉准则）。2vpEu22'''vpvp（4-27）（4-28）欧拉数:欧拉相似准则:四、弹性力相似准则（柯西准则）将弹性力之比带入式(4-15)得：2'''''''lkeeFCCVdVKAVdVAKdpAAdpFFC（4-29）12kvCCC或:（4-30）KvKv22'''令:（4-31）CaKv2称为柯西数，它是惯性力与弹性力的比值。Ca当模型与原型的弹性力相似，则其柯西数必定相等，即；反之亦然。这就是弹性力相似准则（柯西准则）。CaaC'四、弹性力相似准则（马赫准则）若流场中的流体为气体，由于（c为声速）则弹性力之比带入式(4-15)得：（4-32）2cK22lcFCCCC1cvCC或:（4-33）cvcv''令:（4-34）Macv称为马赫数，它是惯性力与弹性力的比值。Ma当模型与原型的弹性力相似，则其马赫数必定相等，即；反之亦然。这就是弹性力相似准则（马赫准则）。MaMa'称为马赫数，它是惯性力与弹性力的比值。当模型与原型的弹性力相似，则其马赫数必定相等，反之亦然。这就是弹性力相似准则（马赫准则）。五、表面张力相似准则将表面张力之比带入式(4-15)得:lFCCllFFC'''（4-35）12CCCCvl或:（4-36）lvlv22''''令:（4-37）Welv2称为韦伯数，它是惯性力与表面张力的比值。We当模型与原型的表面张力相似，则其韦伯数必定相等，即；反之亦然。这就是表面张力相似准则（韦伯准则）。WeWe'六、非定常性相似准则或:令:（4-38）（4-39）（4-40）将惯性力之比带入式(4-15)得：13'''''tvlxxItItFCCCCtvVtvVFFC1tvlCCCvtltvl'''Srvtl称为斯特劳哈尔数，它是当地惯性力与迁移惯性力的比值。Sr当模型与原型的非定常流动相似，则其斯特劳哈尔数必定相等，即；反之亦然。这就是非定常相似准则（斯特劳哈尔准则）。SrSr'以上给出的牛顿数、弗劳德数、雷诺数、欧拉数、柯西数、马赫数、韦伯数、斯特劳哈尔数均称为相似准则数。如果已经有了某种流动的运动微分方程，可由该方程直接导出有关的相似准则和相似准则数，方法是令方程中的有关力与惯性力相比。第二节动力相似准则第三节流动相似条件流动相似：在对应点上、对应瞬时，所有物理量都成比例。相似流动必然满足以下条件：1．任何相似的流动都是属于同一类的流动，相似流场对应点上的各种物理量，都应为相同的微分方程所描述；2．相似流场对应点上的各种物理量都有唯一确定的解，即流动满足单值条件；3．由单值条件中的物理量所确定的相似准则数相等是流动相似也必须满足的条件。模型实验主要解决的问题：1．根据物理量所组成的相似准则数相等的原则去设计模型，选择流动介质；2．在实验过程中应测定各相似准则数中包含的一切物理量；3．用数学方法找出相似准则数之间的函数关系，即准则方程式。该方程式便可推广应用到原型及其他相似流动中去。第三节流动相似条件【例4-1】如图4-4所示，为防止当通过油池底部的管道向外输油时，因池内油深太小，形成油面的旋涡将空气吸入输油管。需要通过模型实验确定油面开始出现旋涡的最小油深minh。已知输油管内径d=250mm，油的流量qv=0.14m3/s，运动粘度sm25105.7。倘若选取的长度比例尺511C，为了保证流动相似，模型输出管的内径、模型内液体的流量和运动粘度应等于多少？在模型上测得mmh50'min，油池的最小油深minh应等于多少？图4-4油池模型【解】按长度比例尺得模型输出管内径）（mmdCdl505250'在重力场中gg'，由弗劳德数相等可得模型内液体的流速和流量为vvhhv212151''）（smqvdvdqVV32521220025.09.5514.0515154''4'由雷诺数相等可得模型内液体的运动粘度为）（smvvvddvv2652310708.618.11105.751'''油池的最小油深为）（mmChhl250505'minmin【例4-2】密度和动力粘度相等的两种液体从几何相似的喷嘴中喷出。一种液体的表面张力为0.04409N/m，出口流束直径为7.5cm，流速为12.5m/s，在离喷嘴10m处破裂成雾滴；另一液体的表面张力为0.07348N/m。如果二流动相似，另一液体的出口流束直径、流速、破裂成雾滴的距离应多大？【解】要保证二流动相似，它们的雷诺数和韦伯数必须相等，即vllv''''lvlv22''''或1lvCCCCClv2故有667.104409.007348.0CCv6.0667.111vlCC另一流束的出口直径，流速和破裂成雾滴的距离分别为）（cmdCdl5.45.76.0）（smvCvl83.205.12667.1'）（mlCll0.6106.0'第四节近似模拟试验以相似原理为基础的模型实验方法，按照流体流动相似的条件，可设计模型和安排试验。这些条件是几何相似、运动相似和动力相似。前两个相似是第三个相似的充要条件，同时满足以上条件为流动相似，模型试验的结果方可用到原型设备中去。但是，要做到流动完全相似是很难办到（甚至是根本办不到）的。比如，对于粘性不可压缩流体定常流动，尽管只有两个定性准则，即Re和Fr（FrfEuRe,——非定性准则），但是要想同时满足rFFr,eRRe,常常也是非常困难的。因为：eRRe，lvvl或llvvlvCCC1rFFr，lgvglv22或glvglvCCCCCC222在重力场中做试验，gg即1gC则有：11lvCCC，lvCC2当选用相同的流动介质，即，1C11lvCC，lvCC2若取101llCl时，101vvCv，16.312vvCv这就使得二者发生矛盾，故不能选用同种介质。当令21vvCC时，则有：23lCC取101lC时，6.311C，这个比例也是很难办到的，如选用20℃的水气比拟，)/(101526sm气，)/(10126sm水，于是151C，也根本达不到要求。不过，若没有其它办法时，此方法有时也可采用。如降低水的运动粘度，即对模型中的流动介质加温。若取60℃的水作模型中流动介质，可有)/(10477.026sm，则5.31115477.0C可近似地满足要求。简化模型实验方法中流动相似的条件，除局部相似之外，还可采用自模化特性和稳定性。在工程实际中的模型试验，好多只能满足部分相似准则，即称之为局部相似。如上面的粘性不可压定常流动的问题，不考虑自由面的作用及重力的作用，只考虑粘性的影响，则定性准则只考虑雷诺