现代控制理论-第十七章-模型参考自适应控制

第十七章模型参考自适应控制模型参考自适应控制在原理及结构上与自校正控制有很大差别，这类系统的性能要求不是用一个指标函数来表达，而是用一个参考模型的输出或状态响应来表达，例如导弹的稳定控制系统。参考模型的输出或状态相当于给定一个动态性能指标，通过比较受控对象及参考模型的输出或状态响应取得误差信息，按照一定的规律（自适应律）来修正实际系统的参数（参数自适应）或产生一个辅助输入信号（信号综合自适应），从而使实际系统的输出或状态尽量跟随参考模型的输出或状态。参数修正的规律或辅助输入信号的产生是由自适应机构来完成的。由于在一般情况下，被控对象的参数是不便直接调整的，为了实现参数可调，必须设置一个包含可调参数的控制器。这些可调参数可以位于反馈通道、前馈通道或前置通道中，分别对应地称为反馈补偿器、前馈补偿器、前馈补偿器及前置滤波器，例如航天飞机的姿态控制系统。为了引入辅助输入信号，则需要构成单独的自适应环路。它们与受控对象组成可调系统。模型参考自适应控制系统的基本结构如图17－1所示。图（17-1）模型参考自适应系统基本结构图模型参考自适应控制问题的提法可归纳：根据获得的有关受控对象及参考模型的信息（状态、输出、误差、输入等）设计一个自适应控制律，按照该控制律自动地调整控制器的可调参数（参数自适应）或形成辅助输入信号（信号综合自适应），使可调系统的动态特性尽量接近理想的参考模型的动态特性。由图17-1可见，参考模型与可调系统的相互位置是并联的，因此称为并联模型参考自适应系统。这是最普遍的一种结构方案。除此之外，还有串并联方案及串联方案，其基本结构如图17-2所示。模型参考自适应系统的基本设计方法有以三种：⑴参数最优化方法：⑵基于李雅诺夫稳定性理论的设计方法：⑶基于波波夫超稳定性及正性概念的设计方法。下面，我们将对各种设计方法分别进行介绍。第一节按局部参数最优化设计自适应控制的方法这是以参数最优化理论为基础的设计方法。它的基本思想是：假设可调系统中包含若干个可调参数，取系统性能指标为理想模型与可调系统之间误差的函数，显然它亦是可调参数的函数，因此可以将性能指标看作参数空间的一个超曲面。当外界条件发生变动或出现干扰时，受控对象特性会发生相应变化，由自适应机构检测理想模型与实际系统之间的误差，例如水箱液面控制系统。对系统的可调参数进行调整，且寻求最优的参数，使性能指标处于超曲面的最小值或其邻域内。最常用的参数最优化方法有梯度法、共轭梯度法等。这种设计方法最早是由M.I.T.在五十年代末提出来的，故M.I.T.法。M.I.T.提出的自适应方案假定受控对象传递函数为：式中，只有受环境影响而变化，是未知的；及则为已知的常系数多项式。所选择的参考模型传递函数为：sKNsDsSsNsWsKDs(17-1)MMNsWsKDs(17-2)式中，根据希望的动态响应来确定。MK在可调系统中仅设置了一个可调的前置增益，由自适应机构来进行调节。选取性能指标为MK210tJed(17-3)式中，为输出广义误差。要求设计调节的自适应律，使以上性能指标达到最小。下面，用梯度法来求它的自适应律。1Mseyy0K为使J达最小，首先要求出J对的梯度；0K110002tJeedKK(17-4)按梯度法，的调整值应为0K010JKBK(17-5)式中，为步长，是经适当选定的正常数。经一步调整后值为1B01oooJKKBK0K(17-6)oJK可以通过如下运算来求梯度。对式(17-6)求导可得11112ooodJeKBBedtKK(17-7)为了计算先求传递函数1/oeK1eMosesNsWsKKKrsDs(17-8)故有1MosDsesKKKNsrs(17-9)上式对求导：oKsoesDsKNsrsK(17-10)由参考模型传递函数可得MMNsysKDsrs1MMNsrsysDsK1oMoMetKytKK(17-11)(17-12)(17-13)代入式(17-7)，则得112ooMMKKBetytK(17-14)令，则得12sMKBBK1oMKBetyt(17-15)这就是可调整参数的自适应律。于是M.I.T.自适应控制系统的数学模型可归结为oK输出误差：模型输出：自适应律：1MosDsesKKKNsrsMMDsysKNsrs1oMKBetyt(17-15)(17-15)(17-15)其结构图如图17-3所示。由图可见，自适应机构包括了一个乘法器及一个积分器。M.I.T.自适应控制方案的优点是结构比较简单，并且自适应律所需信号只是参考模型的输出以及参考模型输出与可调系统输出之误差，它不需要状态信息，因此这些都是容易获得的。但是M.I.T.方案不能保证自适应系统总是稳定的，因此，最后必须对整个系统的稳定性进行检验，这可以通过以下例子来说明。Myt1et例17-1设对象为一阶系统，其传递函数为1sssKWsTs式中，为已知常数，受环境影响而改变。设参考模型传递函数为sTsK1MMMKWsTs式中。试根据M.I.T.自适应控制方案，设计自适应控制系统。其结构如图17-4所示。MsoTTT解:本例自适应控制系统的数学模型可表示成输出误差：模型输出：自适应律：11MosTeeKKKrMMMTyyKT1oMKBey现在来检查系统的稳定性。