第23讲相似理论

第23讲相似理论(SimilarityTheory)主要内容：1.流动相似及相似准数2.因次分析法3.相似理论及因次分析法的应用粘性流体运动的N-S方程，含有非线性的二价偏微分项，除了少数简单流动能够得到解析解外，大多数三维流动很难得到理论的精确解，即使用现代高速计算机进行数值解，也难以获得足够的精度。因此，工程上常采用实验的方法研究复杂流动，如飞机的风洞实验、舰船的水槽、水池实验。舰船、飞机的尺寸往往很大，建造1：1的模型进行实验，则模型和巨大的实验场都需要巨额费用，所以不得不缩小模型比例，进行几何相似的模型实验。这就需要知道什么条件下模型实验的流场能真实的再现实物流场，这就是相似理论要解答的问题。相似理论是指导流体力学实验的理论，它告诉我们应在什么条件下进行实验，测量那些物理量，如何应用和整理实验结果。两个几何形状的对应边成比例，对应角度相等，称为几何相似。长度比CL是相似准数，在几何相似的系统中，相似的点称为对应点，在对应点上：①几何相似1流动相似及相似准数（1）流动相似1L′2L′3L′1α′1L′′2L′′3L′′1α′′LCLLLLLL==′′′=′′′=′′′L332211L,,2211αααα′′=′′′=′LCzzyyxx=′′′=′′′=′′′②流动的力学相似定义：对应时刻、对应点上的物理量成比例，这样的两个流场称为力学相似的流场，简称相似流动。流动相似的前提是几何相似，流场几何相似是指：除了实物和模型必须几何相似外，流场的其它几何边界也必须相似。例如，研究水翼艇的水翼绕流问题，除了模型与实物相似外，模型实验时的攻角要与实物相等，水翼浸入液面以下的深度也必须保持同一长度相似常数。对应时刻是指：tCtt=′′′动力相似或流动相似的数学形式为：FpViiCFFCtxptxpCtxutxu=′′′=′′′′′′′′=′′′′′′′′′，，),(),'(),(),(上面公式表示模型和实物流场在对应点上、对应时刻的速度比、压力比、作用力比，这些比例在全流场为同一常数。相似流动中，指定的具有代表性的物理量称为特征物理量。流体力学问题中的特征物理量主要有：对于矢量物理量，除了大小成比例，方向要相同。如果考虑流体的可压缩性，对应的热力学参数也成比例。③特征参量与无因次量•特征长度L•特征时间t0•特征速度U•特征压力p0•特征密度ρ0•特征粘度μ0任一物理量与其特征量之比称为无因次量，下面的量无因次化处理后，分别称为无因次速度、无因次压力和无因次时间：LtUtpppUuuoii===,,定理：相似流场中，在对应时刻，对应点上的同名物理量的无因次量相等。以速度为例简要证明，根据动力相似的要求，相似流场中任意两组对应点的速度之比相等：ViiCUUuu=′′′=′′′若以其中一组对应点的速度作为两流场的特征速度，则有：iiiiuUuUuu′′=′′′′=′′=′该定理表明，所有相似流动的解相似，其无因次解相等。可见，只要有了流场的无因次解，就可以通过无因次关系得到相似系统中任意一个流动的有因次解。也就是说，相似理论把所有的相似流动统一为一个无因次流动。当然，无因次流场的求解同样是一个流体力学问题，需要用理论的、数值的或实验的方法求解。理论上，任意一个流动由基本方程和定解条件唯一确定。因此，流动相似的充要条件：满足同一微分方程组，边界条件和初始条件相似。对于船舶来讲，水可视作不可压粘性流体，所以以不可压粘性流体为例，基本方程和边界条件为：④不可压粘性流体流动相似的充要条件0=∂∂iixuiiijijiuxpfxuutu21∇+∂∂−=∂∂+∂∂ρμρ（连续方程）（N－S方程）（固壁上：固壁无滑移条件）constUuii==αcos0)0(0==∇⋅+∂∂ztζζu0=iu（无穷远：来流条件）（自由面运动学条件）首先将基本方程和边界条件写成无因次形式，为此要选取适当的特征量：特征时间、特征速度、特征长度、特征单位质量力、特征压力，于是有无因次量：00,,,,pppgffUuuLxxtttiioiiii=====将上述各关系代入原方程，得到无因次量表示的方程：0)(0=∂∂iixuLUiiijijiuLUxpLpgfxuuLUtutU222002000)()()()(∇+∂∂+=∂∂+∂∂ρμρ0=∂∂iixuLU0用去除连续方程，用去除N－S方程，得无因次方程：LU20iiijijiuRexpEufFrxuutuSt2211∇+∂∂+=∂∂+∂∂式中的无因次数：μρρLUReUpEugLUFrtULSt0200000,,,====（无因次连续方程）（无因次N－S方程）分别称为斯特罗哈(Strouhal)数、傅汝德(Froude)数、欧拉(Euler)数和雷诺(Reynolds)数。依照相同的办法，可以导出无因次的边界条件：0=iuconstUuii==αcos00=∇⋅+∂∂ζζutSt无因次的边界条件出现了新的无因次数，而在几何相似中，角度是必须相等。iα（固壁无滑移条件）（无穷远来流条件）（自由面运动学条件）于是，基本方程组的一般形式可表示为：)(α，，，，，，EuStFrRetxuuiii=)(α，，，，，，EuStFrRetxppi=如果方程和边界条件中，所有的无因次参数分别相等：eReRuEuErFrFtStS′′=′′′=′′′=′′′=′,,,所以不可压粘性流动相似的充要条件是：几何相似的不可压粘性流场中，若对应的无因次参数Re、Fr、St、Eu分别相等，则流动相似。无因次参数是决定流动相似的重要条件，故称为相似准数。则对应的流动问题的无因次方程有相同的解，也就是说流动相似。或：ννρρ′′′′′′=′′′′′′′′′=′′′′′′′′′=′′′′′′′′′=′′′LULUUpUpLgULgUtULtUL002002000000,,,（2）相似准数的物理意义Re数是惯性力与粘性力的量级之比，反映粘性的影响。Re越大，粘性影响越小，惯性力占主导；Re越小，粘性影响越大，粘性力占主导。①Re数22uuuxyν⎡⎤∂∂⎣⎦=∂∂⎡⎤⎣⎦惯性力粘性力Re02020==ννLULULU∼所以，研究粘性作用的相似问题时，Re数是决定性的相似准数，即粘性流动的性质随Re数的改变而变化。例如，层流和湍流的转换、卡门涡街的产生和涡列振荡周期、水下航行器的阻力系数等都与Re数相关。Re数无限大时，惯性力完全占主导，粘性力可忽略，即成为理想流体Fr数是惯性力与重力的量级之比，反映重力的影响。在重力起重要作用的流场中，Fr是决定性的相似准数。例如水波。②Fr数∼uuxg∂⎡⎤⎣⎦∂=⎡⎤⎣⎦惯性力重力FrgLU=0舰船在水面航行时，Fr还起着无因次航速的作用，影响兴波的形状，从而影响兴波阻力。③St数St数是局部惯性力与对流惯性力的量级之比，是反映流动非定常性的相似准数。[][]xuutu∂∂∂∂=对流惯性力局部惯性力SttULLUtU==002000∼对于定常流动，无需Fr数的相似。对于周期性非定常运动，将特征时间用频率代替，则：0UfLSt=τ==ft10卡门涡街、船舶摇荡、螺旋桨转动都将引起流体的周期性运动，对这些运动进行实验研究时，必须保证St数相等。在螺旋桨模型实验中，采用St的变形形式：nDUpp=λ式中λp为进速系数，Up为进速，n为螺旋桨转速，D为螺旋桨直径。④Eu数Eu数是压力和惯性力的量级之比，是反应压力影响的相似准数。液体中的空泡现象和高速气流中的激波都与压力的变化有关。∼[][]xuuxp∂∂∂∂=ρ1惯性力压力EuUpLULp==200200ρρ在研究空泡问题时，往往不使用Eu数，而使用空泡数：20021Uppvρσ−=pv是试验温度时液体的饱和蒸汽压。在气体动力学中，运动速度较高时，必须考虑气体的可压缩性，这时，常用马赫数代替Eu数：aVMa=020202002001kMakUaUkkpUpEu====ρρ式中k为气体绝热指数，对于空气k=1.4，Ma0为特征马赫数。因次，马赫数反应流体的可压缩性，考虑压缩性时必须保证马赫数相等。