高等数学下册练习题及部分答案

1高等数学下册练习题及参考答案(请一天做五页)第八、九章多元函数微积分学第一节多元函数的基本概念1．填空题（1）函数1ln()zxy=+的定义域是.（2）函数22ln()1xzyxxy=−+−−的定义域为.（5）极限20sin()limxyxyy→→=.（6）极限0024limxyxyxy→→−+=.（7）极限2lim1yxyxy→→+∞⎛⎞+=⎜⎟⎝⎠.（8）函数33xyzxy+=+的间断点是.（9）设xyyxxyyxf−+=+22),(，则______________),(=yxf.2．选择题（1）函数221zxy=−−的定义域是().A.{}22(,)1Dxyxy=+=B.{}22(,)1Dxyxy=+≥C.{}22(,)1Dxyxy=+D.{}22(,)1Dxyxy=+≤（2）极限22(,)(0,0)limxyxyxy→+().A.等于0B.等于1C.等于21kk+D.不存在（3）极限242(,)(0,0)limxyxyxy→+().A.等于0B.不存在C.等于12D.存在且不等于0及12（4）设22(,)xyfxyyx=−，则,xyfyx⎛⎞=⎜⎟⎝⎠().A.42xyyx−B.2244xyyx−C.2244xyyx+−D.2244yxyx−−第二节偏导数及其在经济分析中的应用21.填空题（1）设,yuxyx=+则uy∂∂=_____________.（2）设325yxz=，则()=∂∂−1,1yz_______________.（3）设2223zxxyy=+−，则2zxy∂=∂∂__________.（4）设arctanyzx=，则2zxy∂=∂∂_____________.（5）生产甲、乙两种产品的产量分别为x和y时的成本为2(,)Cxyx=+2135002yxy++，则(,)Cxy对x的边际成本为_____________.2.选择题（1）设(),zfxy=，则00(,)xyzy∂=∂（）.A.00000(,)(,)limxfxxyyfxyxΔ→+Δ+Δ−ΔB.0000(,)(,)limxfxxyfxyxΔ→+Δ−ΔC.00000(,)(,)limxfxxyfxyxΔ→+Δ−ΔD.000(,)limxfxxyxΔ→+ΔΔ（2）函数(,)fxy在点00(,)xy处连续是它在该点偏导数存在的（）.A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件（3）设zxy=，则(1,1)zx∂=∂().A.0B.21C.1−D.1（4）二元函数yzx=，则(),1xez=().A.0B.1C.eD.1e−（5）设logxzy=，则(,)eedz=().A.()1dxdye−B.()1dxdye−−C.()1dxdye+D.()1dxdye−+（6）设zxy=，则zxyxyz∂∂∂⋅⋅=∂∂∂().A.1−B.0C.1D.3（7）设()sin3zyx=−，则zy∂=∂().A.()cos3yx−B.()cos3yx−−C.()3cos3yx−D.()3cos3yx−−（8）设2xyzeyx=+，则(1,2)zy∂=∂（）.3A.1e+B.21e+C.21e+D.21e−3.求223yxyxz++=在点)2,1(处的偏导数()()2,12,1,yzxz∂∂∂∂.4.求函数)2cos(yxyz−=偏导数yzxz∂∂∂∂,.第三节全微分及其应用1.填空题（1）设arctan()zxy=，则=dz_____________.（2）设22xxyze+=，则=dz_____________.（3）如果),(yxfz=在),(yx处有偏导数zx∂∂，zy∂∂，且，则),(yxfz=在),(yx处可微.其全微分dz=.2.选择题（1）设yxz=，则=dz（）.A.()dydxxy+B.⎟⎠⎞⎜⎝⎛+xdydxxyxylnC.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+dyyxdxxxyln1D.()xdyydxxylnln+（2）二元函数),(yxfz=在点),(00yx处可导（指偏导数存在）与可微的关系是（）.A.可导必可微B.可导是可微的充分必要条件C.可微必可导D.可微不一定可导（3）函数),(yxf在点),(00yx处连续,且两个偏导数00(,)xfxy，00(,)yfxy存在是),(yxf在该点可微的().A.充分条件,但不是必要条件B.必要条件,但不是充分条件C.充分必要条件D.既不是充分条件,也不是必要条件（4）设lnxzy=则=)1,1(dz（）.A.11xy−B.11dxdyxy−C.dxdy+D.dxdy−（5）设xyzu=，则du=（）.A.yzdxB.xzdyC.xydzD.xydzxzdyyzdx++3.已知sinxzy=，求dz.4.设yxexyz−+=2，求dz.5.设xyxzln=，求dz.6.求下列函数的全微分：4（1）yzxyx=+（2）xyze=（3）22xzxy=+（4）xyuz=第四节多元复合函数的求导法则1.填空题（1）设22(,)zfxyxy=−可微，则zy∂=∂_____________.2．设zxyyt=+，而2xy=，sintx=，求dzdx.3．设2xzy=，其中2xuv=−，2+yuv=，求zu∂∂，zv∂∂.4．设22()xyzxy=+，求zx∂∂，zy∂∂，dz.5．设(,,)0Fxxyxyz+++=，求zx∂∂，zy∂∂，dz.6.设23(23)xyzxy+=+，求dz.7.设函数2(,)xyzfxye=，求zx∂∂，zy∂∂.8.设()zxyxfu=+，其中yux=，()fu为可导函数，证明zzxyzxyxy∂∂+=+∂∂.9.设f具有二阶连续偏导数，(ln,)zfxyyx=−，求dz，22zx∂∂，2zxy∂∂∂.第五节隐函数的求导公式1.填空题（1）已知lnzxyz=，则zx∂=∂_____________.2．选择题（1）已知sin0yyxε−−=（01ε），则dydx=（）.A.1cosyε+B.11cosyε−C.1cosyε−D.11cosyε+（2）设(2)yzxy=+，则(0,1)zx∂=∂().A.1B.2C.3D.053.