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三角形全等之类比探究（讲义）知识点睛1.类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单情形到复杂情形）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主．2.解决类比探究问题的一般方法：（1）根据题干条件，结合_______________先解决第一问；（2）用解决_______的方法类比解决下一问，整体框架照搬．整体框架照搬包括_________________，________________，_________________．3.常见几何特征及做法：见中点，___________________________．精讲精练1.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=ADBE．（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，请直接写出DE，AD，BE之间的数量关系．2.如图1，四边形ABCD是正方形，AB=BC，∠B=∠BCD=90°，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角∠DCG的图1BNECDMA图2ACDEMNB图3ABCDEMN平分线CF于点F．（1）求证：AE=EF（提示：在AB上截取BH=BE，连接HE，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决）．（2）如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立吗？说明理由．（3）如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”是否成立？说明理由．3.以△ABC的边AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，∠BAE=∠CAD=90°，AB=AE，AC=AD，M是BC中点，连接AM，DE．（1）如图1，在△ABC中，当∠BAC=90°时，求AM与DE的数GABCDFE图1图1MADBCEEFDCBAG图2EFDCBAG图3量关系和位置关系．（2）如图2，当△ABC为一般三角形时，（1）中的结论是否成立，并说明理由．（3）如图3，若以△ABC的边AB，AC为直角边向内作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，并说明理由．4.（1）如图1，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，∠ABC=∠ADC=90°，则能得到如下两个结论：①DC=BC；②AD+AB=AC．请你证明结论②．（2）如图2，把（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为“∠ABC+∠ADC=180°”，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．EDACMB图2BMCEAD图3（3）如图3，如果D在AM的反向延长线上，把（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为“∠ABC=∠ADC”，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请直接回答；若不成立，请直接写出你的结论．【参考答案】知识点睛：解决类比探究问题的一般方法：（1）根据题干条件，结合分支条件先解决第一问；（2）用解决第（1）问的方法类比解决下一问，整体框架照搬．整体框架照搬包括照搬字母，照搬辅助线，照搬思路．常见几何特征及做法：见中点，考虑倍长中线．精讲精练ABCDMN图3图1NMDCBAABCDMN图21.证明：（1）如图，321AMDCENB∵∠ACB=90°∴∠1+∠2=90°∵AD⊥MN，BE⊥MN∴∠ADC=∠CEB=90°∴∠3+∠2=90°∴∠1=∠3在△ADC和△CEB中13ADCCEBACCB∴△ADC≌△CEB(AAS)∴AD=CE，DC=EB∴DE=CE+DC=AD+BE（2）如图，21BNMEDCA∵∠ACB=90°∴∠1+∠2=90°∵AD⊥MN，BE⊥MN∴∠ADC=∠CEB=90°∴∠CBE+∠2=90°∴∠1=∠CBE在△ADC和△CEB中1ADCCEBCBEACCB∴△ADC≌△CEB(AAS)∴AD=CE，DC=EB∴DE=CE-DC=AD-BE（3）DE=BE-AD，理由如下：如图，321NMEDCBA∵∠ACB=90°∴∠1+∠2=90°∵AD⊥MN，BE⊥MN∴∠ADC=∠CEB=90°∴∠3+∠2=90°∴∠1=∠3在△ADC和△CEB中13ADCCEBACCB∴△ADC≌△CEB(AAS)∴AD=CE，DC=EB∴DE=DC-CE=BE-AD2.