如研究导弹或高速飞机的气动性能。Eu数与马赫数的关系：（3）流动的完全相似流动相似的充要条件是全部相似准数相等，称为完全相似。但这是不可能实现的，因为相似准数之间可能是矛盾的。所以，进行模型实验时要分清主次，首先保证那些与所研究现象密切相关的相似准数相等，而忽略哪些不是很重要的相似准数。这种只保证部分相似准数相等的实验，称为部分相似。因只保证局部相似而带来的误差称为尺度效应。在气体动力学中，根据流场的速度将流动分为亚音速(Ma1)、跨音速(Ma＝1)和超音速(Ma1)。不同流动状态，压缩性的影响程度不同。亚音速不会产生激波，机身、机翼设计成钝头尖尾；超音速则产生激波，为了减少激波阻力，机身、机翼设计成尖头尖尾；跨音速流场更为复杂，应该避免。2因次分析法（1）物理量的单位前面通过对已知方程组的无因次化处理，得到了相应的相似准数。对于很多实际问题，方程是未知的，这时就要通过因次分析法导出相似准数，建立相似条件。物理量名称单位名称单位符号长度米m质量千克（公斤）kg时间秒s热力学温度开【尔文】K电流安【培】A发光强度坎【德拉】cd物质的量摩【尔】mol度量物理量要有单位，单位分为基本单位和导出单位。国际单位制SI有七个基本单位。在流体力学中，选用秒s、米m、千克kg、开尔文K作为一个基本单位系统。用基本单位系统来表示物理量单位的式子，称为因次，用［］表示。（2）因次流体力学中常用物理量的因次如下：长度［L］质量［m］时间［t］温度［T］面积［S］＝［L2］速度［V］＝［Lt-1］加速度［a］＝［Lt-2］力［F］＝［ma］＝［mLt-2］压力［p］＝［F/S］＝［mL-1t-2］密度［ρ］＝［mL-3］粘性系数［μ］＝［mL-1t-1］气体常数［R］＝［L2t-2T］相互独立的因次称为基本因次。在动力学中，时间、长度和质量三者的因次独立无关，是基本因次。一个物理现象可能包含许多个有因次的物理量：（3）基本因次和基本量4434421LL因次相关量nikaaa,,,,1+43421L因次无关（基本）量kaaa,,,21如果一个物理量的因次不能用其他物理量的因次组合来表示，则这个物理量和其他物理量是因次独立无关的，称为基本物理量，简称基本量。如果一个物理量的因次能够用其他物理量的因次组合来表示，则这个物理量和其他物理量是因次相关的。其中有些是因次相关的，有些是因次无关的。对于因次相关量，可以用基本量的组合表示，并有以下关系：例如，在圆柱绕流中，压力是因次相关量，密度、来流速度和直径是因次无关量，压力的因次可用密度、来流速度和直径的因次组合表示，这就是压力系数：),,1(,][][][][2121nkiaaaakmkmmiLL+==kmkmmiiaaaaL2121=π321][][][][0mmmdVppρ=−321][][][][1321mmmLLtmLtmL−−−−=式中m1，m2，…，mk是整数或整分数。⎪⎩⎪⎨⎧−=−−=++−=⇒213123211mmmmm][][20Vppρ=−2021VppCpρ−=对一个物理现象进行因次分析时，要先选择一组因次彼此独立的有因次量做为基本量，其余的因次相关量可以依据基本量的指数积化为无因次量。基本量的数目等于基本因次的数目，对于运动学，基本量有2个；对于不讨论温度及热交换的不可压流动，基本量有3个；对于讨论温度场的可压缩流动，基本量有4个。⎪⎩⎪⎨⎧===021321mmm解得：于是有：则压力系数可定义为：（4）因次分析法基本定理π定理：任一物理现象中，如果待求物理量b与n个有因次量a1、a2、…、an和r个无因次量α1、α2、…、αn有关：()rnkkaaaaafbααα,,,;,,,,,,21121LLL+=),,,;,,,(2121rknfαααππππLL−=式中：),,2,1(2121kniaaaakiiimkmmiki−==+LLπ2121kmkmmaaabL=π并且a1、a2、…、ak(k=n)为基本量，则无因次关系为