设330zxyz−=，求zx∂∂，zy∂∂，dz，2zxy∂∂∂.4.设222xya+=，求dydx，22dydx，.6.设22lnarctanyxyx+=，求dydx.8.设1(2)xzxy=+，求dz.9.设(,)zzxy=由方程222zyxyzye++=，求dz.第六节多元函数的极值及其应用1.填空题（1）函数2246812zxxyyxy=+−+−+的驻点是____________.（2）()22,4()fxyxyxy=−−−的极大值为__________________.（3）如果函数),(yxf在点),(00yx处有极值,且两个一阶偏导数存在,则有__________________.（4）3322339zxyxyx=−++−的极小值点为__________________.2.选择题（1）函数22)1(yxz−+=的驻点是（）.A.(0,0)B.(0,1)C.(1,0)D.(1,1)（2）函数zxy=在点(0,0)（）.A.有极大值B.有极小值C.不是驻点D.无极值（3）二元函数3341)(3yxyxz−−+=的极值点为（）.A.)2,1(B.)2,1(−C.)2,1(−D.)2,2(−−3.求函数33(,)3fxyxyxy=+−的极值.4.某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与13元，生产x单位的产品甲和生产y单位产品乙的总成本是：22(,)2Cxyxxyy=++（元）求两种产品的产量各为多少时，利润最大？最大利润为多少？5.设生产某种产品的数量与所用两种原料A,B的数量,xy间有关系式yxyxp2005.0),(=，欲用150元购料，已知A,B的单价分别为１元和２元，问购两原料各为多少可使生产的数量最多？7.某企业在雇用x名技术工人、y名非技术工人时，产品的产量228123Qxxyy=−+−.若企业只能雇用6230人，那么该雇用多少技术工人、多少非技术工人才能使产量Q最大？第七节二重积分1.填空题（1）交换10(,)yydyfxydx∫∫的积分次序______________________.（2）交换1100(,)xdxfxydy−∫∫的积分次序______________________.（3）交换2142(,)ydyfxydx−∫∫的积分次序______________________.（4）交换2211(,)xdxfxydx∫∫的积分次序______________________.（5）设(){}4,22≤+=yxyxD，则=∫∫Ddσ3______________.（6）当D是由x轴，y轴及022=−+yx围成的区域时，=∫∫dxdyD___.2．选择题（1）1100(,)xdxfxydy−∫∫=（）.A.1100(,)xdyfxydx−∫∫B.1100(,)ydyfxydx−∫∫C.1100(,)xdyfxydx−∫∫D.1100(,)dyfxydx∫∫（2）若D为圆形区域=≤+≤∫∫Ddxdyyx则,9422().A.πB.3πC.5πD.2π（3）0111xydxdy≤≤−≤≤∫∫=().A.1B.1−C.2D.2−（4）设exxyxD==、轴、由ln围成，则()=∫∫Ddyxfσ,（）.A.()110,edxfxydy∫∫B.()ln00,exdxfxydy∫∫C.()100,yedyfxydx∫∫D.()10,yeedyfxydx∫∫（5）1200(,)xdxfxydy=∫∫（）.A.2100(,)xdyfxydx∫∫B.1200(,)xdyfxydx∫∫C.2102(,)ydyfxydx∫∫D.2200(,)ydyfxydx∫∫（6）设积分区域D是由直线yx=，0y=，1x=围成，则有Ddxdy=∫∫（）.A.100xdxdy∫∫B.100ydydx∫∫C.100xdxdy∫∫D.10yxdydx∫∫3.改变积分212220010(,)(,)xxxdxfxydydxfxydy−−+∫∫∫∫的次序.74.计算二重积分ydxdyxD∫∫2，其中D为xy=与2xy=所围的平面区域.5.计算Dxydσ∫∫，其中D是由2yx=和2yx=−所围成的闭区域.6.求2yDedxdy∫∫，其中D是由yx=，2xy=及2x=所围成的平面区域.7.求(6)Dxydxdy+∫∫，其中D为直线yx=，5yx=，1x=所围成的区域.8.计算2110yxIdxedy−=∫∫的值.9.计算422311()Idxdyxy=+∫∫的值.10.计算2Dxydxdy∫∫，其中D是由yx=与2yx=所围成的闭区域.11.计算二重积分∫∫Ddxdyxy2，其中D是由xy42=和1=x所围成的闭区域.12.求22yDxedxdy−∫∫，其中D是以(0,0)，(1,1)，(0,1)为顶点的三角形区域.13.计算二重积分22()Dxydxdy+∫∫，其中区域D由直线,yxyxa==+,,3(0)yayaa==及所围成.14.计算22xyDedxdy−−∫∫，其中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域.第八、九章综合练习题1.填空题（1）函数411),(22−−+=yxyxf的定义域为.（2）极限22(,)(0,0)lim42xyxyxy→=+−.（3）函数33xyzxy+=+的间断点是.（4）设22(,)fxyxyxy+=+，则____________),(=yxf.（5）设2(sin)zxyy=+，则zy∂=∂_______（6）设cosxzey=，则2zxy∂=∂∂_____________.（7）设sinzxy=，则=dz_____________.（8）221zxy=−−的极大值点为__________________.（9）交换221200(,)ydyfxydx−∫∫的积分次序__________.（10）二重积分11012xydxdy−≤≤≤≤=∫∫___________.2.填空题（1）函数22221ln(4)1zx