解：（1）AE=EF，理由如下：如图，在AB上截取BH=BE，连接HE．4321HGABCDFE∵AB=BC∴AH=EC∵∠B=90°∴∠1=∠2=45°∴∠AHE=135°∵∠BCD=90°∴∠DCG=90°∵CF平分∠DCG∴∠GCF=45°∴∠ECF=135°∴∠AHE=∠ECF∵∠AEF=90°，∠B=90°∴∠AEB+∠3=90°，∠AEB+∠4=90°∴∠3=∠4在△AHE和△ECF中43AHECAHEECF∴△AHE≌△ECF(ASA)∴AE=EF（2）AE=EF仍成立，理由如下：如图，在AB上截取BH=BE，连接HE．H4123EFDCBAG∵AB=BC∴AH=EC∵∠B=90°∴∠1=∠2=45°∴∠AHE=135°∵∠BCD=90°∴∠DCG=90°∵CF平分∠DCG∴∠GCF=45°∴∠ECF=135°∴∠AHE=∠ECF∵∠AEF=90°，∠B=90°∴∠AEB+∠3=90°，∠AEB+∠4=90°∴∠3=∠4在△AHE和△ECF中43AHECAHEECF∴△AHE≌△ECF(ASA)∴AE=EF（3）AE=EF仍成立，理由如下：如图，延长BA到H，使BH=BE，连接HE．H123EFDCBAG∵AB=BC∴AH=EC∵∠B=90°∴∠H=45°∵∠BCD=90°∴∠DCG=90°∵CF平分∠DCG∴∠1=45°∴∠H=∠1∵∠AEF=90°，∠B=90°∴∠AEB+∠3=90°，∠AEB+∠2=90°∴∠2=∠3∵∠HAE+∠2=180°，∠CEF+∠3=180°∴∠HAE=∠CEF在△AHE和△ECF中1HAHECHAECEF∴△AHE≌△ECF(ASA)∴AE=EF3.解：（1）DE=2AM，AM⊥DE，理由如下：如图，延长AM到F，使MF=AM，连接BF，延长MA交DE于G．7654321GFECBDAM∴AF=2AM∵M是BC中点∴BM=CM在△BMF和△CMA中12BMCMMFMA∴△BMF≌△CMA(SAS)∴FB=AC，∠3=∠4∴BF∥AC∴∠FBA+∠BAC=180°∵∠BAE=∠CAD=90°∴∠DAE+∠BAC=180°∴∠FBA=∠DAE∵AC=AD∴BF=AD在△FBA和△DAE中BFADFBADAEABEA∴△FBA≌△DAE(SAS)∴AF=ED，∠5=∠6∴DE=2AM∵∠BAE=90°∴∠5+∠7=90°∴∠6+∠7=90°∴∠EGA=90°即AM⊥DE（2）（1）中的结论成立，理由如下：如图，延长AM到F，使MF=AM，连接BF，延长MA交DE于G．FG7654321BMCADE∴AF=2AM∵M是BC中点∴BM=CM在△BMF和△CMA中12BMCMMFMA∴△BMF≌△CMA(SAS)∴FB=AC，∠3=∠4∴BF∥AC∴∠FBA+∠BAC=180°∵∠BAE=∠CAD=90°∴∠DAE+∠BAC=180°∴∠FBA=∠DAE∵AC=AD∴BF=AD在△FBA和△DAE中BFADFBADAEABEA∴△FBA≌△DAE(SAS)∴AF=ED，∠5=∠6∴DE=2AM∵∠BAE=90°∴∠5+∠7=90°∴∠6+∠7=90°∴∠EGA=90°即AM⊥DE（3）（1）中的结论成立，理由如下：如图，延长AM到F，使MF=AM，交DE于G，连接BF．FGDAECMB∴AF=2AM∵M是BC中点∴BM=CM在△BMF和△CMA中BMCMBMFCMAMFMA∴△BMF≌△CMA(SAS)∴FB=AC，∠FBM=∠ACM∴BF∥AC∴∠FBA+∠BAC=180°∵∠BAE=∠CAD=90°∠BAC=∠BAE+∠CAD-∠DAE∴∠DAE+∠BAC=180°∴∠FBA=∠DAE∵AC=AD∴BF=AD在△FBA和△DAE中BFADFBADAEABEA∴△FBA≌△DAE(SAS)∴AF=ED，∠BAF=∠AED∴DE=2AM∵∠BAE=90°∴∠BAF+∠EAF=90°∴∠AED+∠EAF=90°∴∠EGA=90°即AM⊥DE4.（1）证明：如图，在BN上截取BE=AD．21E图1NMDCBA∵AC平分∠DAB，∠MAN=120°∴∠1=∠2=60°在△CDA和△CBA中12CDACBACACA∴△CDA≌△CBA(AAS)∴DC=BC，AD=AB在△CDA和△CBE中DCBCCDACBEADEB∴△CDA≌△CBE(SAS)∴AC=EC∵∠2=60°∴AC=AE=BE+AB=AD+AB（2）成立，证明如下：如图，过C作CG⊥AM于G，CF⊥AN于F，在BN上截取BE=AD．GF12EABCDMN图2∵CG⊥AM，CF⊥AN∴CGDCFB∵AC平分∠DAB，∠MAN=120°∴∠1=∠2=60°，CG=CF∵∠ABC+∠ADC=180°∠CDG+∠ADC=180°∠ABC+∠EBC=180°∴∠CDG=∠CBF，∠ADC=∠EBC在△CGD和△CFB中CDGCBFCGDCFBCGCF∴△CGD≌△CFB（AAS）∴CD=CB在△CDA和△CBE中CDCBADCEBCADEB∴△CDA≌△CBE（SAS）∴CA=EC∵∠2=60°∴AC=AE=BE+AB=AD+AB（3）①成立；②不成立，AD+AC=ABGFEABCDMN图3