三角函数的诱导公式(一)

1三角函数的诱导公式（一）[学习目标]1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．知识点一诱导公式一～四(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，tan(α＋2kπ)＝tanα，其中k∈Z.(2)公式二：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα.(3)公式三：sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα.(4)公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα.思考1任意角α与π＋α，－α，π－α的终边之间有怎样的对称关系？思考2设任意角α的终边与单位圆交于点P(x0，y0)，分别写出π＋α，－α，π－α的终边与单位圆的交点坐标．知识点二诱导公式的记忆2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，π－α，－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．思考你能用简洁的语言概括一下诱导公式一～四的作用吗？题型一给角求值例1求下列各三角函数值．(1)sin(－83π)；(2)cos196π；(3)sin[(2n＋1)π－23π]．解(1)sin(－83π)＝－sin83π＝－sin(2π＋23π)＝－sin23π＝－sin(π－π3)＝－sinπ3＝－32.(2)cos196π＝cos(2π＋76π)2＝cos(π＋π6)＝－cosπ6＝－32.(3)sin[(2n＋1)π－23π]＝sin[2nπ＋(π－23π)]＝sinπ3＝32.跟踪训练1求下列三角函数值．（1）sin－436π；(2)cos296π；(3)tan(－855°)．解(1)sin－436π＝－sin436π＝－sin(6π＋76π)＝－sin76π＝－sinπ＋π6＝sinπ6＝12；(2)cos296π＝cos(4π＋56π)＝cos56π＝cosπ－π6＝－cosπ6＝－32；(3)tan(－855°)＝－tan855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan135°＝－tan(180°－45°)＝tan45°＝1.题型二给值求值问题例2已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．解∵cos(α－75°)＝－130，且α为第四象限角，∴α－75°是第三象限角．∴sin(α－75°)＝－1－cos2α－75°＝－1－－132＝－223.∴sin(105°＋α)＝sin[]180°＋α－75°＝－sin(α－75°)＝223.跟踪训练2已知cos(π＋α)＝－35，πα2π，求sin(α－3π)＋cos(α－π)的值．解∵cos(π＋α)＝－cosα＝－35，∴cosα＝35，3∵πα2π，∴3π2α2π，∴sinα＝－45.∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)＝－sin(π－α)＋(－cosα)＝－sinα－cosα＝－(sinα＋cosα)＝－－45＋35＝15.题型三三角函数式的化简例3化简下列各式．（1）tan2π－αsin－2π－αcos6π－αcosα－πsin5π－α；（2）1＋2sin290°cos430°sin250°＋cos790°.解(1)原式＝sin2π－αcos2π－α·sin－αcos－αcosπ－αsinπ－α＝－sinα－sinαcosαcosα－cosαsinα＝－sinαcosα＝－tanα.(2)原式＝1＋2sin360°－70°cos360°＋70°sin180°＋70°＋cos720°＋70°＝1－2sin70°cos70°－sin70°＋cos70°＝|cos70°－sin70°|cos70°－sin70°＝sin70°－cos70°cos70°－sin70°＝－1.跟踪训练3化简：(1)sin540°＋α·cos－αtanα－180°；（2）cosθ＋4π·cos2θ＋π·sin2θ＋3πsinθ－4πsin5π＋θcos2－π＋θ.解(1)原式＝sin[360°＋180°＋α]·cosα－tan180°－α＝sin180°＋αcosαtanα4＝－sinαcosαsinαcosα＝－cos2α.(2)原式＝cosθ·cos2θ·sin2θsinθ·－sinθ·cos2θ＝－cosθ.分类讨论思想在三角函数中的应用例4证明：2sinα＋nπcosα－nπsinα＋nπ＋sinα－nπ＝(－1)ncosα，n∈Z.证明当n为偶数时，令n＝2k，k∈Z，左边＝2sinα＋2kπcosα－2kπsinα＋2kπ＋sinα－2kπ＝2sinαcosαsinα＋sinα＝2sinαcosα2sinα＝cosα.右边＝(－1)2kcosα＝cosα，∴左边＝右边．当n为奇数时，令n＝2k－1，k∈Z，左边＝2sinα＋2kπ－πcosα－2kπ＋πsinα＋2kπ－π＋sinα－2kπ＋π＝2sinα－πcosα＋πsinα－π＋sinα＋π＝2－sinα－cosα－sinα＋－sinα＝2sinαcosα－2sinα＝－cosα.右边＝(－1)2k－1cosα＝－cosα，∴左边＝右边．综上所述，2sinα＋nπcosα－nπsinα＋nπ＋sinα－nπ＝(－1)ncosα，n∈Z成立．1．sin585°的值为()5A．－22B.22C．－32D.322．cos(－16π3)＋sin(－16π3)的值为()A．－1＋32B.1－32C.3－12D.3＋123．记cos(－80°)＝k，那么tan100°等于()A.1－k2kB．－1－k2kC.k1－k2D．－k1－k24．