设，对式(17-19)进行求导得ortr11osoTeeKKT(17-19)(17-20)(17-21)(17-22)考虑式(17-21)有1110soMTeeBKrye(17-23)由式(17-20)得/1tTMsoytKre(17-24)代入式(17-23)2/11110tTsoMTeeBKrKee由于的系数，可见系统是稳定的。1e2/10tTsoMBKrKe(17-25)例17-2设对象为二阶系统，其传递函数为2211ssKWsasas已知：为已知常值，受环境影响而改变。选取参考模型传递函数为12aa、sKsK2211MMKWsasas试按M.I.T.自适应方案设计自适应系统。解:系统数学模型为输出误差：模型输出：自适应律：21111MosaeaeeKKKr21MMMMayayyKr1oMKBey(17-26)(17-27)(17-28)设，对式(17-26)求导得ortr21111osoaeaeeKKr(17-29)假设动态响应比的自适应调整过程要快得多，因此可认为在研究调节过程时，已达到稳态，即，则式(17-30)可表示成Myt1et1etMytMMoyKr22111110sMoaeaeeKKBre(17-31)根据劳斯稳定性判据可知，当满足以下不等式时：212MsoaKKBra系统将不稳定。(17-32)局部参数优化法除了前面介绍的M.I.T.可调增益方案外，还有反馈补偿器，前置反馈补偿器等多个参数同时可调的方案，这里就不一一介绍了。这类方案有共同的缺点，即不能保证自适应系统的稳定性，最后均必须对整个的稳定性检验。另外，由于各种参数优化方法都要求对参数进行搜索，这就需要一定的搜索时间，所以自适应速度比较低。还要求参考模型应相当精确地反映受控系统的动态特性，以使参数的误差不致过大以免造成系统过度扰动。第二节基于李雅诺夫稳定性理论按对象状态信息设计自适应控制的方法由于模型参考自适应系统的时变及非线性特性，因此稳定性问题是设计中必须考虑的固有问题。基于李雅普诺夫稳定性理论的设计方法设计出来的系统变不必耽心系统是否稳定的问题。为了说明该设计方法首先对李雅普诺夫线性时不变系统的稳定性定理（其证明详见第一篇）作一回顾，并介绍函数的正实性概念及判断函数正实性的卡尔曼-雅库波维奇定理。线性时不变系统的稳定性定理线性时不变自治系统在平衡点是渐近稳定的，当且仅当对任意给定的正定对称矩阵，都存在一个正定对称矩阵，并满足如下李雅普诺夫方程：xAx0xQPTAPPAQ则标量函数即为该系统的李雅谱诺夫函数。TVxxPx(17-33)函数的正实性凡满足以下两个条件的实有理函数，称为正实函数：Ws⑴只能含有左半平面的极点及虚轴上的其留数为正的一阶极点：Wss⑵对任意。Re0Wj，如果，则称为严正实函数。Re0Wj卡尔曼-雅库波维奇定理设系统传递函数为，满足为的一个最小实现，即系统状态空间表示为WsWjaAbcd，，，，WsxAxbuycxdu(17-34)(17-35)则为正实函数的充要条件是存在正定矩阵及向量，满足WsPlTTAPPAll2dlPbc(17-36)(17-37)一般情况下，对于输入输出间存在惯性的系统有，则系统状态空间表示为0d.xAxbuycx(17-38)(17-39)则式(17-36)、式(17-37)可化简为TTAPPAllQPbc以上卡尔曼-雅库波维奇定理又可叙述为：传递函数为正实函数的充要条件是存在正定矩阵，并满足式(17-36)、式(17-37)。WsP、Q(17-40)(17-41)下面来讨论受控对象全部状态可直接获取的情况下，基于李雅普诺夫稳定性理论进行自适应控制系统设计的方法。设可调系统数学模型为ssttxAxBr(17-42)给定参考模型为MMMMxAxBr(17-43)设状态广义误差为Msexx(17-44)可得状态广义误差的状态方程为MMsMtteAeAAxBBr(17-45)选取包含状态广义误差及参数误差的如下李雅普诺夫函数预备式：11TTMAMTMBMVttttePetrAAFAAtrBBFBB(17-46)式中，为待选的加权阵，并均设为正定矩阵，对式(17-46)求导，经整理可得11ABPFF，，1122TTTTMMMsATTMBVtttteAPPAetrAAPexFAtrBBPerFB(17-47)如果为一个稳定阵，则根据线性系统稳定性定理有MATMMAPPAQ如为正定阵，则为一任意的正定矩阵。由此可知式(17-47)的第一项将为负定的。PQ(17-48)如果选取自适应律满足：TAstAFPexTAtBFPer则式(17-47)右边后两项等于零，于是为负定，这就保证了状态广义误差系统的渐近稳定。V(17-49)(17-50)以上恒等式成立说明有三种可能情况：⑴和线性相关，并有；sxrMMttAABB及⑵和恒等于零；sxr⑶和线性独立，并有。sxrMMttAABB及显然，只有第三种情况能导致参数收敛到参考模型，即参数误差为渐近稳定。再进一步探讨当时，在什么条件下能同时达到参数误差的渐近稳定，即同时能满足，的问题。由状态广义误差方程(17-45)可得，当时0etMtAAMtBB0te0MsMttAAxBBr(17-51)下面以一阶自适应控制系统的设计为例。设受控对象状态方程为ssssxatxbtu选取模型为MMMMxaxbtr式中，，。及分别表示对象的放大系数及时间常数，一般不便于直接调整。这里采用分别设置可调的前置及反馈增益及，则可调系数结构如图17-5所示。0Ma0Mbsatsbtgtft(17-52)(17-53)可调系统的状态方程为