20180207平面及其基本性质

超级名师工作室1平面及其基本性质（一）平面定义：平面是平的，没有厚度的，在空间无限延伸的图形.数学中的平面的概念是现实中平面形象抽象的结果.比如平静的湖面、桌面等.平面的表示方法：（1）用大写的英文字母表示：平面M，平面N等；（2）用小写的希腊字母表示：平面，平面等；（3）用平面上的三个（或三个以上）点的字母表示：（如图14-1）平面ABCD等.CDBA图14-1平面的直观图画法：MMM正视图垂直放置的平面M水平放置的平面M图14-2相交平面画法超级名师工作室2注意：看得见的线用实线，看不见的线用虚线.（二）空间点、线、面的位置关系的集合语言表示法在空间，我们把点看作元素，直线和平面看作是由元素点所组成的集合，建立了如下点、线、面的集合语言表示法.点与线：LQA点A在直线L上：Al（直线L经过点A）；点Q不在直线L上：Ql点与平面：点A在平面内：A（平面经过点A）；点B不在平面内：B；直线与平面：直线L在平面上：直线L上所有的点都在平面上，即直线L在平面上，或平面经过直线L，记作l.l超级名师工作室3直线L在平面外：当直线L与平面只有一个公共点A时，称直线L与平面相交于点A，记作lA；当直线L与平面没有公共点时，称直线L与平面平行，记作l或//l.直线与直线：直线a与直线b相交于点A，记作abA.平面与平面：当平面上所有的点都在平面上时，称平面与平面重合；当不同的两个平面与有公共点时，将它们的公共点的集合记为L，称平面与平面相交于L，记作l.AllAab超级名师工作室4当两个平面与没有公共点时，称平面与平面平行，记作或//.（三）例题解析例1观察下面图形，说明它们的摆放位置不同．例2正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平面1111,,ACABBC，分别记作,,，试用适当的符号填空.解：(1),;(2),;(3),;(4),;(5),,[说明]能够熟练运用集合符号来说明点、线、面间的位置关系.例3：根据下列符号表示的语句，说出有关点、线、面的关系，并画出图形.,_______)1(1A1_______B,_______)2(1B1_______C,_______)3(1A1_______D11_______)4(BA1_______BB,________)5(11BA1________BB11________AB超级名师工作室5解：（1）点A在平面内，点B不在平面内；（2）直线L在平面上，直线m在平面外；mL（3）平面交平面与直线L；（4）点P在直线L上，不在平面上；点Q在直线L上，也在平面上.QP(1),AB(2),lm(3)l(4),,,PlPQlQ超级名师工作室6第二部分三大公理（一）公理1如果直线l上有两个点在平面上，那么直线l在平面上.（直线在平面上）用集合语言表述：,,,AlBlABl（二）公理2如果不同的两个平面、有一个公共点A，那么、的交集是过点A的直线l.（平面与平面相交）lA用集合语言表述：lAlA且（三）公理3和三个推论公理3：不在同一直线上的三点确定一个平面.（确定平面）这里“确定”的含义是“有且仅有”ABC用集合语言表述：A，B，C不共线=A，B，C确定一个平面推论1：一条直线和直线外的一点确定一个平面.证明：超级名师工作室7lABC设A是直线l外的一点，在直线l上任取两点B和C，由公理3可知A，B和C三点能确定平面.又因为点,BC，所以由公理1可知B，C所在直线l，即平面是由直线l和点A确定的平面.用集合语言表述：,AlAl确定平面推论2：两条相交的直线确定一个平面.用集合语言表述：,abAab确定平面推论3：两条平行的直线确定一个平面.用集合语言表述：//,abab确定平面（四）例题解析例1如图，正方体1111ABCDABCD中，E，F分别是111,BCBB的中点，问：直线EF和BC是否相交？如果相交，交点在那个平面内？解：111111EBCEBCEFBCFBBFBC平面平面平面又1BCBC平面，则直线EF和BC共面；1111//EFBCBCBCEFBCEFBCE与共面与相交1D1C1B1ADCBAFE超级名师工作室8设直线EF和BC相交于点p，则p在直线BC上，即点P在平面ABCD上.[说明]利用公理1确定直线在平面内.例2如图，若,,,abcabP，求证：直线C必过点P.解：aPbPPcPcc[结论]三个平面两两相交得到三条交线，若其中两条交于一点，另一条必过此公共点.例3空间三个点能确定几个平面？空间四个点能确定几个平面？解：三点共线有无数多个平面；三点不共线可以确定一个平面.所以三点可以确定一个或无数个平面.四点共线有无数个平面；有三点共线可确定一个平面；任意三点不共线能确定1个或3个平面.所以四点可以确定1个或3个或无数个平面.[说明]公理3的简单应用.例4空间三条直线相交于一点，可以确定几个平面？空间四条直线相交于一点，可以确定几个平面？解：三条直线相交于一点可以确定1个或3个平面；四条直线相交于一点可以确定1个、4个或6个平面.[说明]推论2的简单应用.例5如图，AB//CD，,ABECDF，求作BC与平面的交点.解：连接EF和BC，交点即为所求BC与平面的交点.（公理3和公理2）αFBCDEA超级名师工作室9[说明]推论3的简单应用.