化简：cos180°＋αsinα＋360°sin－α－180°cos－180°－α.一、选择题1．cos600°的值为()A.32B.12C．－32D．－122．sin2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为()A．1B．2sin2αC．0D．23．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sinα等于()A．－1213B.1213C.512D．±12134．若sin(－110°)＝a，则tan70°等于()A.a1－a2B.－a1－a2C.a1＋a2D.－a1＋a265．tan(5π＋α)＝m，则sinα－3π＋cosπ－αsin－α－cosπ＋α的值为()A.m＋1m－1B.m－1m＋1C．－1D．16．若sin(π－α)＝log814，且α∈－π2，0，则cos(π＋α)的值为()A.53B．－53C．±53D．以上都不对二、填空题7．已知cosπ6＋θ＝33，则cos5π6－θ＝.8．若cos(π＋α)＝－12，32πα2π，则sin(α－2π)＝.9.cos－585°sin585°＋sin－570°的值等于．10．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2017)的值为．三、解答题11．化简下列各式．(1)sin(－193π)cos76π；（2）sin(－960°)cos1470°－cos(－240°)sin(－210°)．12．若cos(α－π)＝－23，求sinα－2π＋sin－α－3πcosα－3πcosπ－α－cos－π－αcosα－4π的值．当堂检测答案：1．答案A解析sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)7＝－sin45°＝－22.2．答案C解析原式＝cos16π3－sin16π3＝cos4π3－sin4π3＝－cosπ3＋sinπ3＝3－12.3．答案B解析∵cos(－80°)＝k，∴cos80°＝k，∴sin80°＝1－k2.∴tan80°＝1－k2k.∴tan100°＝－tan80°＝－1－k2k.4．化简：cos180°＋αsinα＋360°sin－α－180°cos－180°－α.解原式＝－cosα·sinα[－sinα＋180°]·cos180°＋α＝sinαcosαsinα＋180°cos180°＋α＝sinαcosα－sinα－cosα＝1.课时精炼答案一、选择题1．答案D解析cos600°＝cos(360°＋240°)＝cos240°＝cos(180°＋60°)＝－cos60°＝－12.2．答案D解析原式＝(－sinα)2＋cosαcos(－α)＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2.3．答案A解析∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cosα＝－513，8∴cosα＝513，又α是第四象限角，∴sinα0，则sinα＝－1－cos2α＝－1213.4．答案B解析∵sin(－110°)＝－sin110°＝－sin(180°－70°)＝－sin70°＝a，∴sin70°＝－a，∴cos70°＝1－－a2＝1－a2，∴tan70°＝sin70°cos70°＝－a1－a2.5．答案A解析原式＝sinα＋cosαsinα－cosα＝tanα＋1tanα－1＝m＋1m－1.6．答案B解析∵sin(π－α)＝sinα＝log232－2＝－23，∴cos(π＋α)＝－cosα＝－1－sin2α＝－1－49＝－53.二、填空题7．答案－33解析cos5π6－θ＝cosπ－π6＋θ＝－cosπ6＋θ＝－33.8．答案－32解析由cos(π＋α)＝－12，得cosα＝12，故sin(α－2π)＝sinα＝－1－cos2α＝－1－122＝－32(α为第四象限角)．9.答案2＋2解析原式＝cos360°＋225°sin360°＋225°－sin360°＋210°9＝cos225°sin225°－sin210°＝－cos45°sin180°＋45°－sin180°＋30°＝－22－22＋12＝2＋2.10．答案－3解析∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)＝asinα＋bcosβ＝3，∴f(2017)＝asin(2017π＋α)＋bcos(2017π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－asinα－bcosβ＝－3.三、解答题11．解(1)sin(－193π)cos76π＝－sin(6π＋π3)cos(π＋π6)＝sinπ3cosπ6＝34.(2)sin(－960°)cos1470°－cos240°sin(－210°)＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°)＋cos(180°＋60°)sin(180°＋30°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝1.12．解原式＝－sin2π－α－sin3π＋αcos3π－α－cosα－－cosαcosα＝sinα－sinαcosα－cosα＋cos2α＝sinα1－cosα－cosα1－cosα＝－tanα.∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cosα＝－23，∴cosα＝23.∴α为第一象限角或第四象限角．当α为第一象限角时，cosα＝23，sinα＝1－cos2α＝53，∴tanα＝sinαcosα＝52，∴原式＝－52.当α为第四象限角时，cosα＝23，sinα＝－1－cos2α＝－53，10∴tanα＝sinαcosα＝－52，∴原式＝52.综上，原式＝±52.