等比数列的前n项和学案-人教课标版(新教案)

第二章数列．等比数列的前n项和（第课时）**学习目标**．掌握等比数列前n项和公式及其推导思路；．会用等比数列前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题；．掌握错位相减法的求和方法．**要点精讲**．国王的奖励：．在国际象棋的棋盘上，第个格子里放颗麦粒，第个格子里放颗麦粒，第个格子里放颗麦粒，依此类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的倍，直到第个格子里．奖励的麦粒总数：262636412222S错位相减法求和：262636412222S①两边同乘以2，得262636464222222S②，两式相减，646421S．．设等比数列{}na的首项是1a，公比是q，前n项和为nS．①当1q时，{}na为常数数列，1nSna；②当1q时，用错位相减法求和，得1(1)1nnaqSq（或11nnaaqSq）．**范例分析**例．（）在等比数列na中，前n项和为nS，若233a，293S，求公比q.（）在等比数列na中，前n项和为nS，若105S，2015S，求30S.例．设等比数列{}na的首项为110aa，公比为0qq，前n项和80nS，且前n项中数值最大的项为54，又它的前2n项和26560nS，求1,,aqn的值．例．设数列na为231,2,3,4xxx,,1nnx0x，求此数列前n项的和nS。例．设{}na是等差数列，{}nb是各项都为正数的等比数列，且111ab，3521ab，5313ab。（）求{}na，{}nb的通项公式；（）求数列nnab的前项和nS．**规律总结**．等比数列{}na前n项和公式为nS，①当1q时，{}na为常数数列，nmSnSm；②当1q时，11nnmmSqSq．．等比数列{}na通项公式、前n项和公式中有1,,,,nnadnaS等五个元素，在已知三个元素时，可以求另二个元素．即知三求二．当能列出三个方程时，则可求三个元素，如例．．通过建模，可将增长率问题转化为等比数列问题．．设等比数列{}na前n项和为nS，当1q时，用错位相减法求和，得1(1)1nnaqSq．此法可推广：若{}na成等差数列（公差为d），{}nb成等比数列（公比1q），则数列{}nnab的前n项和可错位相减法求：1122332211nnnnnnnSabababababab①1223342111nnnnnnnqSabababababab②①②，得112311(1)()nnnnnqSabdbbbbab，其中231nnbbbb是等比数列1n项求和，进而求得nS．**基础训练**一、选择题．某厂去年的产值记为1，计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为（）．41.1．51.1．511(1.11)．610(1.11)．等比数列na中，29,a5243a，则na的前项和为（）．．．．．等比数列的前项和为，前项和为，则这个等比数列的公比为（）．2．2．2或2．2或1．数列na的通项公式为42nna()nN，则它的前项和等于（）．52．1152．40．821．若数列na的通项公式为nnna2，则前n项和为()．nnS211．nnnnS22121．nnnS211．nnnnS22121二、填空题．在等比数列na中，465S，23q，则1a.．设等比数列na的公比为q，前n项和为nS，若nS是等差数列，则q等于．．已知等比数列}{na及等差数列}{nb，其中01b，公差0d．将这两个数列的对应项相加，得一新数列，，，…，则这个新数列的前项之和为.三、解答题．在等比数列}{na中，166naa，21128naa，126nS，求项数n和公比q的值．．数列}{na的通项1(21)2nnan，前n项和为nS，求nS．**能力提高**．电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表所示：十进制二进制观察二进制为位数、位数、位数时，对应的十进制的数，当二进制为位数时，能表示十进制中的最大数是．．已知等比数列na的首项10a，公比1,00,q，设其前n项和为nS奎屯王新敞新疆（）求证：0nS恒成立；（）设1223nnnaab，记nb的前n项和为nT，试比较nS与nT的大小奎屯王新敞新疆．等比数列的前n项和（第课时）答案例．评注：切记对1q和1q讨论．用整体思想解决第（）小题．