（一）复习上节课的概念，三个公理三个推论1）若B,ABAC平面，平面直线，则（A）A、CB、CC、ABD、ABC2）判断①若直线a与平面有公共点，则称a.（×）②两个平面可能只有一个公共点.（×）③四条边都相等的四边形是菱形.（×）④若A、B、C，A、B、C，则,重合.（×）⑤若4点不共面，则它们任意三点都不共线.（√）⑥两两相交的三条直线必定共面.（×）3）下列命题正确的是（D）A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形.B、四条线段顺次首尾连接所构成的图形一定是平面图形.C、三条互相平行的直线一定共面.D、梯形是平面图形.4）不在同一直线上的5点，最多能确定平面（C）A、8个B、9个C、10个D、12个5）两个平面可把空间分成3或4部分；三个平面可把空间分成4、6、7或8部分.（二）证明1、共面问题例1已知直线123,,lll两两相交，且三线不共点.求证：直线123,lll和在同一平面上.证明：设13231213,,,,llAllBllCllA1312131232,1,,,llCCllClBBCllll（推论）可确定平面平面同理平面（公理）平面即平面直线在同一平面上【说明】证明共面问题的基本方法是归一法和同一法.归一法：先根据公理3或其推论确定一个平面，然后再利用公理1证明其他的点或直l3l2BCl1A超级名师工作室10线在这个12341234123123424121212123343442,,,,,,,,,,,llllllllllAllBllCllDllEllCllllAABBllAllBlllDDElllE33已知：两两相交且无三线共点。求证：在同一平面上证：设与确定平面平面又，平面四线共面例2已知直线l与三条平行直线a,b,c都相交，求证：l与a、b、c共面.解题策略：同一法证明：如图设,,adAbdBcdC||,abab、可确定一个平面A,,A,,||,.aBbBABbcbcbabcd即d、可确定一个平面同理可证d、均过相交直线、d、重合，、、、共面【说明】同一法：可先由已知条件分别确定平面，然后再证它们是重合的。2、三点共线QROPB1C1D1A1BDCA图（例3）l4DFEl3l2BCl1ABCAabcd超级名师工作室111111113,,,OABCDABCDPRABBBCCDPQROBC例在正方体中、Q、分别在棱上，且相交于。求证：、、三点共线1111,BBCABCDBBCBCOBCOBCDPQROODPOABCDDPABCDOQRQRBBCCOCC11证：直线平面又平面又直线平面平面又平面平面、、三点共线【说明】要证明空间三点共线的方法：将线看做两平面的交线，只需证明这三点都是两个平面的公共点，则公共点必定在两平面的交线上，因此三点共线.例4已知ABC在平面外，,,ABPACQBCR.求证：P、Q、R三点共线证：ABACAABACABPPQACQ直线直线直线、确定平面BABBCBRCACCBCRRBCABAC直线直线直线，RRPQPQRPQ、、三点共线3、三线共点ABCD例5空间四边形中，E、F、G、H分别是AB,BC,CD,DA上的点，已知EF与HG相交于Q点.求证：EF、HG、AC三点共线ABCDEFGHQABCRPQ超级名师工作室12EFABCEABQABCQABCACDHGACDFBCQACDABCACDACEFHGQQACEFHGAC平面平面平面平面证：同理平面平面平面平面即、、三线共点【说明】先确定2条直线的交点，再证另一直线也过该交点（一）讲授新课例1已知：l，画出过A、B、C三点的平面,与的交线解：分析：ABAB,ABDABABABll、，、，l与不平行与相交，设交点为,CCDDllDDD又DAB,AB又练习：1）画出过画出过A、B、C三点的平面,与的交线2）画出过画出过A、B、C三点的平面M与,,的交线例2如图，P、Q、R分别是空间四边形ABCD的边AB、AD、BC上的点，且PQ与BD不平行，画出平面PQR与平面BCD的交线.例3在长方体1111ABCDABCD中，画出CABlDAABCABDPQRO超级名师工作室131)平面1111BDDACD与平面的交线2)平面1111BBDACA与平面的分析：1）111111111111ACDBDDDACDBDDACDBDD=ODO面面面面面面OD即为平面1111BDDACD与平面的交线2）111111111111EACBABDFACBABDACBABDEF面面面面面面EF即为平面1111BBDACA与平面的交线例4在正方体ABCD—A’B’C’D’中的棱A’B’，BB’，D’C’分别有三点.1）M、P、N过三点作截面，确定其与各平面的交线;2）正方体中，画出过其中三条棱的重点P、Q、R的平面截正方体的截面.C'D'B'A'CDABMPNQ例5、M、N、P分别为C’D，AD，CC’的中点.1）过MNP三点作正方体的截面，画出截面;2）计算截面的周长.1）截面为MGNFE即为所求1AABCD1BO1C1D1AABCD1BE1C1DFPRQC'D'B'A'CDABFPMNC'D'B'A'CDABKHG超级名师工作室142）111111MDDHEC=CK=21316aHGDHNDGDHDNDHNGDCFa10GM6106GaEFa1在RtM