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一元二次方程1．（北京模拟）已知关于x的一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0有一个实数根为2．（1）用含p的代数式表示q；（2）求证：抛物线y1＝x2＋px＋q与x轴有两个交点；（3）设抛物线y1＝x2＋px＋q的顶点为M，与y轴的交点为E，抛物线y2＝x2＋px＋q＋1的顶点为N，与y轴的交点为F，若四边形FEMN的面积等于2，求p的值．2．设关于x的方程x2－5x－m2＋1＝0的两个实数根分别为α、β，试确定实数m的取值范围，使|α|＋|β|≤6成立．3．（湖南怀化）已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．（1）是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．4．（江苏模拟）已知关于x的方程x2－(a＋b＋1)x＋a＝0（b≥0）有两个实数根x1、x2，且x1≤x2．（1）求证：x1≤1≤x2（2）若点A（1，2），B（12，1），C（1，1），点P（x1，x2）在△ABC的三条边上运动，问是否存在这样的点P，使a＋b＝54？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．（福建模拟）已知方程组y2＝4xy＝2x＋b有两个实数解x＝x1y＝y1和x＝x2y＝y2，且x1x2≠0，x1≠x2．（1）求b的取值范围；（2）否存在实数b，使得1x1＋1x2＝1？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由．6．（成都某校自主招生）已知a，b，c为实数，且满足a＋b＋c＝0，abc＝8，求c的取值范围．7．（四川某校自主招生）已知实数x、y满足x＋y＝3a－1x2＋y2＝4a2－2a＋2，求xy的取值范围．8．（福建某校自主招生）已知方程(ax＋1)2＝a2(1－x2)（a＞1）的两个实数根x1、x2满足x1＜x2，求证：－1＜x1＜0＜x2＜1．（答案）1．（北京模拟）已知关于x的一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0有一个实数根为2．（1）用含p的代数式表示q；（2）求证：抛物线y1＝x2＋px＋q与x轴有两个交点；（3）设抛物线y1＝x2＋px＋q的顶点为M，与y轴的交点为E，抛物线y2＝x2＋px＋q＋1的顶点为N，与y轴的交点为F，若四边形FEMN的面积等于2，求p的值．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0有一个实数根为2∴22＋2p＋q＋1＝0，整理得：q＝－2p－5（2）∵△＝p2－4q＝p2－4(－2p－5)＝p2＋8p＋20＝(p＋4)2＋4无论p取任何实数，都有(p＋4)2≥0∴无论p取任何实数，都有(p＋4)2＋4＞0，∴△＞0∴抛物线y1＝x2＋px＋q与x轴有两个交点（3）∵抛物线y1＝x2＋px＋q与抛物线y2＝x2＋px＋q＋1的对称轴相同，都为直线x＝－p2，且开口大小相同，抛物线y2＝x2＋px＋q＋1可由抛物线y1＝x2＋px＋q沿y轴方向向上平移一个单位得到∴EF∥MN，EF＝MN＝1∴四边形FEMN是平行四边形由题意得S四边形FEMN＝EF·|－p2|＝2，即|－p2|＝2∴p＝±42．（安徽某校自主招生）设关于x的方程x2－5x－m2＋1＝0的两个实数根分别为α、β，试确定实数m的取值范围，使|α|＋|β|≤6成立．解：∵△＝52－4(－m2＋1)＝4m2＋21∴不论m取何值，方程x2－5x－m2＋1＝0都有两个不相等的实根∵x2－5x－m2＋1＝0，∴α＋β＝5，αβ＝1－m2∵|α|＋|β|≤6，∴α2＋β2＋2|αβ|≤36，即(α＋β)2－2αβ＋2|αβ|≤36∴25－2(1－m2)＋2|1－m2|≤36当1－m2≥0，即－1≤m≤1时，25≤36成立∴－1≤m≤1①当1－m2＜0，即m＜－1或m＞1时，得25－4(1－m2)≤36解得－152≤m≤152∴－152≤m＜－1或1＜m≤152②综合①、②得：－152≤m≤1523．（湖南怀化）已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．NEFMxyy2y1（1）是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．