（）当1q时，{}na为常数数列，1332aa，31932Sa；符合题意；当1q时，213132(1)912aqaqq，求得12q．综上，1q或12q．（）当1q时，{}na为常数数列，20110120210SaSa，与题意不合，所以1q，此时101201(1)511(1)1521aqqaqq，两式相除，得201011515qq，102q，代入①得151aq，所以30301130(1)(1)3511aqaSqqq例．因为26560280nnSS，所以1q，从而121(1)8011182(1)656021nnnaqqqaqq81nq．代入①得111aq．③由0q进而知1q，又10a，所以等比数列{}na递增，故54na，即1154naq，又81nq，故154naqq，则123aq④，由③④得12,3aq，代入81nq，得4n．综上，12,3aq，4n。例．2311234nnSxxxnx①231231nnnxSxxxnxnx②由①②得1nxS211nnxxxnx，当1x时，nnnnxxxSx111xnxnxxnnn111xnxxnnn111121111xnxxnSnnn当1x时，112342nnnSn例．解：（）设na的公差为d，nb的公比为q，则依题意有0q且4212211413dqdq，，解得2d，2q．所以1(1)21nandn，112nnnbq．（）11211(21)()22nnnnannb．1221111113()5()(23)()(21)()2222nnnSnn，①1231111111()3()5()(23)()(21)()222222nnnSnn，②①－②得122111111112[()()()()](21)()222222nnnnSn，2211111211222222nnnn11121211212nnn所以12362nnnS．**基础训练**．提示：551.1(11.1)11.1S．．解：由已知，35227aqa，得公比3q，13a，故4120S．．提示：448811SqSq，4117q，2q．提示：数列na为等比数列，18a，12q．提示：1()2nnan，用错位相减法求和。．27提示：412[1()]365213a，127a。．解：只有当1q时，1nSna成等差数列．．解：由已知，112233112ababab，因为01b，所以11211122aaqdaqd，即1121aqd，故这个新数列的前项之和为102145978S．．解：因为{}为等比数列，所以121128nnaaaa，即1,naa是方程2661280xx的两根，可得12,64naa，或164,2naa．若12,64naa，则132nq，11213212611nnaqqSqq，解得2q，于是6n；若164,2naa，则1132nq，1164113212611nnqaqSqq，解得12q，于是6n．．1212nn．解：0121325272212nnSn两边乘得2nS1213252212212nnnn两式相减得233222212nnnSn121212nnn，故1212nnSn．**能力提高**．．解：能表示十进制中的最大数是01234562222222163．．解：（）当1q时，10nSna；当01q，101nqq，1101nnaSqq恒成立．当1q，101nqq，1101nnaSqq恒成立．当10q，101nqq，1101nnaSqq恒成立．综上所述，当1,00,q时，0nS恒成立．（）由等比数列定义，可得232nnbqqa，从而232nnTqqS，2312nnnTSqqS122nqqS，故当12q或2q时，nnTS；当1,00,22q时，nnTS；当11,2,2q时，nnTS．虽然在学习的过程中会遇到许多不顺心的事，但古人说得好——吃一堑，长一智。多了一次失败，就多了一次教训；多了一次挫折，就多了一次经验。没有失败和挫折的人，是永远不会成功的。快乐学习并不是说一味的笑，而是采用学生容易接受的快乐方式把知识灌输到学生的大脑里。因为快乐学习是没有什么大的压力的，人在没有压力的情况下会表现得更好。青春的执迷和坚持会撑起你的整个世界，愿你做自己生命中的船长，在属于你的海洋中一帆风顺，珍惜生命并感受生活的真谛！老师知道你的字可以写得更漂亮一些的，对吗,智者千虑，必有一失；愚者千虑，必有一得,学习必须与实干相结合,学习，就要有灵魂，有精神和有热情，它们支持着你的全部！灵魂，认识到自我存在，认识到你该做的是什么；精神，让你不倒下，让你坚强，让你不畏困难强敌；热情，就是时刻提醒你，终点就在不远方，只要努力便会成功的声音，他是灵魂与精神的养料，它是力量的源泉。