解：（1）∵x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根∴a－6≠04a2－4a(a－6)≥0即a≠6a≥0假设存在实数a使－x1＋x1x2＝4＋x2成立，则4＋(x1＋x2)－x1x2＝0∴4＋－2aa－6－aa－6＝0，得a＝24∵a＝24满足a≥0且a≠6∴存在实数a＝24，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立（2）∵(x1＋1)(x2＋1)＝(x1＋x2)＋x1x2＋1＝－2aa－6＋aa－6＋1＝－aa－6∴要使(x1＋1)(x2＋1)为负整数，则只需a为7，8，9，124．（江苏模拟）已知关于x的方程x2－(a＋b＋1)x＋a＝0（b≥0）有两个实数根x1、x2，且x1≤x2．（1）求证：x1≤1≤x2（2）若点A（1，2），B（12，1），C（1，1），点P（x1，x2）在△ABC的三条边上运动，问是否存在这样的点P，使a＋b＝54？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由根与系数的关系得：x1＋x2＝a＋b＋1，x1x2＝a∴a＝x1x2，b＝x1＋x2－x1x2－1∵b≥0，∴x1＋x2－x1x2－1≥0∴1－x1－x2＋x1x2≤0∴(1－x1)(1－x2)≤0又∵x1≤x2，∴1－x1≥0，1－x2≤0即x1≤1，x2≥1∴x1≤1≤x2（2）∵x1＋x2＝a＋b＋1，a＋b＝54，∴x1＋x2＝94①当点P（x1，x2）在BC边上运动时则12≤x1≤1，x2＝1∴x1＝94－x2＝94－1＝54＞1故在BC边上不存在满足条件的点P②当点P（x1，x2）在AC边上运动时则x1＝1，1≤x2≤2取x2＝54，则x1＋x2＝94，即a＋b＝54Oxy112CAB故在AC边上存在满足条件的点P（1，54）③当点P（x1，x2）在AB边上运动时则12≤x1≤1，1≤x2≤2，易知x2＝2x1∵x1＋x2＝94，∴x1＝34，x2＝32又∵12＜34＜1，1＜32＜2故在AB边上存在满足条件的点（34，32）综上所述，当点P（x1，x2）在△ABC的三条边上运动时，在BC边上没有满足条件的点，而在AC、AB边上存在满足条件的点，它们分别是（1，54）和（34，32）5．（福建模拟）已知方程组y2＝4xy＝2x＋b有两个实数解x＝x1y＝y1和x＝x2y＝y2，且x1x2≠0，x1≠x2．（1）求b的取值范围；（2）否存在实数b，使得1x1＋1x2＝1？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由．解：（1）由已知得4x＝(2x＋b)2，整理得4x2＋(4b－4)x＋b2＝0∵x1≠x2，∴△＞0，即(4b－4)2－16b2＞0，解得b＜12又∵x1x2≠0，∴b24≠0，∴b≠0综上所述，b＜12且b≠0（2）∵x1＋x2＝1－b，x1x2＝b24，∴1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2＝4(1－b)b2＝1得∴b2＋4b－4＝0，解得b＝－2±22∵－2＋22＝2(2－1)＞12，∴b＝－2＋22不合题意，舍去∴b＝－2－226．（成都某校自主招生）已知a，b，c为实数，且满足a＋b＋c＝0，abc＝8，求c的取值范围．解：∵a＋b＋c＝0，abc＝8，∴a，b，c都不为零，且a＋b＝－c，ab＝8c∴a，b是方程x2＋cx＋8c＝0的两个实数根∴△＝c2－4×8c≥0当c＜0时，c2－4×8c≥0恒成立当c＞0时，得c3≥32，∴c≥342故c的取值范围是c＜0或c≥3427．（四川某校自主招生）已知实数x、y满足x＋y＝3a－1x2＋y2＝4a2－2a＋2，求xy的取值范围．解：∵(x－y)2≥0，∴x2＋y2≥2xy∴2(x2＋y2)≥(x＋y)2∴2(4a2－2a＋2)≥(3a－1)2即a2－2a－3≤0，解得－1≤a≤3∵xy＝12[(x＋y)2－(x2＋y2)]＝12[(3a－1)2－(4a2－2a＋2)]＝12(5a2－4a－1)＝52(a－25)2－910∴当a＝25时，xy有最小值－910；当a＝3时有最大值16∴－910≤xy≤168．（福建某校自主招生）已知方程(ax＋1)2＝a2(1－x2)（a＞1）的两个实数根x1、x2满足x1＜x2，求证：－1＜x1＜0＜x2＜1．证明：将原方程整理，得2a2x2＋2ax＋1－a2＝0令y＝2a2x2＋2ax＋1－a2，由于a＞1，所以这是一条开口向上的抛物线当x＝0时，y＝1－a2＜0，∴原方程有一个正根和一个负根又∵x1＜x2，∴x1＜0＜x2又当x＝1时，y＝2a2＋2a＋1－a2＝(a＋1)2＞0当x＝－1时，y＝2a2－2a＋1－a2＝(a－1)2＞0∴－1＜x1＜0＜x2＜1Oxy-1-1x1x2